T2
d 2c(t) dt2
2ζT
dc(t) dt
c(t)
Kr(t)
传递函数：
R(s)
1
C(s)
T 2s2 2 Ts 1
式中：——阻尼比， T——振荡环节的时间常数。
频率特性：
G( j ) C( j )
1
R( j ) (1 T 2 2 ) j2 T
16
例：RLC电路
R
L
+
r(t)
i(t)
C
G(s) K s
频率特性：
G(jω ) K jω
10
例：积分电路
输入为r(t)，输出为c(t)
ic (t) C
i1(t ) R1
-
+K
r (t )
c (t )
R3
ic (t)
i1 (t)
r(t) R1
R(s)
1
R1Cs
C(s)
运动方程：
传递函数：
c(t)
1 C
ic (t)dt
1 R1C
19
消去中间变量Eb(s)、T(s)和I(s)
θ (s) Ea (s)
s[LJs 2
K (LB RJ)s (RB KK b )]
如果输入量Ea(s)，输出量转速(s)，则又可得到：
(s)
K
Ea (s) LJs2 (LB RJ)s (RB KK b )
这是一个典型的振荡环节的传递函数
dt
式中：K——弹簧弹性系数；
M——物体的质量，
B——粘性摩擦系数。
传递函数：
1
G(s) X(s)
K
F(s) M s2 B s 1
KK
K f (t)
M x(t)
B 图2-16 机械振荡
22
6、一阶微分环节
特 点：此环节的输出量不仅与输入量本身 有关，而且与输入量的变化率有关
运动方程： c(t) T dr(t) r(t) dt
第二章 物理系统的数学模型
第一节 控制工程的数学方法 （Laplace变换）
第二节 物理系统的数学模型 第三节 非线性数学模型的线性化
1
第四节 典型环节及其传递函数
1、比例环节（又叫放大环节）
R(s)
特 点：输出量按一定比例复现输入量， 无滞后、失真现象。
C(s)
K
运动方程 : c(t)=Kr(t) K——放大系数，通常都是有量纲的。
r(t)dt
1 T
r(t)dt
G(s) C(s) 1 K R(s) Ts s
（T=R1C）
频率特性： G(j ) C(j ) K
R(j ) jT
11
其它举例
n(t) D
x (t )
N (s)
D
X (s)
s
i (t ) u(t)
I (s)
1
U (s)
Cs
12
4、惯性环节(又叫非周期环节)
频率特性：
(jω )
K
Ea (jω ) (RB KK b - LJω2 ) j(LB RJ)ω
20
电枢回路中的电感L通常较小，若忽略L的影响，则：
θ (s)
Km
Ea (s) s(Tms 1)
(s)
Km
Ea (s) Tms 1
式中：km=K/(RB+KKb) ——电动机增益常数 Tm=RJ/(RB+KKb)——电动机时间常数。
特 点：动态过程中，输出量正比于输入量的变化速度。
R(s)
S
C(s)
运动方程：
C(t) K dr(t) dt
传递函数： 频率特性：
G(s) C(s) KS R(s)
G(jω ) C(jω ) jKω R(jω )
6
例 RC电路
ur (t)
i (t )
C
R
uc (t)
设：输入——ur(t) 输出——uc(t)
Ld
d dt
id
Rd id
ud
即
d
d dt
id
ud Rd
+
d
Ld Rd
ud
传递函数:
1 G(s) Id (s) Rd
Ud (s) ds 1
式中 Ld ——电枢回路电感； Rd ——电枢回路电阻； τd ——电枢绕组的时间常数；
id D
14
其他一些例子
L
r(t)
R c(t)
R(s)
1
C(s)
R
dt
dt
传递函数：
I(s) s 1 （R=1
U(s)
RC= ）
频率特性： Gjω 1 jω
一阶微分环节可看成一个微分环节与一个比例环节 的并联，其传递函数和频率特性是惯性环节的倒数。
24
7、二阶微分环节
特点：输出量与输入量及输入量的一阶、二阶导数都有关
运动方程：
c(t)
T2
d 2 r(t) dt 2
频率特性： G（j）=K
3
例：输入：n1(t)——转速 输出：n2(t)——转速
Z1
n1 (t )
n2 (t) Z2
Z1——主动轮的齿数 Z2——从动轮的齿数
N1 s
z1
N2 s
z2
运动方程： 传递函数：
n 2 (t)
z1 z2
n1 (t)
G(s) N 2 (s) z1 K N1(s) z 2
传递函数： G(s) C(s) K
R(s)
C(j )
频率特性：
G(j )
K
R(j )
2
例： 输入：(t)——角度 输出：u(t)——电压
E——恒定电压
+ E
-
u(t)
+
(t) •
(s)
U (s)
K
运动方程： u(t)=K(t) 传递函数： G(s) U(s) K
(s)
K——比例系数，量纲为伏/弧度。
特点：此环节中含有一个独立的储能元件，以致对突变的输 入来说，输出不能立即复现，存在时间上的延迟。
R(s)
1
C(s)
Ts 1
运动方程： T dc(t) c(t) Kr(t)
dt
传递函数： 频率特性：
G(s) K Ts 1
G(jω ) K jTω 1
13
例：直流电机
输入量: ud ——电枢电压 输出量： id ——电枢电流 动态方程如下：
8
其他举例
i(t) C uc (t)
U c (s)
I (s)
Cs
i(t) C
u(t)
R
U (s)
Cs
+ I(s)
1
+
R
i (t )
L
eL (t)
I (s)
EL (s)
Ls9ຫໍສະໝຸດ 3、积分环节特点：输出量的变化速度和输入量成正比。
R(s)
1
C(s)
s
运动方程： dc(t) Kr(t )
dt
传递函数：
例如：前面介绍的振荡环节中两个例子，一个是机械系统， 另一个是电气系统，但传递函数的形式完全相同。
（2）同一个系统，当我们选取不同的输入量、输出 量 时，就可能得到不同形式的传递函数。
例如：电容：输入—电流，输出—电压，则是积分环节。 反之，输入—电压，输出—电流，则为微分环节。
26
频率特性：
G(jω ) N2 (jω ) z1 K N1(jω ) z2
4
其它一些比例环节
R2
R1 -
r (t )
r1
r2
r (t )
c (t )
+K
c (t ) R3
+ Ec
R
ic (t)
ib (t)
R(s)
r2
Cs
r1 r2
R(s)
R2
R1
Cs
Ib (s)
Ic (s)
5
2、微分环节
L
dt 2
dt
eb (t) (t)
分别进行拉氏变换
ea (t)
+ _
D
J
B
1） T ( s ) = K I ( s )
_
2） Eb( s ) = Kb s ( s ) 3） Ea( s ) = ( L s + R ) I ( s ) + Eb( s ) 4） T( s ) = ( J s2 + B s ) ( s )
2ζT
dr(t) dt
r(t)
传递函数： G(s) C(s) T2s2 2ζTs 1
R(s)
频率特性： G( j ) T 2 ( j )2 2 T ( j ) 1
(1 T 2 2 ) j2 T
可以看出，二阶微分环节的传递函数和频率特性是振荡环 节的倒数。
25
小结
（1）不同物理性质的系统，可以有相同形式的传 递函数。
u r
(t)
1 c
i(t)dt i(t)R
i(t) uc (t) R
消去i(t)，得到运动方程：
ur (t)
1 RC
uc (t)dt uc (t)
传递函数： G(s) Uc (s) Tcs
U r (s) Tcs 1
（Tc=RC）
当Tc<<1时，传递函数又可表示成： G(s)
Uc (s) U r (s)
传递函数： G( s ) = Ts + 1 频率特性： G( j ) = j T + 1
23
RC电路
i1(t) C