模型分析
模型分析
（1）因为这个图形像数字8，所以我们往 往把这个模型称为8字模型． （2）8字模型往往在几何综合题目中推导 角度时用到．
模型实例
观察下列图形，计算角度： （1）如图①，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝________；
A
A
B
E
B F
C
D
图①
E 图②
A
E B
1O 2
C
D
图③
解法一：利用角的8字模型．如图③，连接 CD． ∵∠BOC是△BOE的外角， ∴∠B＋∠E＝∠BOC． ∵∠BOC是△COD的外角， ∴∠1＋∠2＝∠BOC． ∴∠B＋∠E＝∠1＋∠2．（角的8字模型），∴∠A ＋∠B＋∠ACE＋∠ADB＋∠E ＝∠A＋∠ACE＋∠ADB＋∠1＋∠2 ＝∠A＋∠ACD＋∠ADC＝180°．
E
D ①
A
B
F E
C
D 图②
A
B
O
F
123
P
Q
E 图⑤
C D
（2）解法一： 如图⑤，利用角的8字模型． ∵∠AOP是△AOB的外角， ∴∠A＋∠B＝∠AOP． ∵∠AOP是△OPQ的外角， ∴∠1＋∠3＝∠AOP． ∴∠A＋∠B＝∠1＋∠3．①（角的8字模型）， 同理可证：∠C＋∠D＝∠1＋∠2．② ，
模型实例
如图，在四边形ABCD中，AM、CM分别平分∠DAB和∠DCB，AM与 CM交于M，探究∠AMC与∠B、∠D间的数量关系．
A 1 D
3M B
4
2
C
练习：
1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=
.
2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D=
.
模型三：边的8字模型
如图所示，AC、BD相交于点O，连接AD、BC．结论AC+BD>AD+BC．
解法二：如图②，连接BC． ∵∠2＋∠4＋∠D＝180°， ∴∠D＝180°－（∠2＋∠4） ∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠A＝180°， ∴∠A＋∠1＋∠3＝180°－（∠2＋∠4） ∴∠D＝∠A＋∠1＋∠3. （1）因为这个图形像飞镖，所以我们往往把这 个模型称为飞镖模型．
（2）飞镖模型在几何综合题目中推导角度时使 用．
A
F 12 G E B
C
D
图④
解法二：如图④，利用三角形外角和定 理． ∵∠1是△FCE的外角， ∴∠1＝∠C＋∠E． ∵∠2是△GBD的外角， ∴∠2＝∠B＋∠D． ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E ＝∠A＋∠1＋∠2＝180°．
（2）如图②，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝________．
练习：
1．（1）如图①，求：∠CAD＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝
；
解：如图，∵∠1=∠B+∠D，∠2=∠C+∠CAD， ∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠1+∠2+∠E=180°． 故答案为：180° 解法二：
（2）如图②，求：∠CAD＋∠B＋∠ACE＋∠D＋∠E＝
．
解：由三角形的外角性质，知∠BAC=∠E+∠ACE，∠EAD=∠B+∠D， 又∵∠BAC+∠CAD+∠EAD=180°，∴∠CAD＋∠B＋∠ACE＋∠D＋∠E＝180° 解法二：
∴AB+BC+CD+AD< 2AC+2BD.
模型4 边的飞镖模型
如图所示有结论：AB+AC> BD+CD.
模型分析
如图，延长BD交AC于点E。 ∵AB+AC=AB+AE+EC，AB+AE>BE， ∴AB+A C>BE+EC.① ， ∵BE+EC=BD+DE+EC，
DE+EC> CD，∴BE+EC>BD+CD. ② ，
2．如图，求：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝
．
解：∵∠G+∠D=∠3，∠F+∠C=∠4，∠E+∠H=∠2，∴∠G+∠D+∠F+∠C+∠E+∠H=∠3+∠4+∠2， ∵∠B+∠2+∠1=180°，∠3+∠5+∠A=180°，∴∠A+∠B+∠2+∠4+∠3=360°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=360°
8字模型与飞镖模型
模型一：角的8字模型
如图所示，AC、BD相交于点O，连接AD、BC． 结论：∠A＋∠D＝∠B＋∠C．
A
D
O
B
C
模型分析
证法一： ∵∠AOB是△AOD的外角， ∴∠A＋∠D＝∠AOB． ∵∠AOB是△BOC的外角， ∴∠B＋∠C＝∠AOB． ∴∠A＋∠D＝∠B＋∠C．
证法二： ∵∠A＋∠D＋∠AOD＝180° ∴∠A＋∠D＝180°－∠AOD ∵∠B＋∠C＋∠BOC＝180° ∴∠B＋∠C＝180°－∠BOC 又∵∠AOD＝∠BOC ∴∠A＋∠D＝∠B＋∠C．
解法二：
模型二：角的飞镖模型
如图所示，有结论：∠D＝∠A＋∠B＋∠C．
模型分析
解法一：如图①，作射线AD． ∵∠3是△ABD的外角， ∴∠3＝∠B＋∠1， ∵∠4是△ACD的外角， ∴∠4＝∠C＋∠2 ∴∠BDC＝∠3＋∠4， ∴∠BDC＝∠B＋∠1＋∠2＋∠C， ∴∠BDC＝∠BAC＋∠B＋∠C
模型分析 ∵OA+OD>AD①， OB+OC>BC②， 由①+②得：
OA+OD+OB+OC>BC+AD 即：AC+BD>AD+BC.
模型实例
如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O。 求证：(1) AB+BC+CD+AD>AC+BD；
(2) AB+BC+CD+AD <2AC+2BD.
证明：(1)∵AB+BC>AC①， CD+AD>AC②， AB+AD>BD③， BC+CD> BD④
∠E＋∠F＝∠2＋∠3．③ 由①＋②＋③得：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E ＋∠F＝2（∠1＋∠2＋∠3）＝360°．
F E
A
B
O C

1 图⑥
2 D
解法二：利用角的8字模型．如图⑥，连 接DE． ∵∠AOE是△AOB的外角， ∴∠A＋∠B＝∠AOE． ∵∠AOE是△OED的外角， ∴∠1＋∠2＝∠AOE． ∴∠A＋∠B＝∠1＋∠2．（角的8字模型） ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠ADC＋∠FEB＋∠F＝∠1 ＋∠2＋∠C＋∠ADC＋∠FEB＋∠F ＝360°．（四边形内角和为360°）
由①+②+③+④得： 2 (AB+BC+CD+AD)>2(AC+BD). 即AB+BC+CD+AD >AC+BD.
(2) ∵AD<OA+OD① ， BC<OB+OC②， 由①+②得： AD+BC< OA+OD+OB+OC．
∴AD+BC<AC+BD.（边的8字模型）， 同理可证：AB+CD <AC+BD.