所以 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a.
移项，再平方
(x c)2 y2 4a2 4a (x c)2 y2 (x c)2 y2,
a2cxa(xc)2y2,
15
两边再平方，得
a4 2a2cx c2 x2 a2 x2 2a2cx a2c2 a2 y2 ,
8
椭圆定义： 我们把平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数 （大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆. 两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点. 两焦点间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距.
9
【总结提升】
思考：在平面内动点M到两个定点F1，F2的距离之 和等于定值2a的点的轨迹是否一定为椭圆？
|MF1|+ |MF2|＞|F1F2| |MF1|+ |MF2|=|F1F2| |MF1|+ |MF2|＜|F1F2|
设M(x,y)是椭圆上任意一点，椭圆的 焦距为2c(c>0)，M与F1和F2的距离的 和等于正常数2a (2a>2c)，则F1，F2 的坐标分别是(c,0)、(c,0).
y M
F1 O F2 x
14
由椭圆的定义得 |M F1||M F2|2a.
因为 | MF1 | ( x c )2 y 2 ,| MF2 | ( x c )2 y 2 ,
y F1 O
M F2 x
y
F2 M
O
x
F1
方案一
方案二
12
设M(x, y)是椭圆上任意一点，椭圆的两个焦 点分别为F1和F2，椭圆的焦距为2c(c>0)，M与F1和 F2 的距离的和等于2a(2a>2c>0). 请同学们自己完成剩下的步骤，求出椭圆的方程.
13
解：以焦点F1,F2的所在直线为x轴，线段F1F2的垂直 平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy(如图).
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0 )叫 做 椭 圆 的 标 准 方 程 ，
y
它表示焦点在y轴上的椭圆.
F2 M
ox
F1
18
【总结提升】
思考：椭圆的标准方程有哪些特征呢？ （1）椭圆的标准方程的形式：左边是两个分式 的平方和，右边是1; （2）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大， 则焦点在哪一个轴上; （3）椭圆的标准方程中a，b，c满足a2=b2+c2.
作x轴的垂线段PD，D为垂足.当点P在圆上运动
时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？
解：设点M的坐标为（x,y）,点P 的坐标为（x0,y0）,则
y
．P ．M
x
x0, y
y0 2
,
相关点法
因为点P（x0,y0）在圆
2.1 椭圆 2.1.1 椭圆及其标准方程
1
2
3
1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现 实世界和解决实际问题中的作用．（重点）
2．掌握椭圆的定义，会求椭圆的标准方程. （重点、难点）
5
实验操作
(1)取一条定长的细绳； (2)把它的两端都固定在图板的同一点处； (3)套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点） 画出的轨迹是一个圆．如果把细绳的两端拉开一段距 离，分别固定在图板的两点处套上铅笔，拉紧绳子， 移动笔尖，画出的轨迹是椭圆.
解：设椭圆的标准方程为 m x 2 n y 2 1 (m 0 ,n 0 ,m n ),
则有
(
3 2
)2
m
(
5 2
)2
n
1，
( 3)2 m ( 5)2 n 1，
解得
m
1 6
,n
1. 10
所以，所求椭圆的标准方程为 x 2 y 2 1 . 6 10
23
例2 如图，在圆 x 2 y 2 4 上任取一点P，过点P
又因为 c ,所2 以
b2 a2 c2 10 4 6.
因此, 所求椭圆的标准方程为
x2 y2 1.
10 6
能用其他方 法求它的方
程吗？
21
另解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它
的标准方程为:
x2 y2 a 2 b2 1 (a b 0).
又∵焦点的坐标为 (2, 0), (2, 0)，
整理得 (a 2 c 2 ) x 2 a 2 y 2 a 2 (a 2 c 2 ),
两 边 同 除 以 a 2 ( a 2 c 2 )， 得 ：
x2
y2
a2 a2 c2 1.
16
请看图片：你能从图中找出表示a,c, a2 - c2的线段吗？
解 ： 令 b 2 a 2 - c 2 (a b 0),
椭圆 线段 不存在
在知道了椭圆的 定义及一些基本 的性质之后，我 们怎样用方程来 表示呢？
10
探究点2 椭圆的标准方程 思考：求曲线的方程的基本步骤是什么呢？
（1）建系设点 （2）写出点集 （3）列出方程 （4）化简方程 （5）检验
结合椭圆的 定义你能求 出椭圆的方 程吗？
11
第一步： 如何建立适当的坐标系呢？ 建立坐标系的原则是：对称，简洁
y
P
a a2 c2
F1
O c F2
x
所以椭圆的方程为
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0).
类似的也可以得到方案二椭圆的方程
为 y2 a2ຫໍສະໝຸດ x2 b21(ab
0).
17
1.我 们 把 形 如
x2 a2
y2 b2
1a
b
0的方程叫做椭圆的标准方程，
yM
它表示焦点在x轴上的椭圆.
F1 o F2 x
2.也 把 形 如
a2 b2 4. ①
又
由
已
知
(
5 2
)2
a2
(
3 2
)2
b2
1， ②
联立①②, 解 得 a 2 1 0， b 2 6
因此, 所求椭圆的标准方程为:
x2 y2 1.
10 6
22
【变式练习】
已知椭圆经过两点 ( 3 , 5 ) 和 ( 3 , 5 ) ，求椭圆的 22
标准方程.
注意这种设法适用的情况
19
例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),
(2,0),
并且经过点
53 ( , )
.求它的标准方程.
22
解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设
它的标准方程为
x2 a2
y2 b2
1
(a
b
0).
待定 系数 法
由椭圆的定义知
2a
5 (
2)2
(
3 )2
5 (
2)2
(
3 )2
2
10
2
2
2
2
20
所以 a 1 0 .
6
探究点1 椭圆的定义 根据刚才的实验请同学们回答下面几个题： 1.在画椭圆的过程中，细绳的两端的位置是固定的 还是运动的？ 2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明 了什么？
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3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离有怎 样的大小关系？
结合实验及上面的 问题，你能给椭圆 下一个定义吗？