第2章信道与噪声
差错控制编码
第10章
10.210.110.410.3引 言差错控制编码的基本概念几种简单的差错控制码线性分组码
10.5循环码
10.6卷积码目录
10.1引 言
•在实际信道上传输数字信号时，由于信道传输特性不理想，以及加性噪声和人为干扰的影响，接收端所接收到的数字信号不可避免地会发生错误而引起误码。

•为了降低误码率、提高可靠性，常采用的方法有两种：
•一是降低数字信道本身引起的误码，如选择高质量的传输线路，改善信道的传输特性，增加信号的发射功率，选择有较强抗干扰能力的调制解调方
案等；
•二是采用信道编码，在待发送的信息码元中按照一定的监督规律人为加入一些必要的监督码元，在接收端利用这些监督码元与信息码元之间的监督
规律，发现和纠正差错，以提高信息码元传输的可靠性。

10.2
差错控制编码的基本概念
Ø基本原理：在发送端被传输的信息码元上附加一些冗余码元（监督码元），使监督码元与信息码元之间构成某种确定的制约关系，接收端通过判断这一监督关系是否遭到破坏来断定接收码元的正确性，有的监督关系还给接收端纠正错误码元提供了信息，这样就可以很好地保证信息的可靠传输了。

Ø定理指出：对于一个给定的有扰信道，若信道容量为C，只要发送端以低于C的码元速率R B发送信息，则总存在着一种编码方式，使编码差错概率P随编码长度n （称为码长）的增加按指数规律下降到任意小的值。

Ø注意:在数字通信中，根据不同的目的，编码可分为信源编码和信道编码。

10.2.2 差错控制编码的分类
Ø按照差错控制编码的不同功能，可以将其分为检错码和纠错码。

Ø按照信息码元和附加的监督码元之间的函数关系可分为线性码和非线性码。

Ø按照信息码元和监督码元之间的约束方式不同可分为分组码和卷积码。

Ø按照纠正错误的类型不同，可分为纠正随机错误的码和纠正突发错误的码。

10.2.3 差错控制编码的基本方式
1．自动请求重发
Ø自动请求重发是计算机网络中较常采用的差错控制方法。

Ø原理：发送端将要发送的数据附加上一定的冗余检错码一并发送，接收端则根据检错码对数据进行差错检测，如果发现差错，则接收端返回请求重发的信息，发送端在收到请求重发的信息后，再重新发送一次数据，如果没有发现差错，则发送下一个数据。

Ø优点:译码设备简单，对突发错误和信道干扰较严重的情况比较有效。

Ø缺点:需要反馈信道，实时性差。

1．自动请求重发
自动请求重发示意
1．自动请求重发
自动请求重发方式
1）停发等待重发
在这种方式中，不论接收端收到的信息是否正确，都需要接收端回发反馈信号，并且发送端只有收到接收端的确认信号，才会发送下一个信号。

特点:系统简单，时延长。

1．自动请求重发
2）返回重发
•在这种方式中，发送端不需要接收到ACK确认信号后才发送下一个信号，而是不停地发送。

•特点:系统较为复杂，时延减小。

1．自动请求重发
3）选择重发
Ø在这种方式中，发送端不停地发送信号，当发送端收到接收端回发的NAK 信号后，将只重发错误码组。

特点:系统复杂，时延最小。

2．前向纠错
原理：发送端将要发送的数据附加上一定的冗余纠错码一并发送，接收端则根据纠错码对数据进行差错检测，如果发现差错，由接收端进行纠正。

优点：使用纠错码和单向信道，发送端无须设置缓冲器。

缺点：设备复杂、成本高。

3．混合纠错
•混合纠错方式是FEC和ARQ方式的结合
•原理：发送端发送具有检错和纠错能力的码，接收端收到该码后，首先检查差错情况。

•如果错误发生在该码的纠错能力范围内，则自动进行纠错，如果超过了该码的纠错能力，但能检测出来，则经过反馈信道请求发送端重发。

4．反馈检验
•原理：接收端将收到的信息原封不动地回送给发送端，发送端将此回送的信码与原发送的信码进行比较。

•这种检验方式需要双向信道，设备简单，可以纠正任何错误。

•缺点：会引入较大的时延。

10.2.4 最小码距与检错/纠错的关系
Ø一种编码方式中的最小码距d0的大小将直接关系到该传输码组的检错和纠错能力。

Ø具体关系如下:
（1）为了检测e个随机错误，则要求码组的最小码距d0≥e+1。

（2）为了纠正t个随机错误，则要求码组的最小码距d0≥2t+1。

（3）为了纠正t个随机错码，同时检测e个随机错误，则要求码组的最小码距d0≥e+t+1（e≥t）。

10.2.5 编码效率
•例如，要传送k位信息码元，经过编码后得到码长为n的码组，监督码元的位数r=n−k，则编码效率为
10.3
几种简单的差错控制码
•奇偶校验码的编码规则是：首先将所要传送的信息分组，然后在每个码组的信息码元后面附加一个校验码元，使得该码组中码元“1”的个数
为奇数（奇校验）或偶数（偶校验）。

•偶校验是使每个码组中“1”的个数为偶数，其校验方程为
•同样奇校验码组中“1”的个数为奇数，其校验方程为
•奇偶校验只能检出码字中任意奇数个差错，对于偶数个差错则无法检测，因此它的检测能力不强。

但是它的编码效率很高，实现起来容易，因而被广泛采用。

2．群计数码
•群计数码的特点是检错能力很强，除非传输码组中发生1变成0和0变成1的成对错误，其他所有形式的错码都能检测出来。

3．恒比码
•在恒比码中，每个传输码组均包含相同数目的“1”和“0”，即“1”
的数目和“0”的数目的比值是恒定的。

•接收端只要计算“1”的数目是否正确就可以检测错码。

•恒比码主要应用在类似于电传通信的系统中。

4．正反码
•在正反码中，信息码元与监督码元的位数是相同的，根据信息码元中“1”的数目a的不同，监督码元与信息码元完全相同或者完全相反。

10.4线性分组码
•监督关系式
•若码长为n，信息位数为k，则监督位数r=n-k。

如果希望用r个监督位构造出r个监督关系式来纠正一位或一位以上错误的线性码，则必要求
•（7，4）码校正子与误码位置
•仅当错码位置在a2、a4、a5或a6时，校正子S1为1；否则S1为0。

•这就意味着a2、a4、a5或a6这4个码元构成偶数监督关系：
•同理，a1、a3、a5或a6构成偶数监督关系：
•同理，a0、a3、a4或a6构成偶数监督关系：
•在发送端编码时，信息位a6、a5、a4、a3的值决定于输入信号，因此是随机的。

•（7，4）码校正子与误码位置
10.3.1 奇偶校验码
•主要性质如下:
（1）任意两许用码之和（对于二进制码这个和的含义是模 2 和）仍为一许用码，也就是说，线性分组码具有封闭性。

（2）码组间的最小码距等于非零码的最小码重。

10.5循环码
Ø它具有两大特点：
•一是码的结构可以用代数方法来构造和分析，并且可以找到各种实用的译码方法；
•二是具有循环特性，编码运算和校正子计算可用反馈移位寄存器来实现，硬件实现简单，其编码、译码、检测和纠错已由集成电路产品实
现，是目前通信传送系统和磁介质存储器中广泛采用的一种编码。

10.5.1 循环码的码多项式
•循环码除具有线性分组码的封闭性之外，还具有独特的循环性。

•循环性:指任一许用码组经过循环移位后所得到的码组仍为许用码组。

•（7，3）循环码的全部码组
•若一个整数m可以表示为
•若任意一个码多项式F(x)被一个n次多项式N(x)除，得到商式Q (x)和一个次数小于n的余式 R(x)，即
•可以证明：码长为n的码多项式T(x)和经过i次左移位后所得到的码多项式T(i)(x)的关系为
10.6卷积码
（2, 1, 3）卷积码编码器
（2,1,3）卷积码编码的过程（输入自上而下为110100）
（2，l，3）卷积码编码器的状态变化表
1．维特比译码
•维特比译码主要应用在卫星通信和蜂窝网通信系统中，这种译码方法比较简单、计算快，故得到广泛应用。

•基本方法：将接收到的信号序列和所有可能的发送信号序列做比较，选择其中汉明距离最小的序列认为是当前发送
信号序列。

2．序列译码
•当m很大时，可以采用序列译码法。

•过程：译码先从码树的起始节点开始，把接收到的第一个子码的n个码元与自始节点出发的两条分支按照最小汉明距离进行比较，沿着差异最小
的分支走向第二个节点。

•在第二个节点上，译码器仍以同样原理到达下一个节点，依此类推，最后得到一条路径。

•若接收码组有错，则自某节点开始，译码器就一直在不正确的路径中行进，译码也一直错误。

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