极限的几种计算方法摘要:极限是描述函数在无限过程中的变化趋势的重要概念，本文通过典型例题，举一反三，给出几种常用的求极限方法. 关键词:极限；计算；方法极限是数学分析中最基本、最重要的概念之一,极限是微积分的重要基础，研究函数性质的重要手段.极限的计算方法很多,并且有一定的规律和技巧性,对此,本文将根据实例进行分析、探讨,并归纳出一些计算方法.一、 利用极限定义求极限设{}n a 为数列, a 为定数.若对任给的正数ε ,总存在正整N ,使得当n N >,n a a ε-<则称数列{}n a 收敛于a ,定数a 称为数列{}n a 的极限, 并记作lim n n a a→∞=或()na a n →→∞.例1 证明33545lim232n n n n →∞+-=-分析:成立.从中解n 很困难 ,因为要找的N 不是唯一的,所以可以用“放大”不等式的方法,再解不等式,并可限定正整数n 大于某个正常数,当然“放大”和“限定”的也不是唯一的. 证明:限定7n >,从而330n ->,要使不等式()()33333354527272232222323n n n n n nn nn n n +-+++-==<--+- 32322n n nε=<< 成立，从不等式22n ε<，解得n >取N =于是,N =,N ,有33545232n n n +---ε< , 即 .例2 证明 !lim0nn n n →∞=证明: 由于!!10n n n n n n n-=≤,故对0ε>,取N =+1,则当n N >时，有!10n n n nε-≤<，因此!lim 0n n n n →∞=. 二、利用两个重要极限求极限例3 求 2lim 1xn x -→∞⎛⎫- ⎪⎝⎭分析: 此题是一道比较典型的应用第二个重要极限的问题.解: 22221lim 112xxt xn x x -⨯--=→∞⎡⎤⎢⎥⎛⎫-=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥-⎣⎦ 221lim 1t t e t →∞⎡⎤⎛⎫+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.例4 求 2c o s l i m2x xx ππ→-解: 202cos cos 2lim lim 2x tt x t x t x ππππ-=→→⎛⎫+ ⎪⎝⎭→←−−−-0sin lim1t tt →=-=-.例5 求30tan sin lim x x xx →-解: 3200tan sin tan 1cos lim lim()x x x x x xx x x→→--=⋅2202sin tan 2lim()x x xxx →=⋅20sin tan 12lim[()]22x x x x x →=⋅⋅2000sintan 112lim lim[()]lim 222x x x x x x x →→→=⋅⋅=.三、利用极限四则运算求极限用极限的四则运算法则求极限，条件是每项或每个因子极限存在，一般所给的变量不满足这个条件，如∞∞、00等情况，都不能直接用四则运算法则，必需对变量进行变形，设法消去分子、分母中的零因子，在变形时，要熟练掌握因式分解、有理化运算等恒等变形.例6 求222lim 1x x xx →∞--分析: 因为x →∞时，分子、分母都没有极限，所以不能直接使用极限运算法则，而是先将分子、分母同时除以x 的最高次幂，然后求极限.解: 222lim 1x x x x →∞--2211lim 1111x x x →∞-===---. 例7 求 224lim 2x x x →---解: ()()2222224limlim lim(2)022x x x x x x x x x →-→-→--+-==+=--. 四、利用等价无穷小量求极限在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意：只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来替代，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代.例8 求 30tan sin limsin x x xx →-解:由于()sin tan sin 1cos cos xx x x x-=-而()()233sin 0,1cos 0,sin 2x x x x x x x x →-→ ()0x →，故有 23300tan sin 112lim lim sin cos 2x x x xx x x x x →→⋅-=⋅=. 例9 求0x →解:由于200x x →→=12x →== 22220002sin sin1cos 1122limlim lim()222x x x x xxxx →→→-==⋅=得()()2210,1cos 022x x x x x →-→ ，故22002lim 12x x x x→→==.五、利用洛必达法则求极限例10 求l i x +→分析: 这是型不定式极限,可直接运用洛必达法则求解.但若作适当变换,在计算上可方便些.为此,令t =当0x +→时有0t +→. 解: 001lim lim lim 11t tx t t t e e +++→→→===---. 例11 求 3l i m (x x e x →∞∞∞型)解：32lim lim limlim 366x x x xx x x x e e e e x x x →∞→∞→∞→∞====+∞. 注:(1)不能对任何式极限都按洛必达法则求解.首先必须注意它是不是不定式极限，其次是否满足洛必达法则的其它条件.(2)不定式极限还有000,1,0,,∞⋅∞∞∞-∞ 等类型,经过简单变换,它们一般均可化为00 型或∞∞型的极限. 六、利用泰勒公式求极限例12 求极限2240cos limx x x e x -→-分析: 此为0型极限,若用洛必达法则很麻烦,这时可将cos x 和22xe -分别用其泰勒公式展开式代替,可简化此式.解:由245cos 1()2!4!x x x x ο=-++,222252()21()22x x x e x ο-=-++2452cos ()12x x x ex ο--=-+于是24524400()cos 112limlim 12x x x x x x e x x ο-→→-+-==-. 例13 求极限21lim ln 1x x x x →∞⎡⎤⎛⎫-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦解: 23411111ln 123x x x x x ο⎛⎫⎛⎫+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2411111l i m l n 1l i m 232x x x x x x x x x ο→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=-+--= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦注:(1)运用泰勒公式需要注意的一个问题是将函数展开至多少项才可以呢？其实从例题中不难看出，只需展开至分子及分母分别经过化简后系数不为零的阶即可.(2)可以看出泰勒公式计算极限的实质是利用等价无穷小的替代来计算极限.我们知道, 当0x →时,sin ,tan x x x x 等,这种等价无穷小其实就是将函数用泰勒公式展开至一次项,有些问题用泰勒公式和等价无穷小法相结合,问题又能进一步简化. 七、利用左右极限求极限极限的存在准则:若0lim ()(),lim ()(),x x x x f x A f x A +-→→==则0lim ()()x x f x A →=.利用这个极限存在准则,也可用来判断函数的极限是否存在.例14 已知函数21,1()12,1x x f x x x ⎧->-⎪=+⎨⎪≤-⎩,求1lim ()x f x →-.解: 2111lim ()lim 1x x x f x x++→-→--=+1lim (1)2x x +→-=-=11lim ()lim 22x x f x --→-→-==所以11lim ()lim ()x x f x f x -+→-→-=即 1l i m ()2x f x →-=. 例15 讨论函数()xf x x=在0x →时是否存在极限? 解: 000lim ()lim lim(1)1x x x xf x x ---→→→-==-=-000l i m ()l i m l i m 11x x x xf x x ++-→→→=== 因为 0lim ()lim ()x x f x f x -+→→≠ 所以()xf x x=在0x →时不存在极限. 八、利用两边夹定理求极限设{}{}{},,n n n x y z 是三个数列,满足下列条件 (i) 存在N ，使当n时，总有n n n x y z <<；(ii) lim lim n n n n x z a →∞→∞==；则lim n n y a →∞=.例16 设0,1,,i a i m >= ,求证{}12l i m a x ,,m n aa a = 证明： 不妨设{}112max ,,m a a a a = ，于是对任意n N ∈，都有1a a =<≤因为 l i 1,n =故上式两端的极限都是1a由两边夹定理知{}12max ,,m n a a a = .例17 设()01,lim 10a an a n n →∞⎡⎤<<+-=⎣⎦证明: 因为()1111011111a aaaa a n n n n n n n -⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫<+-=+-<+-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦与因为 10,a ->故有 11lim0an n -→∞=于是由两边夹定理得 ()01,lim 10a an a n n →∞⎡⎤<<+-=⎣⎦.以上内容简单归纳出了极限的几种计算方法,并举出相关方法的示例,但在实际计算中,对于很多极限问题,解决的办法并不是一成不变的,这需要自身努力,从而能灵活掌握和运用.总之,在求极限时,要认真审题,认真分析解题思路,寻找解题途径.参考文献:[1]刘玉链,傅沛仁.数学分析讲义[M].河北:高等教育出版社，1999.,42-97 [2]宋砚.求极限的常用方法[J].内蒙古民族大学学报,2008.3,14(2).4. [3]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2005. 23-62.[4]刘云,王阳,崔春江.浅谈泰勒公式的应用[J].和田师范专科学校学报,2008,28(1).196-197. [5]李成章.极限计算的常用方法[J].新疆石油教育学院学报,1999,5(2).39-40.[6]中国科学技术大学高等数学教研室编.高等数学导论[M].合肥:中国科学技术大学出版社，1998.128. [7]北京邮电大学数学教研室.高等数学导论[M].北京:北京邮电大学出版社，2000.68.Several Methods Of Seeking LimitName: Zheng Xiaoting Student Number: 200540501339Advisor:Wang DaimingAbstract: Limit is an important concept to describe the changing tendency of a function during its ceaseless process. This text sums up several commonly used ways of seeking limit. Analyze the typical examples and draw inferences about other cases from them.Key words: limit;seek;methods。