均值不等式的应用一．均值不等式1. （ 1）若 a,bR ，则 a 2 b 2 2ab (2)若 a, bR ，则 aba 2b 2 （当且仅当 a b 时取“ =”）22. (1) 若a, bR* ，则ab ab (2)若a,bR * ，则 a b 2 ab （当且仅当 a b 时取“ =”）2*a b (3) 若 a,b R ，则 ab22( 当且仅当 ab 时取“ =”）3. 若x，则x 12 ( 当且仅当 x 1时取“ =”） ; 若x0 ，则 x12( 当且仅当 x 1 时取“ =”） ;xx若 x 012即 x1 1 b 时取“ =”），则 x2或 x-2( 当且仅当axxx4. 若 ab0 ，则ab2 ( 当且仅当 ab 时取“ =”）若 ab 0 ，则ab 2即 ab 2或ab -2(当b abab a b a22且仅当 ab 时取“ =”） 5.若 a,b2ab （当且仅当 a b 时取“ =”）R ，则 (a b)22注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大” ．（ 2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3) 均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例 1：求下列函数的值域 (1)2 11y ＝3x＋ x 2（2）y ＝x ＋x2技巧一：凑项例 2：已知 x5 ，求函数 y 4x 21的最大值 .44 x5技巧二：凑系数 例 3. 当 时，求 y x(8 2x) 的最大值 .变式：设 0x3，求函数 y4x(3 2x) 的最大值 .2技巧三： 分离 例 4. 求 yx 2 7x 10 ( x 1) 的值域 .x 1技巧四：换元 求 yx 2 7 x 10 ( x1) 的值域 .x 1技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f ( x) xa的单调性。

x例 5：求函数 yx 2 5 的值域 .x 2 4练习． 1. 求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值 .x 2 3x 10)（）y 2x1, x3 (3) y 2sin x1 , x (0, )x2x 3sin x2．已知0 x 1，求函数y x(1 x) 的最大值.；3．0 x 2 ，求函数y x(2 3x) 的最大3值 .条件求最值 1. 若实数满足 a b 2 ，则3a3b的最小值是.变式：若 log 4 x log 4 y1 12 ，求的最小值 . 并求 x,y 的值x y技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。

2：已知x 0, y 0 ，且19 1 ，求x y 的最小值。

x y变式：（1）若x, y R且2 x y 1，求1 1的最小值x y( 2 ) 已知 a, b, x, y R 且ab 1，求 x y 的最小值x y技巧七、已知 x，y 为正实数，且 x 2＋y 2 ＝，求 x ＋y 2 的最大值.2 1 11技巧八：已知a，b 为正实数， 2b＋ab＋ a＝ 30，求函数 y＝ab的最小值 .变式： 1. 已知 a>0，b>0，ab－( a＋ b) ＝1，求 a＋b 的最小值。

2.若直角三角形周长为 1，求它的面积最大值。

技巧九、取平方5、已知 x， y 为正实数， 3x＋ 2y＝10，求函数 W＝3x ＋2y 的最值 .变式 : 求函数y2 x 15 2 x(1x5)的最大值。

2 2应用二：利用均值不等式证明不等式1．已知a, b,c为两两不相等的实数，求证： a 2b2c2ab bc ca 2.正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc例 6：已知 a、b、c R ，且a。

求证： 1 1 1b c 1a1 11 8b c应用三：均值不等式与恒成立问题例 7：已知x 0, y 0 且19 1，求使不等式x y m 恒成立的实数m的取值范围。

x y应用四：均值定理在比较大小中的应用： 例 8：若 a b 1, Plg a lg b,Q1(lg a lg b), R lg(a b) ，则 P,Q, R 的大小关系是.22均值不等式的应用一．均值不等式221.（1）若 a,b R ，则 a 2 b 22ab (2) 若 a,bR ，则 aba b（当且仅当 ab 时取“=”）22. (1) 若*，则 a bab(2) 若*，则（当且仅当a b 时取“ ”）a, b R2a, b Ra b 2 ab=a2*，则 abb( 当且仅当 ab 时取“ =”）(3) 若 a, b R23. 若 x 0 ，则x1 2 ( 当且仅当 x 1 时取“ ”） 若 x 0 ，则 x 12 (当且仅当x1x= ; x时取“ =”） ; 若 x12即 x11-2 ( 当且仅当 ab 时取“ =”）0 ，则 x2或 x xxx4. 若 ab 0 ，则ab 2 (当且仅当 a b 时取“ =”）ba若 ab0 ，则ab 2即 a b 2或 a b -2 ( 当且仅当 a b 时取“ ”）b a b aba=R ，则 ( ab )225. 若 a, b 2 2 a 2 b（当且仅当 a b 时取“ =”）注：（ 1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大” ．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3) 均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例 1：求下列函数的值域（1） yx 2 1 2y x 1＝3 ＋2x （2） ＝ ＋x21 21解：（1）y ＝3x ＋2x 2 ≥2 3x ·2x 2 ＝ 6 ∴值域为[6 ，+∞）111 1（2）当 x ＞ 0 时， y ＝x ＋x ≥ 2x ·x ＝ 2；当 x ＜0 时， y ＝ x ＋ x = －（－ x － x ）1≤－ 2 x ·x = －2 ∴值域为（－∞，－ 2] ∪[2 ，+∞）解题技巧：技巧一：凑项例 2：已知 x5，求函数y 4 x 21 的最大值。

44 x 5解：因 4x 50 ，所以首先要“调整”符号，又 (4 x 2)g1不是常数，所以对 4x 2 要进行4x5拆、凑项，Q x 5 , 5 4 x 0 ， y 4 x 215 4 x1 32 3 144 x 55 4 x当且仅当 5 4 x 1 ，即 x 1 时，上式等号成立，故当 x 1 时， y max 1。

5 4x评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

技巧二：凑系数例 3. 当时，求 y x(8 2x) 的最大值。

解析：由 知， ，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式， 但其和不是定值。

注意到 2x (8 2 x) 8 为定值，故只需将凑上一个系数即可。

yx(82x)当，即 x ＝2 时取等号 当 x ＝2 时， y x(8 2x) 的最大值为 8。

评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。

变式：设 0 x3，求函数 y4x(3 2x) 的最大值。

232 2x(3 2x) 22x 3 2x2解：∵ 0 x∴ 3 2x 0 ∴ y 4x(3 2x)9222当且仅当 2x3 2x, 即 x3 0,3时等号成立。

4 2技巧三： 分离例 4. 求 yx 27x 10 ( x 1) 的值域。

x 1解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（ x ＋1）的项，再将其分离。

当, 即时 , y 2 （ x 1) 45 9 （当且仅当 x ＝1 时取“＝”号）。

x1技巧四：换元解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x ＋ 1，化简原式在分离求最值。

y 2）25t 4 t 4 5 (t 1) 7(t1 +10 = ttt t当, 即 t=时, y 2 45 9 （当 t=2 即 x ＝1 时取“＝”号）。

tt评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利 用不等式求最值。

即化为 ymg( x)A B(A 0,B 0) ，g(x) 恒正或恒负的形式，然后运g(x)用均值不等式来求最值。

a技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f ( x) xx的单调性。

例 5：求函数 yx 25的值域。

x 24x 2 4 t (t 2) ，则 y25x 21 1 解：令 x 44 t (t 2)x 2 4x 2 t因 t 0, t 1 1 ，但 t1解得 t1不在区间 2,，故等号不成立，考虑单调性。

tt因为 y t1在区间 1,单调递增，所以在其子区间 2,为单调递增函数，故 y5 。

t2所以，所求函数的值域为5 , 。

2练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值 .（1） y x23x 1,( x0) （2） y 2xx1, x 3 (3) y 2sin x1 , x (0, )x3sin x2．已知 0 x 1，求函数 yx(1 x) 的最大值 . ； 3． 0 x2，求函数 yx(2 3x) 的最大3值 .条件求最值1. 若实数满足 a b 2 ，则 3a 3b 的最小值是.分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且 3a 3b 定值，因此考虑利用均值定理求最小值，解： 3a 和 3b 都是正数， 3a 3b ≥ 2 3a 3b 2 3a b6当 3a 3b 时等号成立，由 ab 2 及 3a 3b 得 a b 1即当 a b 1时，3a3b 的最小值是 6．变式：若 log 4 x1 1log 4 y 2 ，求的最小值 . 并求 x,y 的值x y技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。

2：已知 x 0, y 0，且19 1 ，求 x y 的最小值。

x y错解 ：0, y 0，且19 1 ， x y1 9x y2 92 xy12 故x y min 12 。

．．Q xx y x y xy错因：解法中两次连用均值不等式，在xy 2 xy 等号成立条件是 xy ，在19 29等号成立x y xy条件是19 即 y 9x , 取等号的条件的不一致，产生错误。

因此，在利用均值不等式处理问题时，列出xy等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。

正解：Q x 0, y 0,19 1， x yx y1 9 y 9x10 6 10 16x yx yx y当且仅当y9x 时，上式等号成立，又 1 9 1 ，可得 x 4, y 12 时， x y min 16 。