当e=0时（1）式成为：
6
min
xS
C(x, r)
min
xS
(xi
i 1
)
S ( x1 x2
xi
)
由于集合S为有限集，只有6! 720个元素，代表着720种
切割方式，r给定，切割顺序固定则很容易计算出加工费用。
比较出所有不同切割方式下的费用，便可得到最小费用下的切
割方式。下面给出MATLAB计算程序。
1）计算出三类可行的加工顺序及相应的切割费用表；
for j=1:6,if(j-i)~=0, for k=1:6,if(k-i)*(k-j)~=0, for l=1:6,if(l-i)*(l-j)*(l-k)~=0, for m=1:6,if(m-i)*(m-j)*(m-k)*…
(m-l)~=0, for n=1:6, if(n-i)*(n-j)*(n-k)*…
(n-l)*(n-m)~=0, p=p+1;x(p,:)=[i j k l m n];
end end end end end end
end end end end end f=[1 1 2 2 3 3]; for p=1:720 o=x(p,:);cost=0;a=a0; for i=1:6 j=o(i);aa=a;aa(f(j))=[]; if f(j)==3 cost=cost+r*aa(1)*aa(2); else cost=cost+aa(1)*aa(2); end a(f(j))=a(f(j))-d(j); end c(p)=cost; end minc=min(c),find(c==minc); minx=x(ans,:)
执行后输出
最小切割费用
minc =
374
最优切割顺序
minx =
5
3
1
6
4
2
5
3
6
1
4
2
即当r=1,e=0时最优切割顺序有两条，它们分别是“下前左上后右”和
“下前上左后右”，最小切割费用为374元。
当e≠0时，模型为（1）式，即
6
min
xS
C(x, e, r)
Hale Waihona Puke in{xS i1(
xi
)
S ( x1
1）建立可行的加工顺序表。
2）用穷举法求出720种切割方式下的费用。
3）求最小费用及其对应的切割方式。
在MATLAB编辑器中建立如下文件。 %截断切割ch711 %文件名：ch711.m a0=[10 14.5 19];a1=[3 2 4];d1=[6 7 9];r=1; d2=a0-a1-d1;d=[d1,d2];d=d([1,4,2,5,3,6]);p=0; for i=1:6
S {x (x1 x2 x3 x4 x5 x6 ) xi 1,2,3,6 , xi x j ,当i j时} 因此问题转化为求总的切割费用C在S上的最小值问题。
总的切割费用应包含二部分，一部分为加权的切割面
积之和，另一部分是刀具调整费用之和, 因此，数学模型
为：
6
min xS
C(x, e, r)
x2
xi )
q(x)e}
由于垂直切割的方向有两个，因此至少调整一次刀具， 而垂直切割共进行四次，故调整刀具的次数至多，于是额
外费用有e，2e，3e，三种可能。所以我们把全体切割顺序
按刀具的调整费用分类，共分三类，同类的刀具调整费用
是相等的，故可先分别求出在e=0时每一类的最小费用及加
工顺序，再将每一类的最小切割费用加上相应的刀具调整 费用，便得到总的加工费用，从而比较各类加工顺序求出 整体最优的加工顺序。下面给出MATLAB计算程序。
底面之间的距离分别为6；7；9（单位cm），垂直切割费用为
1元/cm2，r和e的数据有以下4组：
a）r=1；e=0；
b）r=1.5；e=0；
c）r=8；e=0；
d）r=1.5；2≤e≤15
7.1.2 模型假设及符号说明
（1）假设水平工作台接触的长方体底面是事先指定的。 （2）假设第一次切割前调整刀具的费用不计。 （3）假设加工前后，两长方体对应的表面平行。
min{ xS i1
(xi ) S(x1
x2
xi
)
q(x)e}
(1)
其中 S(x1 x2 xi )
x1 x2 xi1
xi
：表示
进行切割后，
加工面 (x的i ) 切割面积；
(1) ：(2为) 相应(3切)割面的(4权) ，1由,题(5意) 有 ：(6) r
q(x)
：为调整刀具的次数。
7.1.4 模型的分析及计算
（4）假设垂直切割费用为1元/cm2，水平切割费用为r元/cm2。 （5）假设调整一次刀具的费用为e。
（6）假设总的加工费用为C。 （7）假设待加工长方体的长、宽、高分别为a、b、c，为
常数，成品长方体的长、宽、高分别为A、B、C，也是 常数。 （8）假设待加工长方体与成品长方体的左面、前面、后面、
设水平切割单位面积的费用是垂直切割单位面积费用的r
倍，且当先后两次垂直切割的平面不平行时，因调整刀具需额
外费用e，显然，若截去各个多余小块的先后顺序不同，则加
工费用不同，试设计一种确定最优加工次序的方法，使加工费
用最少。
用以下实例验证你的方法：待加工长方体与成品长方体 的
长、宽、高分别为10；14.5；19和3；2；4二者左面，前面，
离散数学模型与实验
第七章：离散模型与实验
7.1 截断切割 7.2 锁具装箱 7.3 钻井布局 7.4 讨论题
7.1 截断切割
7.1.1 问题的提出
这是1997年全国大学生数学建模竞赛的B题，问题如下：
某些工业加工部门，经常需要从一个长方体中加工出一个 尺寸已知，位置预定的长方体（设长方体的对应表面是平面）， 通常采用截断切割的加工方式，这里“截断切割”是指将物体沿 某个切割平面分成两部分，因此，一般情况下，须经过6次截 断切割，分别截去原长方体的前后、左右、上下6个方向多余 的部分。
下面、上面之间的距离为 a1, a2,b1,b2,c1,c2 且为常数。
7.1.3 问题分析及数学模型
根据所给的实际问题，从一个长方体加工出一个尺寸位置 预定的长方体，通常情况下，需要经过6次截断切割，如果我 们假定这6个切割面分别位于左、右、前、后、下、下面，那 么可将它们相应地编号为1、2、3、4、5、6。这样这6个数字 的一个全排列代表着一种切割顺序。例如，排列1 2 3 4 5 6 代表的的切割顺序为“左前后右下上”。我们将这6个数字的 所有全排列记为集合S，即：