浦东新区2010学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（理科） 2011.1题 号 一二三总 分 141-1815-19 20 21 22 23 得 分注意：1. 答卷前，考生务必在试卷上指定位置将学校、班级、姓名、考号填写清楚. 2. 本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题共有14题，满分56分）只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．函数xx y --=21的定义域为__________________. 2．函数)1(log 3-=x y 的反函数是__________________.3．若五个数3,2,1,0,a 的平均数为1，则这五个数的方差等于__________________. 4．方程0cos sin sin cos =xx x x 的解为__________________.5．若“条件α：2x ≤4≤”是“条件β：31m x m -≤≤-”的充分条件，则m 的取值范围是__________________.6．从一个底面半径和高都是R 的圆柱中，挖去一个以圆柱的上底为底，下底面的中心为顶点的圆锥，得到一个如图（1）所示的几何体，那么这个几何体的体积是_________________. 7．在等差数列}{n a 中，18,0654321=++=++a a a a a a ，则数列}{n a 的通项公式为__________________.8．在ABC ∆中，60,4,13=∠==ACB BC AB ，则AC 的长等于__________________. 9．已知]32,6[ππα∈，则αsin 的取值范围是__________________.10．执行如图（2）所示的程序框图，若输入0=x ，则输出y 的值为__________________.11．已知方程)(04)4(2R a ai x i x ∈=++++有实数根b ，则复数=+bi a __________________.得分评卷人图（1）图（2）12．世博期间，5人去某地铁站参加志愿者活动，该地铁站有4个出口，要求每个出口都要有志愿者服务，不同安排方法有__________________种（用数值表示）.13．设定义*N 上的函数⎪⎩⎪⎨⎧=)()2()()(为偶数为奇数n n f n nn f ，)2()3()2()1(nn f f f f a ++++= ，那么=-+n n a a 1__________________.14．在某条件下的汽车测试中，驾驶员在一次加满油后的连续行驶过程中从汽车仪表盘得到如下信息：注：油耗=加满油后已行驶距离加满油后已用油量，可继续行驶距离=当前油耗汽车剩余油量，平均油耗指定时间内的行驶距离指定时间内的用油量=.从上述信息可以推断在10∶00—11∶00这1小时内________ (填上所有正确判断的序号) .① 向前行驶的里程为80公里； ② 向前行驶的里程不足80公里； ③ 平均油耗超过9.6升/100公里； ④ 平均油耗恰为9.6升/100公里； ⑤ 平均车速超过80公里/小时．二、选择题(本大题共有4题，满分16分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 4分，否则一律得零分.15．若函数)sin()(ϕ+=x x f 是偶函数，则ϕ可取的一个值为 （ ）A ．πϕ-=B ．2πϕ-=C ．4πϕ-=D ．8πϕ-=16．关于数列{a n }有以下命题，其中错误的命题为 （ ）A ．若2≥n 且n n n a a a 211=+-+，则}{n a 是等差数列B ．设数列}{n a 的前n 项和为n S ，且n n a S +=12，则数列}{n a 的通项1)1(--=n n aC ．若2≥n 且211n n n a a a =-+，则}{n a 是等比数列D ．若}{n a 是等比数列，且k n m N k n m 2,=+∈*，，，则2k n m a a a =17．一颗骰子连续掷两次，朝上的点数依次为a 、b ，使复数)4)((ai b bi a -+为实数的概率是 （ ）A ．31 B ．41 C ．61D ．121 18．点O 在ABC ∆所在平面内，给出下列关系式：（1）0=++OC OB OA ；（2）OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅；（3）0=⎫⎛-⋅=⎫⎛-⋅BA BC OB AB AC OA ； （4）0)()(=⋅+=⋅+BC OC OB AB OB OA ．则点O 依次为ABC ∆的 （ ）A ．内心、外心、重心、垂心B ．重心、外心、内心、垂心C ．重心、垂心、内心、外心D ．外心、内心、垂心、重心三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤．19．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知向量),(),,(a a n a a m x x =-=，其中0>a 且1≠a ，（1）当x 为何值时，n m ⊥；（2）解关于x的不等式m <.20．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）野营活动中，学生在平地上用三根斜杆搭建一个正三棱锥形的三脚支架ABC P -（如图3）进行野炊训练. 已知cm PC 130=，A 、B 两点间距离为cm 350.（1）求斜杆PC 与地面ABC 所成角的大小（用反三角函数值表示）；（2）将炊事锅看作一个点Q ，用吊绳PQ 将炊事锅吊起烧水（锅的大小忽略不计），若使炊事锅Q 到地面ABC 及各条斜杆的距离都不小于30cm ，试问吊绳PQ 长的取值范围.21．（本小题满分16分，第1小题满分6分，第2小题满分10分）已知]2,1[,3)(∈-+=x xbx x f (1) 2=b 时，求)(x f 的值域；(2) 2≥b 时，)(x f 的最大值为M ，最小值为m ，且满足：4≥-m M ，求b 的取值范围．图（3）22．（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分）（1）若对于任意的*∈N n ，总有1)1(2++=++n Bn A n n n 成立，求常数B A ,的值；（2）在数列}{n a 中，211=a ，)1(221+++=-n n n a a n n （2≥n ，*∈N n ），求通项n a ；（3）在（2）题的条件下，设2)1(21+++=n n a n n b ，从数列}{n b 中依次取出第1k 项，第2k 项，…第n k 项，按原来的顺序组成新的数列}{n c ，其中n k n b c =，其中m k =1，*+∈=-N r k k n n 1.试问是否存在正整数r m ,使S c c c n n =++++∞→)(lim 21 且131614<<S 成立？若存在，求正整数r m ,的值；不存在，说明理由.23．（本题满分18分，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知函数)(x f ，如果存在给定的实数对（b a ,），使得b x a f x a f =-⋅+)()(恒成立，则称)(x f 为“S-函数”.（1）判断函数xx f x x f 3)(,)(21==是否是“S-函数”；（2）若x x f tan )(3=是一个“S-函数”，求出所有满足条件的有序实数对),(b a ； （3）若定义域为R 的函数)(x f 是“S-函数”，且存在满足条件的有序实数对)1,0(和)4,1(，当]1,0[∈x 时，)(x f 的值域为]2,1[，求当]2012,2012[-∈x 时函数)(x f 的值域.浦东新区2010学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（理科） 2011.1题 号 一二三总 分 141-1815-19 20 21 22 23 得 分注意：1. 答卷前，考生务必在试卷上指定位置将学校、班级、姓名、考号填写清楚. 2. 本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题共有14题，满分56分）只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．函数xx y --=21的定义域为_____),2()2,1[+∞ _____. 2．函数)1(log 3-=x y 的反函数是__13+=xy （R x ∈）___.3．若五个数3,2,1,0,a 的平均数为1，则这五个数的方差等于______2_______. 4．方程0cos sin sin cos =xx x x 的解为_____)(,42Z k k x ∈+=ππ______. 5．若“条件α：2x ≤4≤”是“条件β：31m x m -≤≤-”的充分条件，则m 的取值范围是____]4,(--∞_____.6．从一个底面半径和高都是R 的圆柱中，挖去一个以圆柱的上底为底，下底面的中心为顶点的圆锥，得到一个如图（1）所示的几何体，那么这个几何体的体积是____332R π____. 7．在等差数列}{n a 中，18,0654321=++=++a a a a a a ，则数列}{n a 的通项公式为____42-=n a n _____.8．在ABC ∆中，60,4,13=∠==ACB BC AB ，则AC 的长等于____1或3 ____. 9．已知]32,6[ππα∈，则αsin 的取值范围是____]1,21[______. 10．执行如图（2）所示的程序框图，若输入0=x ，则输出y 的值为______23-________. 得分评卷人图（1）图（2）11．已知方程)(04)4(2R a ai x i x ∈=++++有实数根b ，则复数=+bi a ____i 22-____. 12．世博期间，5人去某地铁站参加志愿者活动，该地铁站有4个出口，要求每个出口都要有志愿者服务，不同安排方法有____240______种（用数值表示）.13．设定义*N 上的函数⎪⎩⎪⎨⎧=)()2()()(为偶数为奇数n n f n nn f ，)2()3()2()1(nn f f f f a ++++= ，那么=-+n n a a 1____n4_____.14．在某条件下的汽车测试中，驾驶员在一次加满油后的连续行驶过程中从汽车仪表盘得到如下信息：注：油耗=加满油后已行驶距离加满油后已用油量，可继续行驶距离=当前油耗汽车剩余油量，平均油耗指定时间内的行驶距离指定时间内的用油量=.从上述信息可以推断在10∶00—11∶00这1小时内__②③__ (填上所有正确判断的序号) .①行使了80公里； ②行使不足80公里；③平均油耗超过9.6升/100公里； ④平均油耗恰为9.6升/100公里； ⑤平均车速超过80公里/小时． 解题过程：实际用油为7.38.行驶距离为875.761006.938.7=⨯<，所以①错误，②正确. 设L 为已用油量，△L 为一个小时内的用油量，S 为已行驶距离，△S 为一个小时内已行的距离⎪⎩⎪⎨⎧=∆+∆+=6.95.9SS LL S L得S S V V ∆+=∆+6.96.9， S S V S ∆+=∆+6.96.95.9，S S V ∆+=∆6.91.0，6.96.91.0>+∆=∆∆SSS V . 所以③正确，④错误.⑤由②知错误.二、选择题(本大题共有4题，满分16分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 4分，否则一律得零分.15．若函数)sin()(ϕ+=x x f 是偶函数，则ϕ可取的一个值为 （ B ）A ．πϕ-=B ．2πϕ-=C ．4πϕ-=D ．8πϕ-=16．关于数列{a n }有以下命题，其中错误的命题为 （ C ）A ．若2≥n 且n n n a a a 211=+-+，则}{n a 是等差数列B ．设数列}{n a 的前n 项和为n S ，且n n a S +=12，则数列}{n a 的通项1)1(--=n n aC ．若2≥n 且211n n n a a a =-+，则}{n a 是等比数列D ．若}{n a 是等比数列，且k n m N k n m 2,=+∈*，，，则2k n m a a a =17．一颗骰子连续掷两次，朝上的点数依次为a 、b ，使复数)4)((ai b bi a -+为实数的概率是 （ D ）A ．31 B ．41 C ．61D ．121 18．点O 在ABC ∆所在平面内，给出下列关系式：（1）=++；（2）OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅；（3）0=⎫⎛-⋅=⎫⎛-⋅BA BC OB AB AC OA ； （4）0)()(=⋅+=⋅+．则点O 依次为ABC ∆的 （ C ）A ．内心、外心、重心、垂心B ．重心、外心、内心、垂心C ．重心、垂心、内心、外心D ．外心、内心、垂心、重心三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤．19．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知向量),(),,(a a n a a m x x =-=，其中0>a 且1≠a ，（1）当x 为何值时，n m ⊥； （2）解关于x的不等式-<+解：（1）因为0,=⋅⊥n m n m 所以,…………………………………………………………2分得022=-a ax，即22a a x =.……………………………………………………4分所以22=x ，即1=x ，∴当1=x 时，n m ⊥.………………………………6分（2-<+，∴22)()(n m n m -<+，0<⋅∴.所以022<-a a x，即22a a x<.…………………………………………………10分 当10<<a 时，1>x ，当1>a 时，1>x . 综上，当10<<a 时，不等式的解集为),1(+∞;当1>a 时，不等式的解集为)1,(-∞.……………………………………14分20．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）野营活动中，学生在平地上用三根斜杆搭建一个正三棱锥形的三脚支架ABC P -（如图3）进行野炊训练. 已知cm PC 130=，A 、B 两点间距离为cm 350.（1）求斜杆PC 与地面ABC 所成角的大小（用反三角函数值表示）；（2）将炊事锅看作一个点Q ，用吊绳PQ 将炊事锅吊起烧水（锅的大小忽略不计），若使炊事锅Q 到地面ABC 及各条斜杆的距离都不小于30cm ，试问吊绳PQ 长的取值范围. 解：（1）设P 点在平面ABC 上的射影为点O ，连接CO ，50=CO ，……………3分在Rt △POC 中，135cos =∠PCO ，所以135arccos =∠PCO .…5分即PC 与底面ABC 所成角的大小为135arccos .……6分（2）在Rt △POC 中，解得120=PO ，作PC QD ⊥交PC 于D 点，由30≥QD ，得7813530sin =≥∠=QPD QD PQ .……11分 又9030120=-≤PQ ,………………………………13分 故吊绳长度的取值范围为]90,78[.……………………14分21．（本小题满分16分，第1小题满分6分，第2小题满分10分）已知]2,1[,3)(∈-+=x xbx x f (1) 2=b 时，求)(x f 的值域；(2) 2≥b 时，)(x f 的最大值为M ，最小值为m ，且满足：4≥-m M ，求b 的取值范围． 解：（1）当b=2时，]2,1[,32)(∈-+=x xx x f . 因为)(x f 在]2,1[上单调递减，在]2,2[上单调递增, ……………………２分所以)(x f 的最小值为322)2(-=f .…………………………………………４分 又因为0)2()1(==f f ,……………………………………………………………５分 所以)(x f 的值域为]0,322[-．…………………………………………………6分（2）（ⅰ）当42<≤b 时，因为)(x f 在],1[b 上单调递减，在]2,[b 上单调递增.所以M=.32)(,2)}2(),1(max {-==-=b b f m b f f412≥+-=-b b m M ，得4)1(2≥-b .即9≥b ，与42<≤b 矛盾.…………………………………………………11分 （ⅱ）4≥b 时，)(x f 在[1，2]上单调递减.M=b-2，12-=b m ，M - m =412≥-b，即10≥b .………………………16分22．（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分）（1）若对于任意的*∈N n ，总有1)1(2++=++n Bn A n n n 成立，求常数B A ,的值；（2）在数列}{n a 中，211=a ，)1(221+++=-n n n a a n n （2≥n ，*∈N n ），求通项n a ；（3）在（2）题的条件下，设2)1(21+++=n n a n n b ，从数列}{n b 中依次取出第1k 项，第2k 项，…第n k 项，按原来的顺序组成新的数列}{n c ，其中n k n b c =，其中m k =1，*+∈=-N r k k n n 1.试问是否存在正整数r m ,使S c c c n n =++++∞→)(lim 21 且131614<<S 成立？若存在，求正整数r m ,的值；不存在，说明理由. 解：（1）由题设得2)1(+=++n Bn n A 即2)(+=++n A n B A 恒成立，所以⇒⎩⎨⎧==+21A B A 2=A ，1-=B .…………………………………4分（2）由题设)1(221+++=-n n n a a n n （2≥n ）又112)1(2+-=++n n n n n 得，)1(2221111n a n a n a n n n +=+=++--，且1211=+a ，即}11{++n a n 是首项为1，公比为2的等比数列，………………………………8分所以1211-=++n n n a . 即1121+-=-n a n n 为所求.………………………………9分 （3）假设存在正整数r m ,满足题设，由（2）知1121+-=-n a n n显然n n n a n n b 212)1(21=+++=，又n k n b c =得r k k k k n n n n n n b b c c 21)21(111===-+++，m k b c 2111==即}{nc 是以m 21为首项，r21为公比的等比数列.………………11分 于是)(lim 21n n c c c S +++=+∞→ rm mrm --=-=22121121，………………………12分 由131614<<S 得4612213<-<-r m m ，*∈N r m ,,所以1422=--r m m 或15，…………………………………………14分 当1422=--r m m 时，3,4==r m ； 当1522=--rm m 时，4,4==r m ；综上，存在正整数r m ,满足题设，3,4==r m 或4,4==r m .……………16分23．（本题满分18分，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知函数)(x f ，如果存在给定的实数对（b a ,），使得b x a f x a f =-⋅+)()(恒成立，则称)(x f 为“S-函数”.（1）判断函数xx f x x f 3)(,)(21==是否是“S-函数”；（2）若x x f tan )(3=是一个“S-函数”，求出所有满足条件的有序实数对),(b a ； （3）若定义域为R 的函数)(x f 是“S-函数”，且存在满足条件的有序实数对)1,0(和)4,1(，当]1,0[∈x 时，)(x f 的值域为]2,1[，求当]2012,2012[-∈x 时函数)(x f 的值域. 解：（1）若x x f =)(1是“S-函数”，则存在常数),(b a ，使得 (a +x )(a-x )=b.即x 2=a 2-b 时，对x ∈R 恒成立.而x 2=a 2-b 最多有两个解，矛盾，因此x x f =)(1不是“S-函数”.……………………………………………………3分若xx f 3)(2=是“S-函数”，则存在常数a ,b 使得a x a xa 2333=⋅-+，即存在常数对（a , 32a ）满足.因此x x f 3)(2=是“S-函数”………………………………………………………6分 （2）x x f tan )(3=是一个“S-函数”，设有序实数对（a , b ）满足:则tan(a -x )tan(a +x )=b 恒成立. 当a =Z k k ∈+,2ππ时，t an (a -x )t an (a +x )= -cot 2(x )，不是常数.……………………7分因此Z k k a ∈+≠,2ππ，Z m m x ∈+≠,2ππ,则有b xa xa x a x a x a x a =--=⋅-+⨯⋅+-2222tan tan 1tan tan tan tan 1tan tan tan tan 1tan tan . 即0)(tan tan )1tan (222=-+-⋅b a x a b 恒成立. ……………………………9分即⇒⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=-⋅11tan 0tan 01tan 222b a b a a b Z k b k a ∈⎪⎩⎪⎨⎧=±=,14ππ,当Z m m x ∈+=,2ππ,4ππ±=k a 时，t an (a -x )t an (a +x )=cot 2(a )=1.因此满足x x f tan )(3=是一个“S-函数”的常数（a , b ）=Z k k ∈±),1,4(ππ.…12分 (3) 函数)(x f 是“S-函数”，且存在满足条件的有序实数对)1,0(和)4,1(， 于是,4)1()1(,1)()(=-⋅+=-⋅x f x f x f x f即]1,0[2]2,1[,4)2()(4)1()1(∈-∈=-⇔=-⋅+x x x f x f x f x f 时，, ]4,2[)2(4)(∈-=x f x f ，]4,1[)(]2,0[∈∈∴x f x 时，.……………………14分)(4)2()2(4)()(1)(4)1()1(1)()(x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f =+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=-⇒⎩⎨⎧=-⋅+=-⋅.………16分 ].2,2[)(,]2012,2010[],2,2[)(,]22,2[],2,16[)(,]6,4[],16,4[)(]4,2[201220102226∈∈∈+∈∈∈∈∈+x f x x f k k x x f x x f x k k 时时依次类推可知时时，因此]2,1[)(]2012,0[2012∈∈x f x 时，, …………………………………………17分].1,2[)(]2,1[)(],2012,0[,)(1)(,]0,2012[20122012-∈⇒∈-∈--=-∈x f x f x x f x f x 时 综上可知当]2012,2012[-∈x 时函数)(x f 的值域为]2[22012-2012，.……………18分谢谢大家。