数学分析2重要知识小结（考研及复习）第八章 不定积分1、基本公式(1)),1(11-≠++=+⎰ααααc x dx x (2)⎰+=c x dx xln 1， (3)⎰+=,ln c aa dx a xx(4)⎰+=,c e dx e x x (5)⎰+=,sin 1cos c x xdx ααα (6),cos 1sin c x dx x +-=⎰ααα(7),tan cos 12c x dx x +=⎰(8),cot sin 12c x dx x+-=⎰ (9)⎰+=,sec tan sec c x xdx x (10) ⎰+-=,csc cot csc c x xdx x (11)⎰+=-,arcsin 12c x x dx (12)⎰+=-,arcsin22c axx a dx (13)⎰+=+,arctan 12c x x dx(14) ⎰+=+,arctan 22c axx a dx(15)⎰++=,tan sec ln sec c x x xdx (16)⎰+-=,cot csc ln csc c x x xdx (17),ln 2222c a x x a x dx +±+=±⎰(18)⎰++-=-,ln 2122c a x ax a a x dx(19) ⎰+-=c x x xdx )1(ln ln 。

注：应会用前面的公式及方法推出公式(13)-(19)。

2、积分法(1) 公式法:直接用上面的公式及函数和与差的积分等于积分的和与差这一性质。

(2) 第一换元法（是将一个关于x 的函数换为一个变量） 若⎰⎰=))(())(()(x d x g dx x f ϕϕ，而⎰+=c u G du u g )()(，则 ⎰+=.))(()(c x G dx x f ϕ看到应想到：),(sin cos x d xdx = ),(cos sin x d xdx -=),(tan cos 2x d xdx= ),(cot sin 2x d x dx =- )1(2x d xdx =-，)(121x d n dx x n =-。

(3)第二换元法（将变量x 换为一个函数） 令)(t x ϕ=，若,)()())((c t F dt t t f +='⎰ϕϕ则⎰+=-.)]([)(1c x F dx x f ϕ① 遇22x a -，令t a x sin =，t a x a cos 22=- ② 遇22x a +，令t a x tan =，ta x a cos 22=+③ 遇22a x -，令t a x sec =，t a a x tan 22=-。

④ 遇含有,m x nx 的式子，n m ,的最小公倍数为k ，令k t x =。

(4)分部积分设)(x G 为)(x g 的一个原函数，则⎰⎰'-=dx x G x f x G x f dx x g x f )()()()()()(。

形如⎰,arctan xdx ⎰xdx arcsin ，⎰xdx x kln ，,dx e x xk ⎰dx e x xβα⎰cos ，dx ex xβα⎰sin 的积分必须用分部积分。

注意：能用第一换元或分部积分就不用第二换元。

(5)三角有理式的积分①xdx x m n sin cos ⎰：“有奇换元一，无奇就降幂”。

降幂公式：)2cos 1(21cos 2x x +=，)2cos 1(21sin 2x x -=。

②万能替换2tan x t =，此时,11cos 22t t x +-= ,12sin 2t t x += 212tdtdx += (6) 有理函数及简单无理函数的积分遇c bx ax ++2或cbx ax ++21，应先进行配方：a b ac a b x a c bx ax 44)2(222-++=++，令u abx =+2，消掉一次项。

对ab ac au c bx ax 44222-+=++，根据情况利用三角换元进行计算。

第九章 定积分1、定积分定义定义：设)(x f 是定义在],[b a 上的一个函数，J 是一个确定的实数，若对于任意的0>ε，存在0>δ，对于],[b a 的任意分法T 以及其上选取的点集}{i ξ,只要,δ<T 就有εξ<-∆∑=ni iiJ xf 1)(,称函数)(x f 在],[b a 上可积，J 称为)(x f 在],[b a 上的定积分，记为 ⎰badx x f )(2定积分计算牛顿莱布尼兹公式：设)(x F 为)(x f 的一个原函数，则).()()(a F b F dx x f ba-=⎰给出一个定积分，怎样计算呢？就看在不定积分中用什么方法。

但应注意：在第二换元积分中，新变量，用新限。

3定积分性质(1)⎰⎰=babadx x f k dx x kf )()(，(2)⎰⎰⎰±=±bab ab adx x g dx x f dx x g x f )()()]()([,(3)dx x f dx x f dx x f bcc ab a⎰⎰⎰+=)()()(,(4))()()(b a dx x f dx x f ba ba<≤⎰⎰,(5)),()(x g x f ≤⎰⎰≤babadx x g dx x f )()(. (6)积分第一中值定理若)(x f 在],[b a 上连续，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使得))(()(a b f dx x f ba-=⎰ξ。

(7) 推广的积分第一中值定理若)(x f 在],[b a 上连续，)(x g 在],[b a 上可积且不变号，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使得.)()()()(dx x g f dx x g x f baba⎰⎰=ξ4、变限积分(1)若)(x f 连续，则①),())((x f dx t f xa='⎰ ②),())((x f dx t f bx-='⎰③).())(()())(())(()()(x a x a f x b x b f dt t f x b x a '-'='⎰几个重要积分结果：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=--=-==⎰⎰.2,2!!!)!1(12,!!!)!1(cos sin 2020k n n n k n n n dx x dx x nn πππ（2）⎰⎰=2020)(cos )(sin ππdx x f dx x f（3）设)(x f 是以T 为周期的周期函数，则对于任意实数a ，有⎰⎰+=TTa adx x f dx x f 0)()(（4）若)(x f 为奇函数，则⎰-=aa dx x f 0)(。

（5）若)(x f 为偶函数，则⎰⎰-=aaadx x f dx x f 0)(2)(第十章 定积分应用1、平面区域面积 ①在直角坐标系下设区域由),(),(x g y x f y ==b a b x a x <==,,所围成 ⎰-=BA dx x g x f S )()(。

②曲线用参数方程表示设区域由βα≤≤==t t y y t x x ),(),(，)(αx x =，)(βx x =，x 轴所围成。

⎰'=βα.)()(dt t x t y S③ 曲线用极坐标表示设区域由)(θr r =，,αθ=βθ=，βα<所围成。

⎰=βαθθd r S )(212。

2、截面积已知的体的体积(1) 设体在直线l 上的投影区域为],[b a ，而过],[b a 上每一点做直线l 的垂面去截体，所得截面积为)(x A ，则该体的体积为 ⎰=ba dx x A V )((2)旋转体的体积由b x a x f y ≤≤=),(绕x 轴旋转一周后所得体的体积。

dx x f V ba ⎰=)(2π若曲线为参数方程：βα≤≤==t t y y t x x ),(),(绕x 轴旋转一周后所得体的体积 dt t x t y V ⎰'=βαπ)()(23、平面曲线的弧长(1)设曲线方程为：βα≤≤==t t y y t x x ),(),(，则弧长为 dt t y t x s ⎰'+'=βα22)]([)]([。

(2)设曲线方程为：b x a x f y ≤≤=),( dx x f s b a⎰'+=2)]([1(3)设曲线方程为：)(θr r =，βθα<< θθθβαd r r s ⎰'+=22)]([)]([4、旋转体的侧面积(1)旋转体是由曲线b x a x f y ≤≤=),(绕x 轴旋转一周所得dx x f x f S ba ⎰+=)(1)(22π(2) 旋转体是由曲线βα≤≤==t t y y t x x ),(),(绕x 轴旋转一周所得 dt t y t x t y S ba ⎰'+'=22)]([)]([)(2π5、物理中的应用(1)液体静压力 (2)引力 (3)做功 注意书中的题和练习题。

第十一章 反常积分1、无穷积分 (1)无穷积分的定义 若⎰+∞→uau dx x f )(lim存在，称此极限值为)(x f 在),[+∞a 上的无穷积分，记作⎰+∞adx x f )(若极限不存在，称此积分发散。

(2)无穷积分收敛的判别法定理1 无穷积分⎰+∞adx x f )(收敛的充要条件为：对于任意的0>ε，存在0>M ，对于任意的M u u >''',，有ε<⎰'''u u dx x f )(。

①非负函数的无穷积分收敛判别法定理2 对于非负函数)(),(x g x f ，若在任意区间],[u a 上可积，且)()(x g x f ≤。

则 (i) 若⎰+∞a dx x g )(收敛，则⎰+∞a dx x f )(收敛。

(ii)若⎰+∞adx x f )(发散，则⎰+∞adx x f )(发散。

定理3 若)(x f 为非负函数，在任意区间],[u a 上可积，且 λ=+∞→)(lim x f x p x ， 则有(i) 当+∞<≤λ0，1>p 时，⎰+∞adx x f )(收敛，(ii)当1,0≤+∞≤<p λ时，⎰+∞adx x f )(发散。

②一般无穷积分的收敛判别法 定理4 绝对收敛必收敛。

定理5(阿贝尔判别法)若 (i) ⎰+∞adx x f )(收敛, (ii) )(x g 在),[+∞a 单调有界，则⎰+∞adx x g x f )()(收敛。

定理6(狄利克雷判别法)若(i) ⎰=ua dx x f u F )()(有界, (ii) )(x g 在),[+∞a 单调趋向于零，则⎰+∞adx x g x f )()(收敛。