·复习 1 原函数的定义。
2 不定积分的定义。
3 不定积分的性质。
4 不定积分的几何意义。
·引入在不定积分的定义、性质以及基本公式的基础上，我们进一步来讨论不定积分的计算问题，不定积分的计算方法主要有三种：直接积分法、换元积分法和分部积分法。
·讲授新课
第二节不定积分的基本公式和运算直接积分法一基本积分公式
由于求不定积分的运算是求导运算的逆运算，所以有导数的基本公式相应地可以得到积分的基本公式如下：
以上十五个公式是求不定积分的基础，必须熟记，不仅要记右端的结果，还要熟悉左端被积函数的的形式。
求函数的不定积分的方法叫积分法。
例1.求下列不定积分.（1）dx
x
⎰2
1
（2）dx x x ⎰
解：（1）
dx x
⎰
21
＝2121
21x x dx C C x
-+-=+=-+-+⎰ （2）dx x x ⎰
＝C x dx x +=⎰
25
235
2
此例表明，对某些分式或根式函数求不定积分时，可先把它们化为x α
的形式，然后应用幂函数的积分公式求积分。
二 不定积分的基本运算法则
法则1 两个函数代数和的积分，等于各函数积分的代数和，即
dx x g dx x f dx x g x f ⎰⎰⎰±=±)()()]()([
法则1对于有限多个函数的和也成立的．
法则2 被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外，即
dx x f k dx x kf ⎰⎰=)()( （0≠k ）
例2 求3(21)x
x e dx +-⎰
解 3(21)x x e dx +-⎰=23
x dx ⎰+dx ⎰-
x e dx ⎰
=
4
12
x x x e C +-+。
注 其中每一项的不定积分虽然都应当有一个积分常数，但是这里并不需要在每一项后面加上一个积分常数，因为任意常数之和还是任意常数，所以这里只把它的和C 写在末尾，以后仿此。
注 检验解放的结果是否正确，只把结果求导，看它的导数是否等于
被积函数就行了。
如上例由于41()2
x
x x e C '+-+=321x
x e +-，所以结
果是正确的。
三 直接积分法
在求积分的问题中，可以直接按基本积分公式和两个基本性质求出结果（如上例）但有时，被积函数常需要经过适当的恒等变形（包括代数和三角的恒等变形）再利用积分的性质和公式求出结果，这样的积分方法叫直接积分法。
例3 求下列不定积分.
（1）
1)(x dx
⎰
（2）dx x x ⎰+-1
12
解：（1）首先把被积函数
1)(x
-化为和式，然后再逐项积
分得
1)((1x dx x dx
+-
=+--
⎰⎰
xdx dx
=
+--⎰⎰⎰⎰
51
2
2
221252
x x x x C =+--+。
注：（1）求函数的不定积分时积分常数C 不能丢掉，否则就会出现概念性的错误。
（2）等式右端的每个不定积分都有一个积分常数，因为有限个任意常数的代数和仍是一个常数，所以只要在结果中写一个积分常数C 即可。
（3）检验积分计算是否正确，只需对积分结果求导，看它是否等于被积函数。
若相等，积分结果是正确的，否则是错误的。
（2）222221122(1)11
1x x dx dx dx x x x -+-==-+++⎰⎰⎰ 2
22arctan 1
dx
dx x x C x =-=-++⎰⎰。
上例的解题思路是设法化被积函数为和式，然后再逐项积分，是一种重要的解题方法，须掌握。
练习 1 322
324x x x dx x -++⎰，2 22221
(1)
x dx x x ++⎰，3 421x dx x +⎰。
答案 1 2
1432ln ||2x x x C x -+-+， 2 1
arctan x C x
-
+， 3 3
1arctan 3
x x x C -++
例4 求下列不定积分.（1）xdx ⎰2
tan （2）dx x 2
sin
2
⎰
解：（1）22
tan (sec 1)xdx x dx =-⎰⎰
2sec tan xdx dx x x C =-=-+⎰⎰
（2）C x x dx x dx x
+-=-=⎰⎰sin 2
1
212cos 12sin 2
上例的解题思路也是设法化被积函数为和式，然后再逐项积分，不过它实现化和是利用三角式的恒等变换。
练习 1 2
cot xdx ⎰ 2 2
cos
2x dx ⎰
3 cos 2x dx cosx-sinx
⎰ 答案 1 cot x x C --+ 2
1
(sin )2
x x C ++ 3 sin -cos x x C +
例5 设x x f 22cos )(sin ='，求)(x f . 解：由于x x x f 222sin 1cos )(sin -=='，
所以x x f -='1)(，故知)(x f 是x -1的原函数，因此
C x x dx x x f +-=-=⎰2
)1()(2
．
小结 基本积分公式，不定积分的性质，直接积分法。
练习 求下列不定积分. （1）2(12sin )x dx x
-+⎰
（2）2212
(
)cos sin dx x x
+⎰
， （3）dt
t t ⎰+2)1(，（4）23)1dt t -+⎰，（5）dx x x ⎰+)6(6
， （6）dx x
x ⎰--2
411
，（7）dx x x ⎰-)cot csc(csc ，（8）dx x x ⎰2sin 2cos ，
（9）2(cos sin )22t t dt +⎰，（10）dx x ⎰-)1(tan 2，（11
）e (3x x x
dx -⎰。
答案1 2cos 2ln ||x x x C +++， 2 tan -cot x x C +， 3
2
12ln ||2
t t t C +++， 4 2arcsin 3arctan t t C -+， 5
7
61ln 67
x x C ++， 6 313x x C --+， 7 cot csc x x C -++， 8 cot 2x C --+，
9 cos t t C -+， 10 tan 2x x C -+，11
(3)2arcsin 1ln3
x
e x C -++。
小结 计算简单的不定积分，有时只需按不定积分的性质和基本公式进行计算；有时需要先利用代数运算或三角恒等变形将被积函数进行整理．然后分项计算．
作业 P81:2,3。