例如：
第1章 数制与编码
3. 八进制数(Octal) 八进制数的进位规则是“逢八进一”，其基数R=8，采
用的数码是0、 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7， 每位的权是 8 的
幂。 任何一个八进制数也可以根据式(1-2)表示为
n 1
( N )8
例如：
i m
a 8
i
i
(376 .4)8 3 82 7 81 6 80 4 81 3 64 7 8 6 0.5 (254 .5)10
第1章 数制与编码
数字电路的输入、输出逻辑电平随时间变化的波形称
为数字波形。数字波形有两种类型，一种是电位型（或称 非归零型），另一种是脉冲型（或称归零型）。在波形图 中，一定的时间间隔T称为1位（1bit）或一拍。电位型的 数字波形在一拍时间内用高电平表示1，低电平表示0，脉 冲型数字波形则在一拍时间内以脉冲有无来表示1和0。图 1.1.2是表示01001101100序列信号两种数字波形，其中图 （a）为电位型表示的波形，图（b）是脉冲型表示的波形。
第1章 数制与编码
图1.1.2 序列信号的两种数字波形 (a) 电位型的数字波形; (b) 脉冲型的数字波形
第1章 数制与编码
数字电路和系统的输入、输出逻辑关系（功能或行为） 通常可以用文字、真值表、逻辑函数表达式、逻辑电路图、 时序图、状态图、状态表和硬件描述语言等多种形式进行 描述。在众多描述中，将文字描述的逻辑命题采用真值表、
1
（ 十进制 表 示） 4096 二进制位数 权 （ 十进制 表 示） -1
2 1
0.5
0.25
0.125
0.0625
0.03125
0.015625
第1章 数制与编码
任何一个二进制数可表示为
( N ) 2 an 1an 2 a1a0 a1a 2 am an 1 2n 1 an 2 2n 2 a1 21 a0 20 a1 2 1 a 2 2 2 a m 2 m ai 2i
( N )10 a1 21 a2 22 am 2 m
将上式两边同时乘以2， 便得到
2( N )10 a1 (a2 21 a m 2 m1 ) a1 F1
第1章 数制与编码
435 .86 4 102 4 101 5 100 8 101 6 102
上式左边称为位置记数法或并列表示法，右边称为多项式表
示法或按权展开法。
一般，对于任何一个十进制数N， 都可以用位置记数法 和多项式表示法写为
( N )10 an 1an 2 a1a0 a1a 2 am an 1 10 n 1 an 2 10 n 2 a1 101 a0 10 0 a1 10 1 a2 10 2 am 10 m ai 10i
第1章 数制与编码
第1章 数制与编码
1.1 数字逻辑电路概述 1.2 数制 1.3 编码
第1章 数制与编码
1.1 数字逻辑电路概述
自然界的各种物理量可分为模拟量和数字量两大类。
模拟量在时间上是连续取值，幅值上也是连续变化的，表
示模拟量的信号称为模拟信号，处理模拟信号的电子电路 称为模拟电路。数字量是一系列离散的时刻取值，数值的 大小和每次的增减都是量化单位的整数倍，即它们是一系 列时间离散、数值也离散的信号。表示数字量的信号称为 数字信号。处理数字信号的电子电路称为数字电路。
具有两个稳定状态且能相互转换的开关器件就可以表示一
位二进制数，因此采用二进制数的电路容易实现， 且工作 稳定可靠。 ② 算术运算规则简单。二进制数的算术运算和十进制 数的算术运算规则基本相同，惟一区别在于二进制数是 “逢二进一”及“借一当二”，而不是“逢十进一”及 “借一当十”。
第1章 数制与编码
第1章 数制与编码
图1.1.1 数字电路系统框图
第1章 数制与编码
数字电路中的电子器件都工作在开关状态，电路的输
出只有高、低两个电平，因而很容易实现二值数字逻辑。 在分析实际电路时，逻辑高电平和逻辑低电平都对应一定
的电压范围,不同系列的数字集成电路,其输入、输出为高电
平或低电平所对应的电压范围是不同的（参看第3章）。一 般用逻辑高电平(或接电源电压)表示逻辑1和二进制数的1， 用逻辑低电平（或接地）表示逻辑0和二进制数的0。在数 字电路中，当用高电平表示逻辑1，低电平表示逻辑0时称 为正逻辑；当用低电平表示逻辑1、高电平表示逻辑0时称 为负逻辑，通常情况下数字电路使用正逻辑。
第1章 数制与编码
4. 十六进制数(Hexadecimal)
十六进制数的特点是：
① 采用的 16 个数码为0、 1、 2、 …、 9、 A、 B、
C、 D、 E、 F。 符号A~F分别代表十进制数的10~15。 ② 进位规则是“逢十六进一”，基数R=16，每位的 权是16的幂。 任何一个十六进制数， 也可以根据式(1-2)表示为
1、 …、(R-1)个不同数码中的任何一个，Ri为第i位数码的权值。
i m
a R
i
n 1
(1-2)
i
第1章 数制与编码
2. 二进制数 二进制数的进位规则是“逢二进一”，其进位基数R=2， 每位数码的取值只能是0或1，每位的权是2的幂。表1.2.1列 出了二进制位数、权和十进制数的对应关系。
an 1 R n 1 an 2 R n 2 a1 R1 a0 R 0 a1 R 1 a 2 R 2 a m R m
式中，n代表整数位数，m代表小数位数，ai 为第i位数码，它可以是0、
( N )16
例如：
i m
a 16
i
n 1
i
(3 AB 11)16 3 16 2 10 161 11 160 1 16 1 1 16 2 (939 .0664 )10
第1章 数制与编码
1.2.2 进位计数制之间的转换
1.2.2 进位计数制之间的转换
第1章 数制与编码
数字电路的一般框图如图 1.1.1 所示，它有 n 个输入 X 1 ，
X 2 , X n 和 m 个输出 F1 ， F2 Fm ，此外还有一个定时信号，
即时钟脉冲信号（Clock） 。对于每一个输入 X i 和输出 F j 都是时间 和数值上离散的二值信号，用数字 0 和 1 来表示。在数字电路和系 统中，可以用 0 和 1 组成的二进制数码表示数量的大小，也可以用 0 和 1 表示两种不同的逻辑状态。当用 0 和 1 表示客观事物两种对 立的状态时，它已不表示数值了，而是表示逻辑 0 和逻辑 1，这两 种对立的逻辑状态称为二值数字逻辑或简称为数字逻辑。 数字电路 的输出与输入之间满足一定的逻辑关系， 因而数字电路也称为逻辑 电路。
余数a1 。
显然，若将上式两边再同时除以2，则所得余数是a1。 重复上述过程，直到商为0，就可得二进制数的数码a0、 a1、…、an-1。
第1章 数制与编码
例如，将(57)10转换为二进制数：
故
第1章 数制与编码
(2) 小数转换——乘2取整法。若将十进制小数(N)10转换 为二进制小数(N)2，则可以写成
1．二进制数与十进制数之间的转换
1）二进制数转换成十进制数——按权展开法 二进制数转换成十进制数时，只要二进制数按式（1-3） 展开，然后将各项数值按十进制数相加，便可得到等值的 十进制数。例如：
(10110 .11)2 1 24 1 22 1 21 1 21 1 22 (22.75)10
状态表（或图）描述的过程称为逻辑抽象，它是逻辑设计
中关键的一步。有关数字系统的各种描述形式我们将在后 续章节介绍。
第1章 数制与编码
数字电路系统只能处理用二进制数表示的数字信号，
而人们习惯用的十进制数不能直接被数字电路系统接收。
因此，在进行人与数字电路系统交换信息时，需要把十进 制数转换成二进制数，当数字系统运行结束时，为了便于
每种进位计数制中允许使用的数码总数称为基数或底数。 在任何一种进位计数制中，任何一个数都由整数和小 数两部分组成， 并且具有两种书写形式：位置记数法和 多项式表示法。
第1章 数制与编码
1. 十进制数(Decimal)
① 采用 10 个不同的数码0、 1、 2、 …、 9和一个小数点(.)。 ② 进位规则是“逢十进一”。 若干个数码并列在一起可以表示一个十进制数。例如在 435.86这个数中，小数点左边第一位的5代表个位，它的数值 为5； 小数点左边第二位的 3 代表十位，它的数值为3×101； 左边第三位的 4 代表百位，它的数值为4×102；小数点右边第 一位的值为8×10-1 ；小数点右边第二位的值为6×10-2 。可见， 数码处于不同的位置，代表的数值是不同的。这里102、101、 100、 10-1、10-2 称为权或位权，即十进制数中各位的权是基 数 10 的幂，各位数码的值等于该数码与权的乘积。因此有
人们阅读，又需要将二进制数再转换成十进制数。所以为
了便于信息交换和传输，我们需要研究各种数制之间的转 换及不同的编码方式。
第 进位计数制 按进位的原则进行计数，称为进位计数制。每一种进 位计数制都有一组特定的数码，例如十进制数有 10 个数
码， 二进制数只有两个数码，而十六进制数有 16 个数码。
如果将上式两边同除以2，所得的商为
Q1 (an 1 2n 2 an 2 2n 3 a2 21 a1 )
余数就是a0。
第1章 数制与编码
同理，这个商又可以写成
Q2 an 1 2n 3 an 2 2n 4 a2