求导：
x2 x1 l cos y1 0 y2 l sin
系统动能：
T
1 2
m1x12
1 2
m2
(
x22
y22 )
1 2
(m1
m2
) x12
m2l 2
(l
2
2 x1
cos
)
M1-13
系统势能：（选质点 M2 在最低位置为零势能位置）
V m2gl(1 cos)
求导运算可得：
T x1
(m1
m2 ) x1
5. 求出上述一组微分方程的积分。
M1-9
[例] 物块C的质量为m1，A，B两轮 皆为均质圆轮，半径R，质量为m2， 求系统的运动微分方程。
解：图示机构只有一个自由度，所受
约束皆为完整、理想、定常的，以物 块平衡位置为原点，取x 为广义坐标。
系统势能： (以弹簧原长为弹性势能零点)
V
1 2
k
(
0
x)2
规律，描述了力学系统的动力学规律，为解决体系的动力学问题 提供了统一的程序化的方法，不仅在力学范畴有重要的理论意义 和实用价值，而且为研究近代物理学提供了必要的物理思想和数 学技巧。
M1-8
应用拉氏方程解题的步骤：
1. 判定质点系的自由度k，选取适宜的广义坐标。必须注意： 不能遗漏独立的坐标，也不能有多余的（不独立）坐标。
2. 计算质点系的动能T，表示为广义速度和广义坐标的函数。
3. 计算广义力 Q j ( j 1,2, ,k )，计算公式为：
Qj
n
(X i
i 1
xi q j
Yi
yi q j
Zi
zi q j
)
或
Qj
W ( j) qj
若主动力为有势力，也可将势能 V 表示为广义坐标的函数。
4. 建立拉氏方程并加以整理，得出k个二阶常微分方程。
等性质的特征函数。
保守体系的拉格朗日方程为：
d dt
(
L qk
)
L qk
0
想一想：上式的成立、适用条件是什么？
M1-6
3. 对拉格朗日方程的评价
(1) 拉氏方程的特点（优点）： 是一个二阶微分方程组，方程个数与体系的自由度相同。形式简 洁、结构紧凑。而且无论选取什么参数作广义坐标，方程形式不变。 方程中不出现约束反力，因而在建立体系的方程时，只需分析已 知的主动力，不必考虑未知的约束反力。体系越复杂，约束条件越 多，自由度越少，方程个数也越少，问题也就越简单。
３—5 第二类拉格朗日方程
1. 基本形式的拉格朗日方程
质点 i 的虚位移
ri
N k 1
ri qk
qk
i 1, 2,3, n
将上式代入动力学普遍方程（3-15）式：
n (Fi
i1
mi
ri
)
N k 1
ri qk
qk
Nn
[ (Fi
k 1 i1
mi
ri
)
ri qk
]qk
0
因qk是独立的，所以
m2l
cos
T x1
0
Qx1
V x1
0
d dt
T x1
(m1
m2 ) x1
m2l cos
m2l 2 sin
由拉格朗日方程
d dt
(
T qk
)
T qk
Qk
mi ri
d dt
ri qk
n i1
mi
d dt
ri
ri qk
n i1
mi ri
ri qk
d dt
n i1
mi ri
ri qk
qk
n
1 2
mi ri
ri
i1
d dt
qk
n1 2
i1
mivi2
qk
n1 2
i1
mivi2
d dt
T qk
T qk
M1-3
由
Qk
n
mi ri
➢ 拉氏方程是从能量的角度来描述动力学规律的，能量是整个物理 学的基本物理量而且是标量，因此拉氏方程为把力学规律推广到其 他物理学领域开辟了可能性，成为力学与其他物理学分支相联系的 桥梁。
M1-7
3. 对拉格朗日方程的评价
(2) 拉氏方程的价值 拉氏方程在理论上、方法上、形式上和应用上用高度统一的
M1-11
注意到 k0 m1g
可得系统的运动微分方程 (m1 2m2 )x kx 0
M1-12
已知：M1的质量为m1， M2的质量为m2， 杆长为l。
试建立此系统的运动微分方程。
解：图示机构为两个自由度，取x1，
为广义坐标，则有。
x2 x1 l sin y1 0 y2 l cos
m1gx
M1-10
系统动能：
T
1 2
m1x
2
1 2
J BB2
1 2
J IA2
1 2
m1 x 2
1 2
1 2
m2 R 2B2
1 2
3 2
m2
R
2
2 A
m1
2m2 2
x2
系统的拉格朗日函数（动势）
L
T
V
m1
2m2 2
x2
1 2
k (0
x)2
m1gx
代入拉格朗日方程
d dt
(
L qk
)
L qk
0
(m1 2m2 )x k(0 x) m1g 0
zi qk
n i 1
V xi
xi qk
V yi
yi qk
V zi
zi qk
Hale Waihona Puke V qkM1-52. 保守体系的拉格朗日方程
将Qk代入拉格朗日方程式，得
d dt
(
T qk
)
T qk
V qk
0
势能V不包含广义速度，引入拉格朗日函数
L T V L(qk , qk , t)
为拉格朗日函数（动势），是表征体系约束运动状态和相互作用
pk
T qk
——广义动量，可为线动量、角动量或其他物理量
M1-4
2. 保守体系的拉格朗日方程
如果主动力都是保守力，即 F V，则为广义力
Qk
n i 1
Fi
ri qk
n V i1 ri
ri qk
V qk
Qk
n i 1
Fi
ri qk
n i 1
Fix
xi qk
Fiy
yi qk
Fiz
n
i1
(Fi
mi ri
)
ri qk
0
注意广义力可得
k 1, 2, N
M1-1
注意到广义力可得
Qk
n
mi ri
i1
ri qk
k 1, 2, N
上式中的第二项与广义力相对应，称为广义惯性力。
上式应用起来很不方便。我们要作变换
拉格朗日改造动力学普遍方程的第一步：就是把主动力的虚功改 造为广义力虚功。
拉格朗日改造动力学普遍方程的第二步：就是改造惯性虚功项，
使之与系统的动能的变化联系起来。
n
i1
(Fi
mi ri
)
ri qk
0
k 1, 2, N
M1-2
变换
1.
ri qk
ri qk
2.
d dt
ri qk
ri qk
3.
n i1
mi ri
ri qk
n
mi
i1
d dt
ri
ri qk
n i1
i1
ri qk
k 1, 2, N
可得
d dt
T qk
T qk
Qk
k 1, 2, N
为理想完整系的拉格朗日方程，方程数等于质点系的自由度数。 其中：
Qk
n i1
Fi
ri qk
——主动力的广义力，可以是力、力矩或其他力学量 （不包含约束反力）
T
n
1 2
mivi2
——体系相对惯性系的动能
i1