数列基础之两大基本数列概念：若一个数列{}n a ，从第二项起，后一项减去前一项都等于同一个常数d ，则称数{}n a 为等差数列，其中d 称为公差。

递推公式：1n n a a d +-=或者()12n n a a d n --=≥ 通项公式：()11n a a n d =+-典型例题【1】：已知数列{}n a 是首项为1，公差为2等差数列，求{}n a 的通项公式与前n 项和变式训练【1】：若等差数列{}n a 中，13a =，412a =，求{}n a 的通项公式已知数列{}n a 中，()1122n n a a n -=+≥,则数列{}n a 的前9项和等于 等差数列通项公式的推广：()n m a a n m d =+-，由此可得n ma a d n m-=-典型例题【1】：若等差数列{}n a 是递增数列，且24,a a 是方程2560x x -+=的两根，求{}n a 的通项公式变式训练【1】：若等差数列{}n a 满足：37a =，526a a =+，则6a = 等差数列的恒等性质：若m n p q +=+，其中*,,,m n p q N ∈，则n m p q a a a a +=+典型例题【1】：在等差数列{}n a 中，若12a =，3510a a +=则7a =（ ）.A 5 .B 8 .C 10 .D 14变式训练【1】：在等差数列中，，则的值为（ ）.A 5 .B 6 .C 8 .D 10变式训练【2】：在等差数列{}n a 中，若147105a a a ++=，25899a a a ++=则20a = 变式训练【3】：在等差数列{}n a 中，若34512a a a ++=，则1234567a a a a a a a ++++++=（ ）.A 14 .B 21 .C 28 .D 35变式训练【4】：在等差数列{}n a 中，若3456712a a a a a ++++=，则28a a +={}n a 1910a a +=5a等差中项的概念：若,,a A b 成等差数列，则2a bA +=，称为,a b 的等差中项 典型例题【1】：若2,,,,9a b c 五个数成等差数列，则c a -= b = 变式训练【1】：中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则其首项为 变式训练【2】：在等比数列{}n a 中，首项132a =，其前n 项和为n S ，若2342,,4S S S -成等差数列，求数列{}n a 的通项公式 等差数列的前n 项和n S ：()211122nn n n a a S n na d An Bn -+==+=+g 典型例题【1】：已知数列{}n a 是首项为19-，公差为1等差数列，求{}n a 的前n 项和 变式训练【1】：已知等差数列的前3项和为6，前8项和为4-，求数列的通项公式典型例题【2】：在等差数列}{n a 中,5,142==a a ,则}{n a 的前5项和5S =（ ）.A 7 .B 15 .C 20 .D 15变式训练【2】：在等差数列}{n a 中, 262,12a a ==,则}{n a 的前7项和7S =典型例题【1】：已知数列{}n a 的前n 项和()2*32n n nS n N -=∈，求{}n a 的通项公式 变式训练【1】：已知数列{}n a 的前n 项和()2*2n n nS n N +=∈，求{}n a 的通项公式 典型例题【3】：设等差数列的前n 项和为,若,,则当取最小值时, n 等于（ ）.A 6 .B 7 .C 8 .D 9变式训练【3】：设等差数列的前n 项和为，若110a =，3d =-，则的最大值为等差数列前n 项和n S 的性质：()()()1212121212122m m m m n a a a aS m m m a --++=-=-=- {}n a {}n a {}n a n S 111a =-466a a +=-n S {}n a n S n S典型例题【1】：设等差数列的前项和为，若则变式训练【1】：等差数列的前项和为，若,则= 变式训练【2】：等差数列的前项和为，若30S =, 55S =-，求{}n a 的通项公式变式训练【3】：等差数列的前项和为，若1353a a a ++=, 则5S =（ ）.A 5 .B 7 .C 9 .D 11概念: 若一个数列{}n a ，从第二项起，后一项比上前一项都等于同一个常数q （其中0q ≠），则称数{}n a 为等比数列，其中q 称为公比。

典型例题【1】：对任意的等比数列，下列说法正确的是（ ）.A 139,,a a a 成等比数列 .B 236,,a a a 成等比数列 .C 248,,a a a 成等比数列 .D 369,,a a a 成等比数列变式训练【1】：在数列{}n a 中，11a =，131n n a a +=+，证明：数列12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列 递推公式：1n na q a += 通项公式：11n n a a q -=典型例题【1】：在等比数列{}n a 中，11a =，2q =-，则1234a a a a +++= 变式训练【1】：设数列{}n a 满足：111,3n n a a a +==，求{}n a 的通项公式通项公式的推广：n m n m a a q -=典型例题【1】：在等比数列中， ，则公比q 的值为（ ）.A 2 .B 3 .C 4 .D 8变式训练【1】：在等比数列中，23a =，581a =，求{}n a 的通项公式变式训练【2】：在等比数列中，2420a a +=，3540a a +=，则公比q ={}n a n n S 535a a =95S S ={}n a n n S 972S =249a a a ++{}n a n n S {}n a n n S {}n a 201020078a a ={}n a {}n a变式训练【3】：在等比数列中，13a =，13521a a a ++=，357a a a ++=（ ）.A 21 .B 42 .C 63 .D 84通项公式的性质：若m n k l +=+，其中*,,,m n k l N ∈，则n m k l a a a a =g g 典型例题【1】：各项均为正数的等比数列{}n a 满足：1512a a =g ，则2234a a a =g g 变式训练【1】：公比为2的等比数列{n a } 的各项都是正数，且 3a 11a =16，则5a =（ ）.A 1 .B 2 .C 4 .D 8典型例题【2】：在等比数列{}n a 中，若452,5a a ==，则数列{}lg n a 的前8项和为（ ）.A 6 .B 5 .C 4 .D 3变式训练【2】：各项均为正数的等比数列{}n a 中，若241,4a a ==，则2122232425log log log log log a a a a a ++++=典型例题【3】：已知为等比数列，472a a +=，，则（ ）.A 7 .B 5 .C 7- .D 5-变式训练【3】： 在等比数列{}n a 中，235a a +=，146a a =g ，则公比q = 变式训练【3】： 在递增的等比数列{}n a 中，238a a =g ，149a a +=，求{}n a 的通项公式 等比中项的概念：若,,a A b 成等比数列，则2G ab =，其中G =,a b 的等比中项典型例题【1】：若1,,,,9a b c 五个数成等比数列，则ac = b = 变式训练【1】：在等差数列{}n a 中，已知公差2d =，且2a 是1a 和4a 的等比中项，则数列{}n a 的前n 项和为等比数列的前项和为()111,11,1n n a q q S q na q ⎧-⎪≠=⎨-⎪=⎩典型例题【1】：首项为1，公比为2的等比数列的前4项和4S = 变式训练【1】：若数列{}n a 是首项为1，公比为23的等比数列，n S 为其前n 项和，则（ ）{}n a {}n a 568a a =-110a a +=n.A 21n n S a =- .B 32n n S a =- .C 43n n S a =- .D 32n n S a =-变式训练【2】：某小区计划植树不少于100棵，若第一天植树2棵，从第二天起，每天植树是前一天的2倍，则至少要用多少天变式训练【3】：等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3230S S +=，则公比q =_______1. 在等差数列{}n a 中，已知公差2d =，2a 是1a 与4a 的等比中项，求数列{}n a 的通项公式2. 在等差数列{}n a 中，首项为1a ，公差1d =-，若124,,S S S 成等比数列，求数列{}n a 的通项公式3. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若423,,S S S 成等差数列，求数列{}n a 的通项公式4. 在等比数列{}n a 中，212a a -=，且22a 为13a 和3a 的等差中项，求数列{}n a 的首项，公比及前n 项和11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩典型例题【1】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =， *n N ∈则8a = 变式训练【1】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n S n n =+，n ∈*n N ∈数列{}n b 满足2log 3n n b a =+ （1） 求,n n a b典型例题【2】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且112,1n n S a a +==，则n S =（ ）.A 21n n S =- .B 123n n S -⎛⎫= ⎪⎝⎭.C 132n n S -⎛⎫= ⎪⎝⎭.D 312n n S -=变式训练【1】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且点(),n n a S 在直线2y x =-上，求数列{}n a 的通项公式变式训练【2】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且233nn S =+，求数列{}n a 的通项公式。