（3.6）
当然希望 趋势值与观测值误差越小越好
ˆ min ∑ ( z i − z i ) = min ∑ ( z i − b0 − b1 x i − b2 y i ) 2 = min Q ( b0 , b1 , b2 )
i =1 n
§ 3.3 趋势面数学模型中的确定 对于所有的趋势值与观测值
ˆ min ∑ ( z i − z i ) = min ∑ ( zi − b0 − b1 x i − b2 yi ) 2 = min Q (b0 , b1 , b2 )
图 3.2
§ 3.2
趋势面分析的数学模型建立
如何定量地描述所谓事物变化的趋势呢? 如何定量地描述所谓事物变化的趋势呢 事物在二维空间的变化趋势可用曲线表示， 事物在二维空间的变化趋势可用曲线表示， 而在三维以上空间变化趋势可用超曲面表示， 而在三维以上空间变化趋势可用超曲面表示， 既然可用曲线、曲面、 既然可用曲线、曲面、超曲面来表示事物的变 化趋势，当然我们就可按照某种规则建立曲线、 化趋势，当然我们就可按照某种规则建立曲线、 曲面、 曲面、超曲面的数学表达式来定量表示事物的 变化趋势，从几何上讲，也可以说用曲线、 变化趋势，从几何上讲，也可以说用曲线、曲 面去拟合或逼近事物的变化趋势。 面去拟合或逼近事物的变化趋势。
（3.8） ）
i
或
n ∑ xi ∑ yi
∑ x ∑ y b ∑ z x x y b = ∑ z x ∑ ∑ ∑ x y ∑ y b ∑ z y
i 2 i i 0 1 i i i i i i 2 i 2 i i
矩阵形式：X T XB = X T Z
B = ( X T X ) −1 X T Z
（3.10） ）
于是求得二元一次趋势方程为
ˆ z = b0 + b1 x + b2 y
§ 3.3 趋势面数学模型中的确定 对于所求得的趋势面方程， 对于所求得的趋势面方程，一般可作出它的空 间几何图形， 间几何图形，这样可方便于了解事物的变化趋 然而要作出趋势面方程的空间图形， 势，然而要作出趋势面方程的空间图形，当趋 势面方程较复杂时，这本身就是一个难题。 势面方程较复杂时，这本身就是一个难题。为 在实际应用中，当我们求得趋势面方程后， 此，在实际应用中，当我们求得趋势面方程后， 只需画出该方程的等值线图， 只需画出该方程的等值线图，用等值线图的变 化趋势来反映事物的变化趋势。 化趋势来反映事物的变化趋势。
§3.1 趋势面分析问题简述
是不是任何事物在某一区域都存在趋势呢? 是不是任何事物在某一区域都存在趋势呢 不一定。如图3.2所示 显然图3.2所示 所示， 不一定。如图 所示，显然图 所示 （a）图趋势明显；（ b）图趋势不明显； ）图趋势明显；（ ）图趋势不明显； 图不存在趋势。 （b ）图不存在趋势。
2 xn 2 x1 2 x2
x1 y1 x2 y2 L xn yn
b0 b 2 y1 z1 1 z 2 y2 2 , B = b2 ,Z = M b3 2 b4 yn zn b5
第三章
趋势面分析及其程序实现
§3.1 趋势面分析问题简述
§3.1 趋势面分析问题简述

§3.1 趋势面分析问题简述
当我们研究煤层厚度的变化时， 当我们研究煤层厚度的变化时，既对大范围内 煤层厚度的变化规律感兴趣， 煤层厚度的变化规律感兴趣，又对煤层局部加 z 厚地段感兴趣， 厚地段感兴趣，因为煤层局部加厚地段可以作 z 为我们重点勘探和开采对象。 为我们重点勘探和开采对象。 趋势面分析描述性定义： 趋势面分析描述性定义： 当沿一定方向观测某一特征变量的变化时， 当沿一定方向观测某一特征变量的变化时， 如果 在一定范围内的平均值沿这个方向的变 化超过了它的偶然变化幅度， 化超过了它的偶然变化幅度，则认为特征变量 在这个方向上存在“趋势” 在这个方向上存在“趋势”。所以从一定意义 上讲，所谓趋势就是排除了局部起伏（ 上讲，所谓趋势就是排除了局部起伏（特殊性 或局部异常）以后比较规则的变化。 或局部异常）以后比较规则的变化。
（3.9） ）
§ 3.3 趋势面数学模型中的确定
1 x 1 y1
1 x2 y2
1 L 1 1 L xn L L yn 1
x1 y1 b0 1 1 L 1 z1 z x2 t 2 b = x x L x 2 1 n M L L 1 2 y1 y2 L yn b2 xn yn zn
（3.13） ）
§ 3.3 趋势面数学模型中的确定
则 X T XB = X T Z 就是二元二次趋势方程的正规方 程组。 程组。解此方程组就可得到二次趋势面方程的 六个系数。建立趋势方程后， 六个系数。建立趋势方程后，将 n 个测点坐标 ( xi , yi ) 代入方程，二元二次趋势方程在空间 代入方程， 是一张二次曲面， 是一张二次曲面，而它的等值线在平面上则为 二次曲线。 二次曲线。
§ 3.2
趋势面分析的数学模型建立
§ 3.2
趋势面分析的数学模型建立
z = β 0 + β1 x + β 2 y + β 3 x + L + β m y
2
p
§ 3.2 趋势面分析的数学模型建立 受大范围因素控制的趋势部分， 受大范围因素控制的趋势部分，它反映区域性 趋势部分 变化的总体特征，即事物变化的普遍性， 变化的总体特征，即事物变化的普遍性，如天然 气产量随时间的推移，其开采量应越来越低， 气产量随时间的推移，其开采量应越来越低，这 就是天然气产量变化的总体特征。 就是天然气产量变化的总体特征。 受局部范围因素和随机因素控制的剩余部分 剩余部分， 受局部范围因素和随机因素控制的剩余部分， 它反映了局部异常和随机误差， 它反映了局部异常和随机误差，即事物变化的特 殊性或称异常，如天然气产量，随着时间的推移， 殊性或称异常，如天然气产量，随着时间的推移， 可能在某一个时间段，它的产量不但不下降， 可能在某一个时间段，它的产量不但不下降，反 而上升，这就是特殊性或称异常。 而上升，这就是特殊性或称异常。
（3.2）
（3.3）
§ 3.3 趋势面数学模型中的确定 线性化处理 令 x1 = x , x 2 = y , x 3 = x 2 , x4 = xy , x5 = y 2 。 则二元多项式可化为如下形式： 则二元多项式可化为如下形式：
z = β 0 + β 1 x1 + β 2 x 2
z = β 0 + β 1 x1 + β 2 x 2 + β 3 x3 + β 4 x4 + β 5 x5
2 i =1 i =1 n n
达到最小， 要使 Q 达到最小，即
n ∂Q ˆ b = 2∑ ( z i − z i )( −1) = 0 i =1 ∂ 0 n ∂Q ˆ = 2∑ ( z i − z i )( − x i ) = 0 i =1 ∂b1 n ∂Q ˆ = 2∑ ( z i − z i )( − xyii ) = 0 ∂b2 i =1
（3.7） ）
§ 3.3 趋势面数学模型中的确定 将式（ 整理得正规方程组（ 将式（3.7）整理得正规方程组（均为 i 从1~ n 求 整理得正规方程组 和）：
nb0 + b1 ∑ xi + b2 ∑ yi = ∑ z i ∑ 2 b0 + b1 ∑ x i + b2 ∑ xi yi = ∑ z i xi 2 b0 ∑ yi + b2 ∑ xi yi + b2 ∑ yi = ∑ z i yi
§ 3.3 趋势面数学模型中的确定
x1 y1 z1
x 2 y2 z 2 L L L xn yn z n
若设趋势面模型分别为二元一次趋势模型， 若设趋势面模型分别为二元一次趋势模型， 二元二次趋势模型， 二元二次趋势模型，即
z = β 0 + β1 x + β 2 y
z = β 0 + β 1 x + β 2 y + β 3 x 2 + β 4 xy + β 5 y 2
（3.4） ）
（3.5） ） 显然式（3.4）、式（3.5）为多元回归方程，因 为多元回归方程， 显然式 、 为多元回归方程 此可用多元回归方法确定系数 β 0 , β 1 ,L , β 5 ，再将 x1 , x 2 L 换为原 x、 y 来表示，则趋势模型最终确 来表示， 定。
§ 3.3 趋势面数学模型中的确定
§ 3.3 趋势面数学模型中的确定
对于二次和二次以上的趋势面方程， 对于二次和二次以上的趋势面方程，不难从 和式（3.11）直接推广得到。例如二 直接推广得到。 式（3.10）和式 和式 直接推广得到 元二次趋势方程， 元二次趋势方程，只要令
1 1 X= 1 x1 x2 xn y1 y2 L yn
图中的粗直线代表天 然气产量的总的变化 趋势（ 趋势（也可称为背 ），该直线称为 该直线称为趋 景），该直线称为趋 势线。 势线。
图 3.1
§3.1 趋势面分析问题简述
实际曲线在趋势线以上称为正剩余； 实际曲线在趋势线以上称为正剩余；在趋势 正剩余 线以下称为负剩余 负剩余。 线以下称为负剩余。 上述例子是在平面情形，趋势线是直线， 上述例子是在平面情形，趋势线是直线， 当然也可以是曲线。 当然也可以是曲线。如果把趋势线概念推广到 三维空间，则有趋势面， 三维空间，则有趋势面，在更高维空间则有超 趋势面。 趋势面。
§3.1 趋势面分析问题简述
例如， 从图3.1可知 可知， 例如 ， 从图 可知 ， 该图表示天然气随时间 而变化的情况， 而变化的情况，其总的趋势是天然气产量随时 间的推移而产量下降。 间的推移而产量下降。但不排除天然气产量在 某一时间段可能增加，这就是特殊性或称异常。 某一时间段可能增加，这就是特殊性或称异常。