三角函数模型的简单应用 第一课时
问题提出
1.函数 y Asin(x ) 中的参数 A,,
对图象有什么影响？三角函数的性质包 括哪些基本内容？
2.我们已经学习了三角函数的概念、图象与 性质，其中周期性是三角函数的一个显著性 质.在现实生活中，如果某种变化着的现象 具有周期性，那么它就可以借助三角函数来 描述，并利用三角函数的图象和性质解决相 应的实际问题.
思考7：若某船的吃水深度为4米，安全
间隙为1.5米，该船在2：00开始卸货，
吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那
么该船在什么时间必须停止卸货，将船
驶向较深的水域？
y
8
y 2.5 sin x
6
பைடு நூலகம்
6
货船最好在 6.5时之前停
5
止卸货，将
4
船驶向较深
2
y=-0.3x+6.1 的水域.
o 2 4 6 8 10 12
例1 弹簧上挂的小球做上下振动时，
小球离开平衡位置的距离s（cm）随时
间t（s）的变化曲线是一个三角函数的
图象，如图.
s/cm
（1）求这条曲线对 4
应的函数解析式；
7
（2）小球在开始振
12
动时，离开平衡位 O
t/s
置的位移是多少？
12
-4
例2 已知函数y sin( x )
( 0, 0
示，
) 的部分图象如图所
)
2
探究一：根据图象建立三角函数关系
【背景材料】如图，某地一天从6～14时 的温度变化曲线近似满足函数:
y Asin(x ) b T/℃
思考1：这一天6～14
30
时的最大温差是多少？ 20
30°-10°=20°
10
思考2：函数式中A、b
o 6 10 14 t/h
的值分别是多少？ A=10,b=20.
【背景材料】 海水受日月的引力，在一 定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地， 早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船 在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后， 在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季 节每天的时间与水深关系表：
时刻 0 3
6
9
12 15 18 21 24
水深/米 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0
y A s in (x 3 ) h
y 8 6 4 2
o
6 12 18 24 x
思考4：用函数 y Asin(x ) h 来
刻画水深和时间之间的对应关系，如何
确定解析式中的参数值？
A 2.5, h 5, T 12, 0,
6
思考5：这个港口的水深与时间的关系可
用函数 y 2.5sin x 5 近似描述，你能
思考6：一条货船的吃水深度（船底与
水面的距离）为4米，安全条例规定至
少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底
的距离），该船何时能进入港口？在
港口能呆多久？
y
8
6
B
A
4
CD
2
o
5
10 15
x
y 8
6
B
4A
CD
2
o
5
10 15
x
货船可以在0时30分左右进港，早晨5 时30分左右出港；或在中午12时30分左 右进港，下午17时30分左右出港.每次可 以在港口停留5小时左右.
x
思考8：右图中，
设点P(x0，y0)， 有人认为，由于
P点是两个图象的
交点，说明在x0
y
8
y=2.5sinpx+5
6 4
.P
6
2
y=-0.3x+6.1
o 2 4 6 8 10 12
x
时，货船的安全水深正好与港口水深相
等，因此在这时停止卸货将船驶向较深
水域就可以了，你认为对吗？
理论迁移
例 弹簧上挂的小球做上下振动时，小
2
f (x) cos (x )
试确定函数
y 1
3
的奇偶性.
7
8
8
o
x
－1
f (x ) cos 2(x ) cos(2x )
4
2
sin 2x
例3 将函数y=sin2x的图象先向左平
移
2 3
个单位,再把图象上各点的横坐标
缩短到原来的 2 倍,纵坐标伸长到原来的
3
4倍,然后将所得图象向下平移2个单位得
曲线C,求曲线C对应的函数解析式.
6
根据这个函数模型，求出各整点时水深 的近似值吗？（精确到0.001）
时刻 水深 时刻 水深 时刻 水深 时刻 水深
0：00 1：00 2：00 3：00 4：00 5：00 5.000 6.250 7.165 7.500 7.165 6.250 6：00 7：00 8：00 9：00 10：00 11：00 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754 12：00 13：00 14：00 15：00 16：00 17：00 5.000 6.250 7.165 7.500 7.165 6.250 18：00 19：00 20：00 21：00 22：00 23：00 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754
y 4 sin(3x 4 ) 2 3
例4 在函数 f (x) sin( x )( 0)
的图象与直线 y 1 的交点中，距离最近
2
的两点之间的距离是 ，求函数f(x)的
最小正周期.
3
T=π
例6 已知函数 f (x) 2 sin x( 0)在区
间[ , ]上的最小值是-2,求ω的取值范
围. 3 4
[3 ,
思考2：设想水深y y 是时间x的函数， 8 作出表中的数据对 6 应的散点图，你认 4 为可以用哪个类型 2 的函数来拟合这些 o 6 12 18 24 x 数据？
思考3: 用一条光滑曲线连结这些点， 得到一个函数图象，该图象对应的函数 解析式可以是哪种形式？
y 8
6
4
2
o
6 12 18 24 x
y Asin(x ) b T/℃ 30
思考3：如何确定函数 20
式中 和 的值?
10
, 3
8
4
o 6 10 14 t/h
思考4：这段曲线对应的函数是什么？
y 10sin( x 3 ) 20, x [6,14].
84
思考5：这一天12时的温度大概是多少 （℃）？ 27.07℃.
探究二：根据相关数据进行三角函数拟合
球离开平衡位置的距离s（cm）随时间t
（s）的变化曲线是一个三角函数的图
时刻 0 3
6
9
12 15 18 21 24
水深/米 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0
思考1：观察表格中的数据，每天水深 的变化具有什么规律性？
呈周期性变化规律.
时刻 0 3
6
9
12 15 18 21 24
水深/米 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0