第九讲图形的轴对称问题
一、基础知识
如果把一个图形沿着同一平面内的一直线翻折180°．能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴．
两个图形关于某直线对称，那么对应点的连线被对称轴垂直平分；如果它们的对应线段或其延长线相交，那么交点必定在对称轴上．
把一个图形变为关于某一条直线对称的另一个图形，这种变换称为对称变换．
在对称变换下，图形的两点间的距离、弧长、角度、面积保持不变，这种不变性在证题中将起到重要作用．
二、名校真题回放与活题巧解
（一）轴对称的概念
例1.（西城区2006年抽样测试八年级上数学试卷）观察图1中的图形，其中是轴对称图形的有几个？
解答：3个
例2.（2006年海淀区八年级第一学期期末测评）如图5，线段AB与线段CD关
于直线EF对称．如果将线段AB向上平移2cm，与线段CD仍然保持关于直线
EF的对称关系，那么对线段CD的运动过程描述正确的是( )
A. 向上平移4㎝
B. 向上平移2㎝
C. 向下平移4㎝
D. 向下平移2㎝
解答：D
（二）折叠问题
例3.（2006年怀柔区八年级下学期期末质量检测）如图所示，梯形纸片ABCD，
AB AD BC
===，将纸片折叠，使点B与点D叠合，
∠=︒∥BC,2,6
B AD
60,
折痕为AE，求CE的值.
A D
60°
B
E C
解答：4
例4.（西城区2006年抽样测试八年级上数学试卷）如图5，在Rt△ABC中，90
ABC
∠=︒，30
A
∠=︒，若将BC边向BA方向折过去，使点C落在BA边上的C'点，折痕为BE，求AEC
∠'的度数
解答：30︒
例5.（2006年怀柔区八年级下学期期末质量检测）如图所示，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知3cm
CE=，8cm
AB＝，求图中阴影部分的面积.
解答：设AD x
=，解得10
x=，阴影部分的面积为302
cm
例6.(第十二届“希望杯”数学竞赛试题)如图13—5，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝隙又无重叠的四边形EFGH，若3,4
EH EF
==，求线段AD与AB的比.
解答：5AD EG HF ===, 1122EFH S EM HF EH EF ==， ∴125EH EF EM HF =
=, ∴2524
AD AB = 评注：图形经过翻折，实际是做轴对称变换，可以带来很多的边、角相等条件．合理的利用这些条件，可快速、简捷的解决题目．
（三）最短路线问题
例7.（北京市竞赛题）四边形ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AD AB ⊥，点P 在腰AD 上移动，要使PB PC +最小，则应有( )
A. PB PC =
B. PA PD =
C. 90BPC ∠=︒
D. APB DPC ∠=∠
解答：D
例8.（北京市中考模拟题）如图，正方形ABCD 中，E 为BC 上一点，,,BE a CE b P ==在BD 上，求PE PC +的最小值.
解答：利用对称性可知，最小值为22()AE a a b =
++
例9.（“希望杯”培训题）如图13－13，20MON ∠=︒，A 为OM 上一点，43OA =，D 是ON 上一点，83OD =，C 为AM 上任意一点，B 为OD 上任意一点，求折线ABCD 的长AB BC CD ++的最小值.
（四）轴对称在几何证明中的应用
例10.（“希望杯”模拟题）在直角△ABC 中，D 是斜边BC 的中点，,E F 分别为,AB AC 边上的点，求证：△DEF 的周长大于BC ．
解答：如图.
例11.（1997年全国联赛试题）如图，设P 为等腰直角三角形ABC 斜边AB 上任意一点，PE AC ⊥于E ，PF BC ⊥于F ，PG EF ⊥于G ，延长GP 并在其延长线上取一点D ，使得PD PC =，求证：,BC BD BC BD ⊥=.
证明：易证四边形CEPF 为矩形，故有
BPC A PCE APE PFE APE EPG BPD ∠=∠+=∠+∠=∠+∠=∠，
再由△BPC ≌△BPD ,即可证明结论.
例12.（北京市中考模拟题）三个正方形并列如图所示．求AKB AHB ACB ∠+∠+∠的度数.
解答：如图，12390∠+∠+∠︒＝
例13.（北京市中考模拟题）如图13—17，在△ABC 中，90ACB ∠=︒，M 为AB 的中点，
90PMQ ∠=︒，求证：222
PQ AP BQ =+．
证明：将△PMQ 以PM 为轴翻折到△PMD ，连结AD .
例14.（“希望杯”培训题）凸四边形ABCD 中，,ABD CBD ADB CDB ∠>∠∠>∠.
求证：AB AD BC CD +>+．
解答：如图
例15.(1998年“祖冲之杯”竞赛题)如图34—14，以△ABC 的,AB AC 边为斜边向外作△ABD 和△ACE ，使得90ADB AEC ∠=∠=︒，且使ABD ACE ∠=∠，M 是BC 的中点，求证：DM EM =.
证明：将△ABD 以AD 为轴翻折，将△ACE 以AE 为轴翻折，利用中位线证明.
三、练习
1.(2001年湖北省黄冈市竞赛题)如图34—8，45AOB ∠=︒，角内有一点P ，10PO =，在角的两边上有两点,Q R (均不同于点O )，求△PQR 的周长的最小值．
解答：分别作P 点关于角的两边的对称点，求得△PQR 的周长的最小值为102
2.(1998年“希望杯”竞赛题)如图34－9，△ABC 中，120BAC ∠=︒，AD BC ⊥于D ，且AB BD DC +=，求C ∠的大小.
解答：20︒
3.（全国联赛培训题）自三角形的一个顶点向其它两角的平分线作垂线，求证：两垂足的连线平行于该顶点的对边．
证明：如图.。