且矩阵A是负定矩阵。
推论1.2 设函数 f (X)=XTAX+BX+C是一个二次多项式, 且AT=A。 则函数 f (X) 在点(a1, a2,…, an)T处达到极小值的充分必要条件是
且矩阵A是正定矩阵。
经济学模型(1)
多元函数的条件极值 Lagrange multiplier
(一)约束条件问题
在最优销售价格p*的表达式中含有规模参数k、价格系数a。 为了确定电视机的最优销售价格,必须预先给出这些参数。
经济学模型(1)
3rew
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2020/12/12
经济学模型(1)
经济学模型(1)
T(x)在[0, l]上连续,T(x)在 x(0, l )上有唯一的零点x0,且x0是T(x)
在(0,l )内唯一的极小值点, 从而x0也是T(x)在(0,l )内的极小值点,
设 x0满足 T (x)=0, 即
与 1 联系
与 2 联系
经济学模型(1)
记
因此， 即当点 P 满足上述条件时，APB即是光线的传播途径。
经济学模型(1)
3. 需要解决几个问题：
(1) 对实际问题的分析、归纳，做出一些必要且合理的假设条 件，将实际问题中的一些指标进行量化； (2) 给出描述问题的数学提法； (3) 利用数学理论和方法或计算机进行分析, 得出结论； (4) 利用现实问题验证结论的合理性，并作修正.
经济学模型(1)
4.数学模型建模的步骤
P
x
h2 水 2
B
经济学模型(1)
解：设点 A 到水面的垂直距离为 AO= h1, 点B 到水面的垂直距 离为BQ= h2, x 轴沿水面过点O、Q,, OQ = l。
根据条件可知光线在同一种介质中传播时是按直线方式传 播的，因而光线从 A 点到B 点应该经过折射点P, 其路径为折线 APB,所需时间为： 当 x[0, l] 时,
经济学模型(1)
多元函数极值的判断 定理1.1 设n元函数 f (x1, x2,…, xn) 具有3阶连续偏导 数，且在点X=(a1, a2,…, an)T处邻域内有定义，|H|0, 则函数 f (x1, x2,…, xn) 在点X=(a1, a2,…, an)T处达到极 大值的充分必要条件是
且
是负定矩阵(海森矩阵)。
2. 对问题的定位：最优化问题
需要确定购买资产Si 的具体投资额 xi ,即建立投资组合，实 现两个目标：
(1) 净收益最大化； (2) 整体风险最小化；
经济学模型(1)
3. 建模准备：
用数学符号和公式表述决策变量,构造目标函数和确定约束条件 (1)决策变量：
资产Si ( i =0,1,…,n)的投入量xi , i =0,1,…, n, 其中S0 表示将 资产存入银行。 (2)投资收益：
(2) 由于固定费用pi ui 的存在在, 使得模型是非线性模型,难于 求解模型。 当M 很大而 ui 相对较小时,可略去 pi ui 的作用,即ci(xi)=pixi,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ则资金约束条件变为：
在实际计算中，常假设M=1，则 表示投资于Si 的资金比例。
经济学模型(1)
(3) 简化交易费用下的模型：
(4) 约束条件：
经济学模型(1)
(II). 记 x=(x0, x1, x2, …, xn)T, 1=(1, 1, 1, …,1)T, c=(c0, c1, c2, …, cn)T, r=(r0, r1, r2, …,rn )T,
总净收益R(x), 整体风险Q(x)和总资金F(x)各为
4. 两目标优化模型
设函数u = f (x1, x2,…,xn)具有3阶连续偏导数,且有m个约束条件:
(1) 函数 u = f (x1, x2,…, xn) 的自变量的变化范围受到限制,必须 满足m个约束条件。 (2) 要求在这 m 个约束条件下求解函数u = f (x1, x2,…, xn)的极大 值或极小值函数 u 的条件极值。
经济学模型(1)
矩阵H 的正定性的判断方法 (1)矩阵对应的二次型大于0； (2) 矩阵H 的顺序主子式全大于0； (3) 矩阵H 的特征值全大于0。
经济学模型(1)
定理1.2 设n元函数 f (x1, x2,…, xn) 具有3阶连续偏导数, 且在 点X = (a1, a2,…, an)T处邻域内有定义, |H|0,则函数 f (x1, x2,…, xn) 在点X=(a1, a2,…, an)T处达到极小值的充分必要条件是
经济学模型(1)
5. 单目标优化模型
模型1 给定风险水平 求最大化收益。令
求解模型
模型2 给定盈利水平 求最小化风险。令
求解模型
模型3 给定投资者对风险-收益的相对偏好参数>0, 求解模型
经济学模型(1)
6. 简化交易费用下的模型 (1) 交易费用函数为
ci piui
0
ui
x经i 济学模型(1)
其中M 为市场最大需求量,a 是价格系数。同时生产部门根据对 生产环节的分析, 对每台电视机的生产成本c有如下测算:
其中c0是只生产一台电视机的成本,k是规模系数.根据上述条件, 应该如何确定电视机的销售价格 p,才能使该厂获得最大利润?
经济学模型(1)
分析：在生产和销售商品过程中,商品销售量、生产成本与销售 价格 是相互影响的。厂商只有选择合理的销售价格最优价格, 才能获得最大利润。
令
得
又
所以
为唯一的极小点 , 从而为最小点 ,
故 AD =15 km 时运费最省 .
经济学模型(1)
例2. 一束光线由空气中A点经过水面折射后到达水中B
点(如图示)。已知光在空气和水中传播的速度分别是v1 和v2 , 光线在介质中总是沿着耗时最少的路径传播, 试确 定光线的路径。
A
空气
h1
1 Q
O
最小值
经济学模型(1)
1. 当f (x)在[a,b]内只有一个极值可疑点时, 2. 若在此点取极大(小)值 , 则也是最大(小)值 . 3. 当f(x)在[a,b]上单调时,最值必在端点处达到. 4. 对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的可疑
点是否为最大 值点或最小值点 .
经济学模型(1)
“左正右负” , “左负右正” ,
且在空心邻域
经济学模型(1)
定理2 (极值第二判别法) 二阶导数 , 且
则 在点 则 在点
取极大值 ; 取极小值 .
经济学模型(1)
二、最大值与最小值问题
若函数f(x)在[a,b]上连续,则其最值只能在极值点或端点处达到. 求函数最值的方法: (1) 求f(x)在(a,b)内的极值可疑点x1,x2,…,xm ; (2) 最大值
经济学模型(1)
2020/12/12
经济学模型(1)
2. 参考书 1. 宏观经济数量分析方法与模型, 刘起运 主编,
高等教育出版社 2. 经济数学模型, 洪毅 等 编著
华南理工大学出版社 3. 经济学中的分析方法, 高山晟(美) 著, 刘振亚 译,
中国人民大学出版社 4. 经济数学方法与模型，安吉尔.德.拉.弗恩特 著,
购买资产Si (i=0,1,2, …n)的收益率为 ri, 因此投资 xi 的收益 率为 rixi , 除去交易费用ci(xi),则投资 xi 的净收益为
Ri=rixi - ci(xi)。 从而，总投资的总收益为 R(x)=Ri(xi)。
经济学模型(1)
(3)投资风险：
购买资产Si(i=0,1,2, …n)的风险损失为qi , 因此投资xi 的收益率为 qi xi, 其总体风险用Si的风险,即Qi(xi)= qi xi中最大的一个来度量. 从而总投资的风险损失为 Q (x)= max{Qi(xi)}。
模型准备
模型检验
模型应用
模型假设 模型建立
模型分析 模型求解
经济学模型(1)
二、建立数学模型的一个实例
1、问题的提出
设市场上有n 种资产Si(i=1,2,…,n)可供投资者选择, 某公司 有数额为 M 的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司 财务人员对这 n 种资产进行了评估，估计出在这一时期内购买 资产Si 的平均收益率为ri,且预测出购买资产Si 的风险损失为qi。
例1. 铁路 AB 段的距离为100 km,工厂C 距A处20 km , AC⊥ AB , 要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条公路,已知铁路与公路每 公里货运价之比为 3:5 ,为使货物从B 运到工厂C 的运费最省,问D 点应如何选取?
20
经济学模型(1)
解: 设
则
总运费
( k 为某一常数 )
经济学模型(1)
(二) Lagrange multiplier 函数
引入m个拉格朗日乘数 1, 2, …,m ,构造新的函数— 拉格朗日 乘子函数：
(三) 条件极值存在的必要条件
经济学模型(1)
(四)应用实例
设某电视机厂生产一台电视机的成本为c, 每台电视机的销售价 格为 p, 销售量为 x。假设该厂的生产处于平衡状态 ，即电视机 的生产量等于销售量。根据市场预测, 销售量 x与销售价格 p 之 间有如下关系：
LP1： LP2：
经济学模型(1)
LP3：
经济学模型(1)
§1.2 优化模型的求解方法
(1) 一元函数的无(有)条件极值； (2) 多元函数的无(有)条件极值；
(3)* 线性(或非线性)规划方法；
经济学模型(1)
(1) 一元函数的极值与最大(小)值 定理 1 (极值第一判别法)
内有导数, (1) (2)
上海财经大学出版社 5. 经济学的结构---数量分析方法, Eugene Silberberg,