三、坐标变化与图形变化的规律：
坐标（ x ， y ）的变化
图形的变化
x × a或 y × a
被横向或纵向拉长（压缩）为原来的 a 倍
x × a， y × a
放大（缩小）为原来的 a 倍
x ×（ -1）或 y ×（ -1）
关于 y 轴或 x 轴对称
x ×（ -1）， y ×（ -1）
x a 或 y a ，其中 a 0
（2）求差比较：设 a、b 是实数，
a b 0 a b, a b 0 比较法：设 a、b 是两正实数， a 1 a b; a 1 a b; a 1 a b;
b
b
b
（4）绝对值比较法：设 a、b 是两负实数，则 a b a b 。
（5）平方法：
① 设 a 0, b 0 ，则 a2 b2 a b
② 设 a 0, b 0 ，则 a 2 b2 a b 。
③ 同号的有理数与无理数、同号的无理数与无理数大小比较时常用平方法。
如：比较 3 6 与 3.4 ； 3 6 与 53 2
（6）倒数法：设 a 0,b 0 ，则 a b 1 1 ；设 a 0,b 0 ，则 a b 1 1
标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。
2、为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被 x 轴和 y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象
y
限、第三象限、第四象限。
一一
注意：x 轴和 y 轴上的点（坐标轴上的点），不属于任何一个象限。 3、点的坐标的概念
0
x
一
一
对于平面内任意一点 P,过点 P 分别 x 轴、y 轴向作垂线，垂足在上 x 轴、y 轴对应的数 a，b 分别叫做点 P 的横 坐标、纵坐标，有序数对（a，b）叫做点 P 的坐标。
《数学》（八年级上册）知识点总结（北师大版）
第一章 勾股定理
1、勾股定理-----已知直角三角形，得边的关系
直角三角形两直角边 a，b 的平方和等于斜边 c 的平方，即 a 2 b2 c 2
2、勾股定理的逆定理-----由边的关系，判断直角三角形
如果三角形的三边长 a，b，c 有关系 a 2 b2 c 2 ，那么这个三角形是直角三角形。
当 k ＞0 时， y 随 x 的增大而增大，图象从左到右呈上升趋势；
当 k ＜0 时， y 随 x 的增大而减小，图象从左到右呈下降趋势。
函数
图象
性质
一次函数
y kx b
b. 0 1 k 0b 0 2
b 0 3
b. 0 1 k 0b 0 2
b 0 3
（1）当 k 0 时， y 随 x 的增大而增
大（直线陡）， k 越小，直线与 x 轴的相交的锐角度数越小（直线缓）。
⑤、 b 的正负决定直线与 y 轴交点的位置。
当 b 0 时，直线与 y 轴的交于正半轴上。当 b 0 时，直线与 y 轴交于负半轴上。 当 b 0 时，直线经过原点，是正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。
4、一次函数、正比例函数的图象和性质。
（3）开平方：求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方。
注意 ：
a
的双重非负性：
a
0
（开平方的被开方数的条件）
a 0 （算术平方根的非负性）
2．立方根：
（1）概念：若 x3 a ，那么 x 是 a 的立方根（或三次方根），记作： 3 a ；
（2）性质：① 3 a3 a ；
3
② 3 a a ； ③ 3 a ＝ 3 a
其中 a 叫做 a 的算术平方根，读作根号 a 。
（2）性质：①当 a ≥0 时， a ≥0； 当 a ＜０时， a 无意义；
② a 2 ＝ a ；
③ a2 a 。（区分②、③）
性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意： 3 a 3 a ， 这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
区分：平方根、立方根的性质 根源：开平方是平方的逆运算；开立方是立方的逆运算。正数和负数的平方后为正，所以，只有非
负数才可以开平方，因此一个非 0 正数开平方后有 2 个；而任何数的立方后的符号与原数的 符号一致，所以，任何数都可以开立方，一个数开立方后只有 1 个，符号与原数的符号也一 致。 四、实数大小的比较 1、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右 边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表 示的数大。 2、实数大小比较的几种常用方法 （1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
出 x b ），与 y 轴的交点（令 x 0 ，求出 y b ），即（ (0, b), ( b , 0) 两点即可，画正比例函数 y kx
k
k
的图象时，只要描出点（0，0），（1， k ）即可。
④、 k 的正负决定直线的倾斜方向， k 的大小决定直线的倾斜程度，即 k 越大，直线与 x 轴相交的锐角度数越
2
a，那么这个数就
叫做a的平方根，记为 a
立方根 0正 负的数 数立的 的方立 立根方 方是根 根0是 是 正 负数 数
定义：如果一个数x的立方等于a，即x 3 a，那么这个数x
就叫做a的立方根，记为3 a .
概念有理数和无理数统称实数
正数
3.
分类 实数及其相关概念
有理数或 0 无理数 负数
ab
ab
规律：同号取倒（数）反向
五、算术平方根有关计算（二次根式）
1、含有二次根号“ ”； 被开方数 a 必须是非负数，即： a中a 0 。
六、实数的运算 （1）六种运算：加、减、乘、除、乘方 、开方 （2）实数的运算顺序 先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。
第三章 位置的确定
绝对值、相反数、倒数的意义同有理数
实数与数轴上的点是一一对应
实数的运算法则、运算规律与有理数的运算法则
运算规律相同。
一、实数的概念及分类
1、实数的分类
正有理数
实数有理数负0 有理数有限小数与无限循环小数
无理数负正无无理理数数无限不循环小数
正实数 实数0
负实数
二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相
x 的函数，其中 x 是自变量，y 是因变量。 二、自变量取值范围
使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。 一般从整式（取全体实数），分式（分母不为 0）、二次根式（偶次根式）（被开方数为非负数）、实际意义几方面 考虑。 三、函数的三种表示法及其优缺点 （1）关系式（解析）法 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做关系式 （解析）法。 （2）列表法
y 0x
y 0x
图象过原点
⑴当 k 0时， y随 x的增大而增
大，图象必过一三象限
⑵当 k 0时， y随 x的增大而减
第二章 实数
1. 无理数的引入。无理数的定义无限不循环小数。
算术平方根定义如果一个非负数x的平方等于a，即x 2 a
那么这个非负数x就叫做a的算术平方根，记为 a，
算术平方根为非负数 a 0
平方根0正的数平的方平根方是根0有 2 个，它们互为相反数
2.
无理数的表示
定义：
负数 没有平方根 如果一个数的平方等于a，即x
大，图象必经过一三象限。
① b 0 时，过一二三象限
② b 0 时，只过一三象限
③ b 0 时，过一三四象限时 （2）当 k 0 时， y 随 x 的增大而减
小，图象必过二四象限。 ① b 0 时，过一二四象限 ② b0 时，只过二四象限 ③ b 0 时，过二三四象限
正比例函数
y kx
奇数且 a＜b 时，如果 b c a2 ，那么 a,b,c 就是一组勾股数.
如：（3,4,5）（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）……
（2）大于 2 的任意偶数，2n(n＞1)都可构成一组勾股数分别是： 2n, n2 1, n2 1
如：（6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）……
反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果 a 与 b 互为相反数，则有 a+b=0，a=—b，反之亦成立。 2、绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它
的相反数，若|a|=a，则 a≥0；若|a|=-a，则 a≤0。 3、倒数 如果 a 与 b 互为倒数，则有 ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是 1 和-1。零没有倒数。 4、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。
3、勾股数：满足 a 2 b2 c 2 的三个正整数 a，b，c，称为勾股数。
常见的勾股数有：（6,8,10）（3,4,5）（5,12，,13）（9,12,15）（7,24,25）（9,40,41）……
规律：（1）、短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的平方。即当 a 为
x a ， y a ，其中 a 0
关于原点成中心对称
沿 x 轴（ ）左（+）右或 y 轴（+）上（ ）下
平移 a 个单位
沿 x 轴（ ）左（+）右平移 a 个单位，再沿 y 轴 （+）上（ ）下平移 a 个单
第四章 一次函数