数理逻辑部分选择、填空及判断✓下列语句不是命题的（ A ）。

(A) 你打算考硕士研究生吗？(B) 太阳系以外的星球上有生物。

(C) 离散数学是计算机系的一门必修课。

(D) 雪是黑色的。

✓命题公式P(P P)的类型是（ A ）(A) 永真式(B) 矛盾式(C) 非永真式的可满足式(D) 析取范式✓A是重言式，那么A的否定式是( A )A. 矛盾式B. 重言式C. 可满足式D.不能确定✓以下命题公式中，为永假式的是( C )A. p→(p∨q∨r)B. (p→┐p)→┐pC. ┐(q→q)∧pD. ┐(q∨┐p)→(p∧┐p)✓命题公式P→Q的成假赋值是( D )A. 00,11B. 00,01,11C.10,11D. 10✓谓词公式)xRxP∧∀中，变元x是( B ))x(,(yA. 自由变元B. 既是自由变元也是约束变元C. 约束变元D. 既不是自由变元也不是约束变元✓命题公式P(Q Q)的类型是( A )。

(A) 永真式(B) 矛盾式(C) 非永真式的可满足式(D) 析取范式✓设B不含变元x，)x→∃等值于( A )A(B)(xA. B x xA →∀)(B. ))((B x A x ∨∃C. B x xA →∃)(D. B x A x ∧∃)((✓ 下列语句中是真命题的是( D )。

A ．你是杰克吗？B ．凡石头都可练成金。

C ．如果2+2=4，那么雪是黑的。

D ．如果1+2=4，那么雪是黑的。

✓ 从集合分类的角度看，命题公式可分为( B )A. 永真式、矛盾式B. 永真式、可满足式、矛盾式C. 可满足式、矛盾式D. 永真式、可满足式✓ 命题公式﹁p ∨﹁q 等价于( D )。

A. ﹁p ∨qB. ﹁(p ∨q)C. ﹁p ∧qD. p →﹁q✓ 一个公式在等价意义下，下面写法唯一的是( D )。

(A) 范式 (B) 析取范式 (C) 合取范式 (D) 主析取范式✓ 下列含有命题p ，q ，r 的公式中，是主析取范式的是 ( D )。

(A) (p q r) (p q) (B) (p q r) (p q) (C) (p q r) (p q r) (D) (p q r) (p q r) ✓ 设个体域是整数集合，P 代表xy ((x y )(x y x ))，下面描述正确的是（ C ）。

(A) P 是真命题 (B) P 是假命题(C) P 是一阶逻辑公式，但不是命题 (D) P 不是一阶逻辑公式✓ 对一阶逻辑公式((,)(,))(,)x y P x y Q y z xP x y ∀∀∧∧∃的说法正确的是( B ).(A) x 是约束的，y 是约束的，z 是自由的；(B) x 是约束的，y 既是约束的又是自由的，z 是自由的；(C) x 是约束的，y 既是约束的又是自由的，z 是约束的；(D) x 是约束的，y 是约束的，z 是约束的；✓ n 个命题变元可产生( D )个互不等价的布尔小项。

(A) n (B) n 2 (C) 2n (D) 2n✓ 命题“没有不犯错误的人”符号化为（ D ）。

设x x M ：)(是人，x x P ：)(犯错误。

(A) ))()((x P x M x ∧∀ (B) )))()(((x P x M x ⌝→∃⌝(C) )))()(((x P x M x ∧∃⌝ (D) )))()(((x P x M x ⌝∧∃⌝✓ 下列命题公式等值的是（ C ）BB A A Q P Q Q P Q B A A B A A QP Q P ),()D (),()C ()(),()B (,)A (∧∨⌝∨∨⌝∨→→→⌝→→∨⌝∧⌝ ✓ 给定命题公式：)(R Q P ∧∨，则所有可能使它成真赋值为（ B ），成假赋值为（ C ）。

(A) 111，011；000 (B) 111，011，100，101，110；(C) 000，010，001； (D) 000，110，011，001，100。

✓ 给定前提：R P Q S Q P ⌝∨→→,,)(，则它的有效结论为：（ B ）。

(A) S ； (B) S R →； (C) P ； (D) Q R →。

✓ 命题：“所有的马都比某些牛跑得快”的符号化公式为：（ C ）。

假设：)(x H ：x 是马；)(x C ：x 是牛；),(y x F ：x 比y 跑得快。

(A) ))),()(()((y x F y C y x H x ∧∃∧∀； (B) ))),()(()((y x F y C y x H x →∃→∀；(C) ))),()(()((y x F y C y x H x ∧∃→∀； (D) ))),()(()((y x F y C x H x y ∧→∀∃。

✓ 设P ：a 是偶数，Q ：b 是偶数.R ：a +b 是偶数，则命题“若a 是偶数，b 是偶数，则a +b 也是偶数”符号化为( C )．(A) P ∧Q ∧R (B) P ∧Q ⇔R (C) P ∨Q →R (D) P ∧Q →R✓ 表达式))(),(())(),((z zQ y x R y z Q y x P x ∀→∃∧∨∀中x ∀的辖域是( B )．(A) P (x ,y ) (B) P (x ,y )Q (z ) (C)R (x ,y ) (D)P (x ,y )R (x ,y )✓ 判断一个语句是否为命题，首先要看它是否为陈述句，然后再看它是否有唯一的真值。

✓ 命题公式(P ∨Q)→R 的只含联结词⌝和∧的等值式为：))((R Q P ⌝∧⌝∧⌝⌝⌝。

✓ B A B A ⇒∧→)(为假言推理规则。

✓ 在一阶逻辑中符号化命题“有会说话的机器人。

”设M(x):x 是机器人； S(x):x是会说话的；上述句子可符号化为： (∃x)(M(x)∧S(x)) 。

✓ 设p:我们爬山,q:我们划船,在命题逻辑中，命题“我们不能既爬山又划船”的符号化形式为¬（p ∧q ） .✓ 设p:小王走路,q:小王唱歌,在命题逻辑中，命题“小王边走路边唱歌”的符号化形式为 （p ∧q ） . ✓ 量词否定等值式⇔⌝∀)(x xA )(x A x ⌝∃。

✓ 设F(x):x 是人，H(x,y):x 与y 一样高，在一阶逻辑中，命题“人都不一样高”的符号化形式为(()()(,))x y F x F y H x y ∀∀∧→. ✓ 若含有n 个命题变项的公式A 是矛盾式，则A 的主合取范式含 2n 个极小项。

✓ 取个体域为全体整数的集合，给出下列各公式：(1) ()()()()x y z x y z ∀∀∃-= (2) ()()x xy x ∀= (3) ()()(2)x y x y y ∃∀+=其中公式(1) 的真值为真，公式(3) 的真值为假。

✓若含有n个命题变项的公式A是重言式，则A的主合取范式为1或T 。

✓命题公式)∨的所有成假赋值为000,001,010 。

P∧(RQ✓谓词公式()()∃⌝∨。

x P x Q xxP x xQ x∀→∃的前束范式为(()())✓在一阶逻辑中，将命题“没有不能表示成分数的有理数”符号化为✓))xG(x(F∀（设)G：x能)F：x是有理数；)(xx→(x (x()(G(⌝∃或))∧x⌝Fx表示成分数。

）✓设个体域D＝{1,2},那么谓词公式)xA∀∨∃消去量词后的等值式为x()(yyBA(1)A(2)(B(1)B(2)) .✓设P，Q是两个命题，当且仅当P，Q的真值均为1时，QP↔的值为1。

( ×)✓谓词公式A是q(的代换实例，则A是重言式。

( ×)→⌝)p∧q✓重言式的主析取范式包含了该公式的所有的极小项。

( √)✓命题公式A→(B→C)与(A∧B)→C等价。

( √)⇒。

( √)✓设A，B，C为命题公式，若,A B B C⇒⇒，则A C✓在一阶谓词公式中，同一变元符号不能够既约束出现又自由出现。

( ×)✓在一阶逻辑中，公式的前束范式是唯一的。

( ×)计算✓求命题公式(((p∨q)∧¬p)→q)∧r的主析取范式。

答案：m1∨m3∨m5∨m7✓用等值演算法求公式(())∨→∧⌝的主析取范式，并由主析取范式求主P Q R P合取范式。

解：主析取范式：013(())()()()()()()()()P Q R PP Q R PP P Q P R P P Q R P Q R P Q R P Q R m m m ∨→∧⌝⇔∨⌝∨∧⌝⇔∧⌝∨⌝∧⌝∨∧⌝⇔⌝∧⌝∧⌝∨⌝∧⌝∧∨⌝∧⌝∧∨⌝∧∧⇔∨∨主合取范式为：24567M M M M M ∧∧∧∧✓ 求公式（P ∧Q ）∨（﹁P ∧R ）的主析取范式，并由主析取范式求主合取范式。

解：（P ∧Q ）∨（﹁P ∧R ）的真值表如下：故主析取范式为：（﹁P ∧﹁Q ∧R ）∨（﹁P ∧Q ∧R ）∨（P ∧Q ∧﹁R ）∨（P ∧Q ∧R ）主合取范式为：（P∨R∨Q）∧（﹁Q∨P∨R）∧（﹁P∨Q∨R）∧（﹁P∨Q∨﹁R）✓化公式))]}xyyAyxyyx→B∧∃∀⌝为前束范→∃A∀∀x),((((),[)xBx(y){,,(y式。

解：原式))]}yyAx→xyyxB∀∧∃⇔y⌝⌝∃∃∨∀x,([)((A),,()Bx{xy(y,()xx→yAyB⌝xyx⇔∃∃y∧∀∨⌝∃∃y(),((,A,()[))]})xyxB(y,(){yxx→yAu⌝Bvu∀∃∃⇔∧∃v⌝∃∨(),((,w,()[))]})wABu,(u){(wxAx→yw⌝vuy∧∃⇔B∃∀⌝∃∃∨u),([(())]}),),(,(AvuwBu{wux→yy⌝xwv∃∃⇔B∃∀⌝∧∃∨A(),((,u,()[))]}Av)uw{wu,(B（或))]}vux⌝yy∧xw∀∃⇔）B∃∃⌝∧∃∨A()[(,u,()),(,(Avuw{wuB证明✓构造下面推理的证明：任何自然数都是整数；存在着自然数。

所以存在着整数。

个体域为实数集合R。

证明：先将原子命题符号化：设()G x：x为整数。

则F x：x为自然数，()前提：(()())xF x∃x F x G x∀→，()结论：()xG x∃①()∃前提引入xF x②()F c①ES规则③(()())∀→前提引入x F x G x④()()→③US规则F cG c⑤()G c②④假言推理⑥()∃⑤EG规则xG x✓用自然推理系统中，证明下列推理：(∀x)(A(x)→B(x)) ⇒((∀x)A(x)→(∃x)B(x))证明：①(∀x)A(x) 附加前提引入②A(c) ①-∀③(∀x)(A(x)→B(x)) 前提引入④A(c)→B(c) ③-∀⑤B(c) ②④假言推理∃⑥(∃x)B(x) ⑤+⑦(∀x)A(x)→(∃x)B(x) ①⑥CP规则所以(∀x)(A(x)→B(x)) ⇒((∀x)A(x)→(∃x)B(x))✓判断下面推理是否正确，并证明你的结论。