H a r b i n I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y课程设计说明书（论文）课程名称：控制系统设计课程设计设计题目：直线一级倒立摆控制器设计院系：航天学院控制科学与工程系班级：设计者：学号：指导教师：罗晶设计时间：2012.8.27——2012.9.9哈尔滨工业大学教务处哈尔滨工业大学课程设计任务书*注：此任务书由课程设计指导教师填写。

一、 直线一级倒立摆数学模型的推导及建立系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。

实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入－输出关系。

这里面包括输入信号的设计选取，输出信号的精确检测，数学算法的研究等等内容。

机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入－状态关系。

对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。

但是经过小心的假设忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。

下面我们采用其中的牛顿－欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型。

1.1、微分方程的推导在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统. 下图是系统中小车和摆杆的受力分析图。

其中，N 和P 为小车与摆杆水平和垂直方向的分量。

b px图1（a ）小车隔离受力图 （b ）摆杆隔离受力图 本系统相关参数定义如下：M : 小车质量 m ：摆杆质量b ：小车摩擦系数 l ：摆杆转动轴心到杆质心的长度 I ：摆杆惯量 F ：加在小车上的力x ：小车位置 φ：摆杆与垂直向上方向的夹角θ：摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定,因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。

分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：Mx F bx N =--由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：()22sin d N m x l dtθ=+即 2cos sin Nmx ml ml θθθθ=+-把这个等式代入上式中，就得到系统的第一个运动方程：()2cos sin M m x bx ml ml F θθθθ+++-=为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：()22cos d P mg m l dtθ-=-即2sin cos P mg ml ml θθθθ-=+力矩平衡方程如下： sin cos Pl Nl I θθθ--=注意：此方程中力矩的方向，由于,cos cos ,sin sin θπφφθφθ=+=-=-，故等式前面有负号。

合并这两个方程，约去P 和N ，得到第二个运动方程：()22sin cos I ml mgl mlxθθθ++=-1、微分方程模型设（是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设与1（单位是弧度）相比很小,即，则可以进行近似处理：2cos 1,sin ,()0d dtθθθφ=-=-=。

用u 来代表被控对象的输入力F ，线性化后两个运动方程如下：()()2M m x bx ml u I ml mgl mlx φφφ⎧++-=⎪⎨+-=⎪⎩2、传递函数对以上微分方程组进行拉普拉斯变换，得到()()22222()()()()()()()M m X s s bX s ml s s U s I ml s s mgl s mlX s s⎧++-Φ=⎪⎨+Φ-Φ=⎪⎩ 注意：推导传递函数时假设初始条件为0。

由于输出为角度为，求解方程组上述方程组的第一个方程，可以得到()22()()I ml g X s s ml s ⎡⎤+⎢⎥=-Φ⎢⎥⎣⎦或者()222()()s mls X s I ml s mglΦ=+- （1-12）如果令x ν=，则有()22()()s mlV s I ml s mglΦ=+- （1-13）把上式代入10式，则有：()()()22222()()()()I ml I ml g g M m s s b s s ml s s U s ml s ml s ⎡⎤⎡⎤++⎢⎥⎢⎥+-Φ++Φ-Φ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（1-14）整理：()()212432()()()ml s s qG s U s b I mlM m mgl bmgls s ss qqq Φ==+++--（1-15）其中()()()22q M m I ml ml ⎡⎤=++-⎣⎦3、状态空间数学模型X AX BuY CX Du=+=+，可得状态方程()()()()()()()()()2222222222x x I ml b I ml m gl x x u I M m Mml I M m Mml I M m Mml mgl M m mlb ml x u I M m Mml I M m Mml I M m Mml φφφφφ=⎧⎪-++⎪=++⎪++++++⎪⎨=⎪⎪+-⎪=++⎪++++++⎩()()()()()()()()()2222222222100000000100010000010x x I ml b I ml m gl x x I M m Mml I M m Mml I M m Mml u mlb mgl M m ml I M m Mml I M m Mml I M m Mmlx y φφφφφ-++++++++=+-+++++++==⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦00x x uφφ+⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎡⎤⎪⎢⎥⎡⎤⎪⎢⎥⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎣⎦⎪⎢⎥⎩⎣⎦二、 直线一级倒立摆PID 控制器设计2.1、PID 控制器各个校正环节对系统的影响简单来说,PID 控制器各个校正环节的作用如下:（1） 比例环节：成比例的反应控制系统的偏差信号e(t)，偏差一旦产生，控制器立即产生控制作用，以减少偏差。

（2）积分环节：主要用于消除稳态误差，提高系统的型别。

积分作用的强弱取决于积分时间常数T1，T1越大，积分作用越弱，反之则越强。

（3） 微分环节：反映偏差信号的变化趋势（变化速率），并能在偏差信号值变得太大之前，在系统中引入一个有效的早期修正信号，从而加快系统的动作速度，减小调节时间。

2．2、PID 控制器的设计及MATLAB 仿真首先，对于倒立摆系统输出量为摆杆的角度，它的平衡位置为垂直向上。

系构框图如下：图3 直线一级倒立摆PID 控制系统框 图中KD(s)是控制器传递函数，G(s)是被控对象传递函数。

考虑到输入r(s)=0，结构图可以很容易的变换成图4 直线一级倒立摆PID 控制简化系统框图该系统的输出为)())(())(()()())(())((1)()()(1)()(s F num numPID den denPID denPID num s F den denPID num numPID den nums F s G s KD s G s y +=+=+=其中，num ——被控对象传递函数的分子项den ——被控对象传递函数的分母项numPID ——PID 控制器传递函数的分子项 denPID ——PID 控制器传递函数的分母项 被控对象的传递函数是()()212432()()()ml s s numq G s U s denb I ml M m mgl bmgl s ss sqqqΦ===+++-- 其中：()()()22q M m I ml ml ⎡⎤=++-⎣⎦PID 控制器的传递函数为denPID numPIDs K s K s K s K K s K s KD I P D I P D =++=++=2)(需仔细调节PID 控制器的参数，以得到满意的控制效果。

前面的讨论只考虑了摆杆角度，那么，在我们施加控制的过程中，小车位置如何变化呢？ 考虑小车位置，得到改进的系统框图如下：图5 直线一级倒立摆PID 控制改进系统框图其中，是摆杆传递函数，是小车传递函数。

由于输入信号r(s)=0 ，所以可以把结构图转换成：图5 直线一级倒立摆PID 控制简化后改进系统框图其中，反馈环代表我们前面设计的控制器。

小车位置输出为：)())()(())()(())()(()())(())((1)()()(1)()(212112112212s F den num numPID den den denPID den denPID num s F den denPID num numPID den num s F s G s KD s G s X +=+=+=其中，num 1 ,den 1,num 2, den 2 分别代表被控对象1和被控对象2传递函数的分子和分母。

numPID 和denPID 代表PID 控制器传递函数的分子和分母。

下面我们来求G 2(s)，根据前面的推导:()22()()I ml g X s s ml s ⎡⎤+⎢⎥=-Φ⎢⎥⎣⎦可以推出小车位置的传递函数为:()()2222432()()()I ml mgls X s q q G s U s b I ml M m mgl bmgl s s s sqqq+-==+++--其中：()()()22q M m I ml ml ⎡⎤=++-⎣⎦可以看出，den 1=den 2=den ，小车的传递函数可以简化成：)())(())(())(()(12s F num numPID k den denPID denPID num s X +=2.3、PID 控制器参数的调节按题目要求，施加0.1N 的脉冲信号，观察指标。

脉冲信号仿真源程序为：M = 0.5; m = 0.2; b = 0.1; I = 0.006; g = 9.8; l = 0.3; num1 = [m*l];den1 = [(I+m*l^2) 0 -m*g*l]; Kp = 1; Ki = 0; Kd = 0;numPID = [Kd Kp Ki]; denPID = [1 0];num = conv(num1,denPID);den = polyadd(conv(denPID,den1),conv(numPID,num1 ));[r,p,k] = residue(num,den);s = pt=0:0.005:5;impulse(0.1*num,den,t)grid当系统加入PID控制器后的方框图为：直线一级倒立摆PID控制MATLAB仿真模型由所查阅资料，调节Kp，会影响ess和振荡次数以及ts；Kp太大不稳定，Kp可以选择负数。