高考复数专题及答案 The pony was revised in January 2021复数专题及答案（一）1.【2015高考新课标2，理2】若a 为实数且(2)(2)4ai a i i +-=-，则a =（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】B【解析】由已知得24(4)4a a i i +-=-，所以240,44a a =-=-，解得0a =，故选B ．【考点定位】复数的运算．【名师点睛】本题考查复数的运算，要利用复数相等列方程求解，属于基础题．2.【2015高考四川，理2】设i 是虚数单位，则复数32i i-( ) （A ）-i （B ）-3i （C ）i. （D ）3i【答案】C【解析】32222i i i i i i i i-=--=-+=，选C. 【考点定位】复数的基本运算.【名师点睛】复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可.3.【2015高考广东，理2】若复数()32z i i =- ( i 是虚数单位 )，则z =（ ）A ．32i -B ．32i +C ．23i +D ．23i -【答案】D ．【解析】因为()3223z i i i =-=+，所以z =23i -，故选D ．【考点定位】复数的基本运算，共轭复数的概念．【名师点睛】本题主要考查复数的乘法运算，共轭复数的概念和运算求解能力，属于容易题；复数的乘法运算应该是简单易解，但学生容易忘记和混淆共轭复数的概念，z a bi =+的共轭复数为z a bi =-．4.【2015高考新课标1，理1】设复数z 满足11z z +-=i ，则|z|=( )（A ）1 （B （C （D ）2【答案】A 【解析】由11z i z +=-得，11i z i -+=+=(1)(1)(1)(1)i i i i -+-+-=i ，故|z|=1，故选A. 【考点定位】本题主要考查复数的运算和复数的模等.【名师点睛】本题将方程思想与复数的运算和复数的模结合起来考查，试题设计思路新颖，本题解题思路为利用方程思想和复数的运算法则求出复数z ，再利用复数的模公式求出|z|,本题属于基础题，注意运算的准确性.5.【2015高考北京，理1】复数()i 2i -=（ ）A ．12i +B ．12i -C ．12i -+D ．12i --【答案】A考点定位：本题考查复数运算，运用复数的乘法运算方法进行计算，注意21i =-.【名师点睛】本题考查复数的乘法运算，本题属于基础题，数的概念的扩充部分主要知识点有：复数的概念、分类，复数的几何意义、复数的运算，特别是复数的乘法与除法运算，运算时注意21i =-，注意运算的准确性,近几年高考主要考查复数的乘法、除法，求复数的模、复数的虚部、复数在复平面内对应的点的位置等.6.【2015高考湖北，理1】 i 为虚数单位，607i 的共轭复数．．．．为（ ） A ．i B ．i - C ．1 D ．1-【答案】A【解析】i i i i -=⋅=⨯31514607,所以607i 的共轭复数．．．．为i ，选A . 【考点定位】共轭复数.【名师点睛】复数中，i 是虚数单位,24142434111()n n n n i i i i i i i n +++=-==-=-=∈Z ；，，，7.【2015高考山东，理2】若复数z 满足1z i i=-，其中i 为虚数为单位，则z =（ ） （A ）1i - （B ）1i + （C ）1i -- （D ）1i -+【答案】A 【解析】因为1z i i=-，所以，()11z i i i =-=+ ，所以，1z i =- 故选：A.【考点定位】复数的概念与运算.【名师点睛】本题考查复数的概念和运算，采用复数的乘法和共轭复数的概念进行化简求解.本题属于基础题，注意运算的准确性.8.【2015高考安徽，理1】设i是虚数单位，则复数21ii-在复平面内所对应的点位于（）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限【答案】B【解析】由题意22(1)2211(1)(1)2i i i iii i i+-+===-+--+，其对应的点坐标为(1,1)-，位于第二象限，故选B.【考点定位】1.复数的运算；2.复数的几何意义.【名师点睛】复数的四则运算问题主要是要熟记各种运算法则，尤其是除法运算，要将复数分母实数化（分母乘以自己的共轭复数），这也历年考查的重点；另外，复数z a bi=+在复平面内一一对应的点为(,)Z a b.9.【2015高考重庆，理11】设复数a+bi（a，b∈R a+bi）（a-bi）=________.【答案】3【解析】由a bi +==223a b +=，所以22()()3a bi a bi a b +-=+=.【考点定位】复数的运算.【名师点晴】复数的考查核心是代数形式的四则运算，即使是概念的考查也需要相应的运算支持．本题首先根据复数模的定义得a bi +=，复数相乘可根据平方差公式求得()()a bi a bi +-22()a bi =-22a b =+，也可根据共轭复数的性质得()()a bi a bi +-22a b =+．10.【2015高考天津，理9】i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+ 是纯虚数，则实数a 的值为 .【答案】2-【解析】()()()12212i a i a a i -+=++-是纯虚数，所以20a +=，即2a =-.【考点定位】复数相关概念与复数的运算.【名师点睛】本题主要考查复数相关概念与复数的运算.先进行复数的乘法运算，再利用纯虚数的概念可求结果，是容易题.11.【2015江苏高考，3】设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为_______.【解析】22|||34|5||5||z i z z =+=⇒=⇒=【考点定位】复数的模【名师点晴】在处理复数相等的问题时，一般将问题中涉及的两个复数均化成一般形式，利用复数相等的充要条件“实部相等，虚部相等”进行求解.本题涉及复数的模，利用复数模的性质求解就比较简便：2211121222||||||||||||.||z z z z z z z z z z ==⋅=，， 12.【2015高考湖南，理1】已知()211i i z -=+（i 为虚数单位），则复数z =（ ）A.1i +B.1i -C.1i -+D.1i --【答案】D.【考点定位】复数的计算.【名师点睛】本题主要考查了复数的概念与基本运算，属于容易题，意在考查学生对复数代数形式四则运算的掌握情况，基本思路就是复数的除法运算按“分母实数化”原则，结合复数的乘法进行计算，而复数的乘法则是按多项式的乘法法则进行处理.13.【2015高考上海，理2】若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z = ．【答案】1142i + 【解析】设(,)z a bi a b R =+∈，则113()1412142a bi a bi i ab z i ++-=+⇒==⇒=+且 【考点定位】复数相等，共轭复数【名师点睛】研究复数问题一般将其设为(,)z a bi a b R =+∈形式，利用复数相等充要条件：实部与实部，虚部与虚部分别对应相等，将复数相等问题转化为实数问题：解对应方程组问题.复数问题实数化转化过程中，需明确概念，如(,)z a bi a b R =+∈的共轭复数为(,)z a bi a b R =-∈，复数加法为实部与实部，虚部与虚部分别对应相加.【2015高考上海，理15】设1z ，2C z ∈，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【答案】B【解析】若1z 、2z 皆是实数，则12z z -一定不是虚数，因此当12z z -是虚数时，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”成立，即必要性成立；当1z 、2z 中至少有一个数是虚数，12z z -不一定是虚数，如12z z i ==，即充分性不成立，选B.【考点定位】复数概念，充要关系【名师点睛】形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．判断概念必须从其定义出发，不可想当然.复数专题及答案（二）一、选择题1．(2010·全国Ⅰ理)复数3＋2i2－3i＝( )A．i B．－i C．12－13i D．12＋13i [答案] A[解析] 3＋2i2－3i＝(3＋2i)(2＋3i)(2－3i)(2＋3i)＝6＋9i＋4i－613＝i.2．(2010·北京文)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( )A．4＋8iB．8＋2iC．2＋4iD．4＋i[答案] C[解析] 由题意知A(6,5)，B(－2,3)，AB中点C(x，y)，则x＝6－22＝2，y＝5＋32＝4，∴点C对应的复数为2＋4i，故选C.3．若复数(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i表示的点在虚轴上，则实数m的值是( ) A．－1B．4C．－1和4D．－1和6[答案] C[解析] 由m2－3m－4＝0得m＝4或－1，故选C.[点评] 复数z＝a＋bi(a、b∈R)对应点在虚轴上和z为纯虚数应加以区别．虚轴上包括原点(参见教材104页的定义)，切勿错误的以为虚轴不包括原点．4．(文)已知复数z＝11＋i，则z－·i在复平面内对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案] B[解析] z＝1－i2，z－＝12＋i2，z－·i＝－12＋12i.实数－12，虚部12，对应点⎝⎛⎭⎪⎫－12，12在第二象限，故选B.(理)复数z在复平面上对应的点在单位圆上，则复数z2＋1z( )A．是纯虚数B．是虚数但不是纯虚数C．是实数D．只能是零[答案] C[解析] 解法1：∵z的对应点P在单位圆上，∴可设P(cosθ，sinθ)，∴z＝cosθ＋i sinθ.则z2＋1z＝cos2θ＋i sin2θ＋1cosθ＋i sinθ＝2cos2θ＋2i sinθcosθcosθ＋i sinθ＝2cosθ为实数．解法2：设z＝a＋bi(a、b∈R)，∵z的对应点在单位圆上，∴a2＋b2＝1，∴(a－bi)(a＋bi)＝a2＋b2＝1，∴z2＋1z＝z＋1z＝(a＋bi)＋(a－bi)＝2a∈R.5．(2010·广州市)复数(3i－1)i的共轭复数．．．．是( )A．－3＋iB．－3－iC．3＋iD．3－i[答案] A[解析] (3i－1)i＝－3－i，其共轭复数为－3＋i.6．(2010·湖南衡阳一中)已知x，y∈R，i是虚数单位，且(x－1)i－y＝2＋i，则(1＋i)x－y的值为( )A．－4B．4C．－1D．1[答案] A[解析] 由(x－1)i－y＝2＋i得，x＝2，y＝－2，所以(1＋i)x－y＝(1＋i)4＝(2i)2＝－4，故选A.7．(文)(2010·吉林市质检)复数z1＝3＋i，z2＝1－i，则z＝z1·z2在复平面内对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案] D[解析] ∵z＝z1z2＝(3＋i)(1－i)＝4－2i，∴选D.(理)现定义：e iθ＝cosθ＋isinθ，其中i是虚数单位，e为自然对数的底，θ∈R，且实数指数幂的运算性质对e iθ都适用，若a＝C50cos5θ－C52cos3θsin2θ＋C54cosθsin4θ，b＝C51cos4θsinθ－C53cos2θsin3θ＋C55sin5θ，那么复数a＋b i等于( )A．cos5θ＋isin5θB．cos5θ－isin5θC．sin5θ＋icos5θD．sin5θ－icos5θ[解析] a ＋b i ＝C 50cos 5θ＋iC 51cos 4θsin θ＋i 2C 52cos 3θsin 2θ＋i 3C 53cos 2θsin 3θ＋i 4C 54cos θsin 4θ＋i 5C 55sin 5θ＝(cos θ＋isin θ)5＝(e i θ)5＝e i (5θ)＝cos5θ＋isin5θ，选A.8．(文)(2010·安徽合肥市质检)已知复数a ＝3＋2i ，b ＝4＋xi (其中i 为虚数单位)，若复数a b∈R ，则实数x 的值为( )A ．－6B ．6D ．－83[答案] C[解析]a b ＝3＋2i 4＋xi ＝(3＋2i )(4－xi )16＋x 2＝12＋2x 16＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫8－3x 16＋x 2 i ∈R ，∴8－3x 16＋x 2＝0，∴x ＝83. (理)(2010·山东邹平一中月考)设z ＝1－i (i 是虚数单位)，则z 2＋2z＝( )A ．－1－iB ．－1＋iD．1＋i [答案] C[解析] ∵z＝1－i，∴z2＝－2i，2z＝21－i＝1＋i，∴z2＋2z＝1－i，选C.9．(2010·山东聊城市模拟)在复平面内，复数21－i对应的点到直线y＝x＋1的距离是( )C．2D．22[答案] A[解析] ∵21－i＝2(1＋i)(1－i)(1＋i)＝1＋i对应点为(1,1)，它到直线x－y＋1＝0距离d＝12＝22，故选A.10．(文)(2010·山东临沂质检)设复数z满足关系式z＋|z－|＝2＋i，则z等于( )A ．－34＋i－i＋iD ．－34－i[答案] C[解析] 由z ＝2－|z －|＋i 知z 的虚部为1，设z ＝a ＋i (a ∈R )，则由条件知a ＝2－a 2＋1，∴a ＝34，故选C.(理)(2010·马鞍山市质检)若复数z ＝a ＋i1－2i(a ∈R ，i 是虚数单位)是纯虚数，则|a ＋2i |等于( )A ．2B ．22C ．4D ．8[答案] B[解析] z ＝a ＋i 1－2i ＝(a ＋i )(1＋2i )5＝a －25＋2a ＋15i 是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －25＝02a ＋15≠0，∴a ＝2，∴|a ＋2i |＝|2＋2i |＝2 2.二、填空题11．规定运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，若⎪⎪⎪⎪⎪⎪ z i －i 2＝1－2i ，设i 为虚数单位，则复数z ＝________.[答案] 1－i[解析] 由已知可得⎪⎪⎪⎪⎪⎪zi －i2＝2z ＋i 2＝2z －1＝1－2i ，∴z ＝1－i . 12．(2010·南京市调研)若复数z 1＝a －i ，z 2＝1＋i (i 为虚数单位)，且z 1·z 2为纯虚数，则实数a 的值为________．[答案] －1[解析] 因为z 1·z 2＝(a －i )(1＋i )＝a ＋1＋(a －1)i 为纯虚数，所以a ＝－1.13．(文)若a 是复数z 1＝1＋i2－i 的实部，b 是复数z 2＝(1－i )3的虚部，则ab 等于________．[答案] －2 5[解析] ∵z1＝1＋i2－i＝(1＋i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝15＋35i，∴a＝1 5 .又z2＝(1－i)3＝1－3i＋3i2－i3＝－2－2i，∴b＝－2.于是，ab＝－2 5 .(理)如果复数2－bi1＋2i(i是虚数单位)的实数与虚部互为相反数，那么实数b等于________．[答案] －2 3[解析] 2－bi1＋2i＝2－bi1＋2i·1－2i1－2i＝2－2b5－b＋45i，由复数的实数与虚数互为相反数得，2－2b5＝b＋45，解得b＝－2 3 .14．(文)若复数z＝sinα－i(1－cosα)是纯虚数，则α＝________. [答案] (2k＋1)π(k∈Z)[解析] 依题意，⎩⎨⎧sin α＝01－cos α≠0，即⎩⎨⎧α＝k πα≠2k π，所以α＝(2k ＋1)π(k ∈Z )．[点评] 新课标教材把《复数》这一章进行了精简，不再要求复数的三角形式以及复杂的几何形式和性质；对于复数的模的要求很低，了解概念就行．主要考查复数的代数形式以及复数的四则运算，这是我们复习的重点，不要超过范围．(理)(2010·上海大同中学模考)设i 为虚数单位，复数z ＝(12＋5i )(cos θ＋i sin θ)，若z ∈R ，则tan θ的值为________．[答案] －512[解析] z ＝(12cos θ－5sin θ)＋(12sin θ＋5cos θ)i ∈R ，∴12sin θ＋5cos θ＝0，∴tan θ＝－512. 三、解答题15．(2010·江苏通州市调研)已知复数z ＝a 2－7a ＋6a ＋1＋(a 2－5a －6)i (a ∈R )．试求实数a 分别为什么值时，z 分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．[解析] (1)当z 为实数时，⎩⎨⎧a 2－5a －6＝0a ＋1≠0，∴a ＝6，∴当a ＝6时，z 为实数．(2)当z 为虚数时，⎩⎨⎧a 2－5a －6≠0a ＋1≠0，∴a ≠－1且a ≠6，故当a ∈R ，a ≠－1且a ≠6时，z 为虚数．(3)当z 为纯虚数时，⎩⎨⎧a 2－5a －6≠0a 2－7a ＋6＝0a ＋1≠0∴a ＝1，故a ＝1时，z 为纯虚数．16．(2010·上海徐汇区模拟)求满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪z ＋1z －1＝1且z ＋2z ∈R 的复数z .[解析] 设z ＝a ＋bi (a 、b ∈R )，由⎪⎪⎪⎪⎪⎪z ＋1z －1＝1|z ＋1|＝|z －1|， 由|(a ＋1)＋bi |＝|(a －1)＋bi |，∴(a ＋1)2＋b 2＝(a －1)2＋b 2，得a ＝0，∴z ＝bi ，又由bi ＋2bi∈R 得，b －2b＝0b ＝±2，∴z ＝±2i .。