思考题解答
由 f ( x ) + g ( x ) 或 f ( x ) g ( x ) 在[a , b]上可 上都可积。 积，不能断言 f ( x ), g ( x ) 在[a , b]上都可积。
1, x为有理数 例 f ( x) = 0， x为无理数
0, x为有理数 g( x ) = 1， x为无理数
a
b
性质5 性质5 如果在区间[a , b]上 f ( x ) ≥ 0 ，
则
∫
b
a
f ( x )dx ≥ 0. ( a < b )
性质5的推论1 性质5的推论1： （1）如果在区间[a , b ]上 f ( x ) ≤ g ( x ) ， ）
则
∫
b
a
f ( x )dx ≤ ∫ g ( x )dx .
∫
b
a
f ( x )dx > 0 ；
f ( x )dx = ∫ g ( x )dx ，则在[a , b]上f ( x ) ≡ g ( x ) .
b a
∫
b
a
练习题答案
一、1． ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx ；
a c c b
b
2． 2． m (b − a ) ≤ ∫ f ( x )dx ≤ M (b − a ) , a < b ；
x
0 2
0
2
1 1 0
1
1
0
证明： 二、 证明： ∫ kf ( x )dx = k ∫ f ( x )dx （ k 是常数 ）.
a a
b
b
三、 估计下列积分 ∫ 四、证明不等式： ∫ 证明不等式：
2 1
3 3 3
xarctgxdx 的值 .
x + 1dx ≥ 2 .
六、用定积分定义和性质求极限: 用定积分定义和性质求极限: 1 1 1 1． lim( + + ... + ) ; n→ ∞ n + 1 n+2 2n
b
b
b
a
g ( x )dx .
a
= lim ∑ f (ξ i )∆xi ± lim ∑ g (ξ i )∆xi
λ → 0 i =1
b
i =1 n
n
λ → 0 i =1
= ∫ f ( x )dx ± ∫ g ( x )dx .
a a
b
（此性质可以推广到有限多个函数代数和的情况） 此性质可以推广到有限多个函数代数和的情况）
_______________； _______________；
下列两积分的大小关系是： 5. 下列两积分的大小关系是： （1） ∫ x dx _____ ∫ x 3dx
2 1 1
（2） ∫ ln xdx _______ ∫ (ln x )2 dx （3） ∫ e dx _______ ∫ ( x + 1)dx
性质2 性质2 性 x )dx = k ∫ f ( x )dx
a
b
( k 为常数 为常数).
b
a
f ( x )dx =
b
∫
c a
f ( x )dx + ∫ f ( x )dx .
c
a < b < c,
c
∫
a
f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx
上连续，证明： 七、设 f ( x ) 及 g( x )在[ a , b ]上连续，证明：
b a
2． lim ∫ 4 sin n xdx .
n →∞ 0
π
1. 若在[a , b]上 f ( x ) ≥ 0 ,且 ∫ f ( x )dx = 0 ，则在[a , b]
上 f ( x) ≡ 0 ； ,且 2．若在[a , b]上， f ( x ) ≥ 0 ,且 f ( x ) 不 恒等于 0 ，则 3．若在[a , b]上 f ( x ) ≤ g ( x ) ,且
连续， 例 3 设 f ( x ) 连续，且 lim f ( x ) = 1，
x → +∞
求 lim
x →+∞
∫
x+2 x
3 t sin f ( t )dt . t
解 由积分中值定理知有 ξ ∈ [ x , x + 2],
3 3 使 ∫ x t sin f ( t )dt = ξ sin f (ξ )( x + 2 − x ), t ξ x+2 3 3 lim ∫ t sin f ( t )dt = 2 lim ξ sin f (ξ ) x →+∞ x ξ → +∞ t ξ
∴
π
4
≤
∫
π
0
1 π dx ≤ . 3 3 3 + sin x
性质7 定积分中值定理） 性质7（定积分中值定理） 上连续， 如果函数 f ( x ) 在闭区间[a , b]上连续，
则在积分区间 [ a , b ]上至少存在一个 点 ξ ，
使 ∫ f ( x )dx = f (ξ )(b − a ) .
= 2 lim 3 f (ξ ) = 6.
ξ → +∞
x+2
二、小结
１．定积分的性质
（注意估值性质、积分中值定理的应用） 注意估值性质、积分中值定理的应用）
２．典型问题
（１）估计积分值； 估计积分值； （２）不计算定积分比较积分大小． 不计算定积分比较积分大小．
思考题
定积分性质中指出， 定积分性质中指出，若 f ( x ), g ( x ) 在[ a , b ] 上都可积， 上都可积，则 f ( x ) + g ( x ) 或 f ( x ) g ( x ) 在 [ a , b ] 上也可积。这一性质之逆成立吗？为什 上也可积。这一性质之逆成立吗？ 么？
a
b
(a < b)
例 1 比较积分值
∫
−2
0
e dx 和 ∫ xdx 的大小 的大小.
x 0
−2
解
令 f ( x ) = e x − x,
x ∈ [−2, 0] −
∵ f ( x ) > 0,
∴
0 −2
∫
0
−2
( e − x )dx > 0,
x
∴
∫
0
−2
e dx > ∫ xdx ,
x
于是
∫
−2 0
第二节 定积分的性质
一、基本内容 二、小结 思考题
一、基本内容
性质1 性质1 证
∫ [ f ( x ) ± g( x )]dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ ∫ [ f ( x ) ± g( x )]dx n = lim ∑ [ f (ξ i ) ± g (ξ i )]∆xi λ →0
a b a
∫
a b
a
f ( x )dx ≤ ∫ f ( x )dx
a
b
a
a
性质6 性质6
设 M 及 m 分别是函数
f ( x ) 在区间[a , b]上的最大值及最小值， 上的最大值及最小值，
则 m(b − a ) ≤
∫
b
a
f ( x )dx ≤ M (b − a ).
（此性质可用于估计积分值的大致范围） 此性质可用于估计积分值的大致范围）
a
b
(a ≤ ξ ≤ b)
积分中值公式
积分中值公式的几何解释： 积分中值公式的几何解释：
y
f (ξ )
o
a ξ
在区间[a , b]上至少存在一 使得以区间[a , b]为 个点ξ ， 底边， 底边， 以曲线 y = f ( x ) 为曲边的曲边梯形的面积 等于同一底边而高为 f (ξ ) b x 的一个矩形的面积。 的一个矩形的面积。
a
3． 3． ∫ f ( x )dx = − ∫ f ( x )dx ；
a b
b
a
4．曲边梯形各部分面积的代数和等于 f (ξ ) 与 b − a 为邻 边的矩形面积； 边的矩形面积； 5．(1)>； (2)>； 5．(1)>； (2)>； (3)>. 3 π 2 三、1． ≤ ∫ 1 x arctan xdx ≤ π ； 9 3 3 1 1 dx 3 2． 2． ≤ ∫ ≤ arcsin . 2 3 0 2 5 4 − 2x − x + x
a b
c
则
∫
b
a
f ( x )dx = ∫ f ( x )dx − ∫ f ( x )dx
a b
c
c
= ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx .
a c
c
b
（定积分对于积分区间具有可加性） 定积分对于积分区间具有可加性）
性质4 性质4
∫
b
a
1 ⋅ d x = ∫ dx = b − a .
e dx <
x
∫
−2 0
xd x .
性质5的推论2 性质5的推论2： （2） ）
∫
b
a
f ( x )dx ≤ ∫ f ( x )dx . ( a < b )
a
b b b
b
证 ∵ − f ( x) ≤ f ( x) ≤ f ( x) ,
即
∴ − ∫ f ( x )dx ≤ ∫ f ( x )dx ≤ ∫ f ( x )dx ,
上可积， 显然 f ( x ) + g ( x ) 和 f ( x ) g ( x ) 在[0,1]上可积，但 f ( x ), g ( x ) 在[0,1]上都不可积。 上都不可积。