若A相似于JA，B相似于JB，则 AB 相似于 JAJB，AB 相似于 JAJB。
更一般的结果：
T
定理6.7（P. 142） P( A, B) cij Ai B j
的特征值为
i, j0 T
P(r , t ) cij ri t j
i, j0
Kronecker积的矩阵函数性质
定理6.8（P. 143）设是f(z)解析函数，f(A) 有意义，则
H-积的基本性质： 设A，B为同阶矩阵，则
AB = BA (kA)B = A(kB) A(B + C) = AB + AC (AB)C = A(BC) (AB)H = AH BH
Kronecker和Hadamard的关系：
定理6.3（P. 139） AB 可由AB的元素构成。
K-积与矩阵乘法 定理6.2（P. 138）设矩阵A，B，C，D使得 下列运算有意义，则有
H2 HN/2
H
n 2
.
HN
H
N
/
2
I N / 2
H
N
/
2
I
N
/
2
IN/2 IN/2
(I2
HN
/2 )(H2
IN
/2)
6.1 K-积和H-积的定义
例题2 设分块矩阵A = (Ast)，则 AB = (Ast B)
特别地，若A = (A1, A2, …, An)，则 AB = (A1B, A2B,…, AnB)
(BT A)k Vec(D) k 0
Vec( Ak DB k ) k 0
用向量化算子求解矩阵微分方程
4 A，B，XFnn ， X'(t) = AX(t) +X(t)B, X(t0) = C
VecX'(t) = (I A+BTI)VecX(t), VecX(t0) = VecC。
交换矩阵Kmn及其性质
性质：（P. 146）
a1n a2n … amn)T
1. Vec是线性算子，并保持线性关系不变：
Vec (k1A+k2B) = k1Vec (A) + k2Vec (B) 2. 定理6. 10（P. 146）Vec(ABC) = (CT A)VecB
3. Vec(AX) = (I A)VecX
令 B = X, C = I
f(A)的矩阵性质
复习选讲
正规矩阵的性质与应用
向量范数与矩阵范数
向量的p范数 矩阵的F范数和p范数
矩阵幂级数和矩阵函数
矩阵幂级数的收敛与矩阵函数的意义 矩阵幂级数的求和与矩阵函数的计算 矩阵函数与矩阵多项式
习题选讲
P150：9 P31: 1(3), 17, P58：6, 11，20 P92：11，12 ，15，
6.1 K-积和H-积的定义
例题1 设
A
1 2
43,
3 B 0
01，计算
A B [aij B] A B [aijbij ]
AB，BA，I2B，AB，I2A
A
B
1
3 0
0 1
3
3 0
0 3
1
0
0 1
9 0
0 3,
AB
3 0 3 0
2
0
1
4 0
1
6 0 12 0 0 2 0 4
例题2（P . 144） ，设
A
3 0
1
1
，B
2 1
0 1
求(AB)的特征值和特征向量
求[(AI) +(IB)]的特征值和特征向量
例题3：证明对任何方阵A, B, 有
eAB eA eB eB eA
Hadamard积的性质
定理6.9（Schur积定理）设A、B为同阶方 阵。若A和B半正定（正定），则AB亦半 正定（正定）。
例题3 快速Walsh(Hadamard)变换 yN = HNxN，
其中
HN
HN /2 H N / 2
HN/2 HN/
2
,
N
2n ,
n
1,
2, ,
H1
[1].
于是有
HN
1 1
1 1 H N /2
H2 HN/2
H
n 2
.
HN
I I
N N
/ /
2 2
IN /2 HN /2
I
N
/
2
HN
特别地，若A = (A1, A2, …, An)，则 AB = (A1B, A2B,…, AnB)
例题3 快速Walsh(Hadamard)变换 yN = HNxN，
其中
HN
HN /2 H N / 2
HN/2 HN/
2
,
N
2n ,
n
1,
2, ,
H1
[1].
于是有
HN
1 1
1 1 H N /2
分别是i，xi，B Fnn的特征值、特征向量分别 是 j ， yj，则
(AB) 的特征值是ij 。特征向量是(xiyj) 。
(AIn) +(ImB) 的特征值是i + j ，特征向量是
(xiyj)
Kronecker和，记为AB
Kronecker与矩阵等价、相似关系
推论
若A，B正定（半正定），则AB和AB均正定 （半正定）；
f(IA) = If(A) f(AI) = f(A)I
特例：
SN(IA) = ISN(A) SN(AI) = SN(A)I
eImA Im eA
e AIm e A Im
定理的证明思路：利用定理5.12，矩阵函数可由多 项式表示。也可以直接用极限性质证明。
例题1 设 AFmn，BFst ，证明 rank (A B) = rank (A) rank (B)
0 1 A2 2 1
0 2 B2 1 2
D
4 0
6
8
例题4 设A Cmm，B Cnn，D Fmn，证明 谱半径 (A) ·(B) 1 时方程：
X = AXB + D
的解为
X Ak DB k
k 0
证 (I BT A)Vec( X ) Vec(D)
Vec( X ) (I BT A)1Vec(D)
4. Vec(XC) = (CTI)VecX
令 B = X, A = I
用向量化算子求解矩阵方程
思想：用Vec算子，结合Kronecker积将矩阵方 程化为线性方程组求解。
1、AFmm，BFnn，DFmn，AX+XB = D 分析：
AX + XB = D (IA + BTI)VecX = VecD G = (IA + BTI)， 方程有惟一解的充要条件是G为可逆矩阵，即 A和-B没有共同的特征值。 例题1 （P. 147）
mn
Kmn
Eij EiTj , Eij F mn
i1 j 1
定理6.11
(1)
K
T mn
Knm ;
(2) K1n
K n1
In;
n
(3) K mn eTj I m e j .
j 1
定理6.12 设 A (aij )mn 则
Vec( A) KmTnVec( AT ). 定理6.13 设 A F m p , B F nq , 则
证明思路：利用定理3.6，有
k
l
A vrvrH , B wswsH ,
r 1
s 1
推出 AB可表示为
kl
A B
ursurHs , urs vr ws .
r 1 s1
6. 3 矩阵的向量化算子和K-积
向量化算子Vec: Fm×n Fmn
定义（P . 143）设 A = [aij]mn , 则 Vec(A) = (a11 a21 … am1； a12 a22 … am2 ；…；
/2
(H2
IN
/2 )(I2
HN
/2)
K-积，H-积的基本结果：
A和B中有一个为零矩阵，则 AB=0，AB=0 II=I，II=I 若A为对角矩阵，则AB为分块对角矩阵，AB为 对角矩阵。
K-积的基本性质
定理6.1（P. 138）设以下矩阵使计算有意义，则 • (kA)B = A(kB) • A(B + C) = AB + AC • (AB)C = A(BC) • (AB)H = AH BH • AB BA
(AB) (CD) = (AC) (BD)
意义：建立Kronecker积和矩阵乘法的相互转换。 特别情形：设 AFmm ，B Fnn，则 AB = (ImA)(BIn) = (AIm)(InB)
= (ImB) (AIn) = (AIn) (ImB) (AB) k = Ak Bk
(A1B1C1)(A2B2C2) = (A1A2)(B1B2)(C1C2) (A1B1)(A2B2)(A3B3) = (A1A2A3)(B1B2B3)
Kmn (B
A)
K
T pq
A B.
复习选讲：
线性空间的表示 线性变换与变换矩阵
线性变换的确定方法 相应变换矩阵的求法
矩阵分解与空间分解
准对角矩阵分解与不变子空间的分解 可对角化矩阵的分解与特征子空间的分解 幂等矩阵的空间分解
JA，mA() ，f() =|I-A | 之间的关系 A与f(A)在Jordan标准形上的关系
B
A
B
A
3
1 2
3 4
0
1 2
3 4
3
6
9 12
0 0
0
0
,
1 3 1 3