2
2
{x c
x c 2 x c 0
故f f x x 也只有唯一解 x c ，即 B c , A B
例2
设 A a 2b a 2 2b 2 1, a Z , b Z 已知 x A, y A
1 A x
于是f f x f x c f x
2
x c 2 x c x c 2 0 f f x x f x c f x x

又
ac 2bd 2 ad bc a 2 2b 2 c 2 2d 2 1,
2 2
xy A
2 2 1 1 a 2b a 2b, (a 2b 1) 2 （2） 2 x a 2b a 2b a 2(a 2 2b 2 1)
2 a , 4 , 2 a 0, 0, 4 , 0 a 2, 2 0, a , a 2.
2 （1）当 2 a 0 时，由 C B ，得 a 4 2a 3 无解


C z z x2 , x A
x 2 2 x 3 0或x 2 3 x1 3, x2 1, x3 3, x4 3
B 3, 1, 3, 3


（3）设A={c}，即二次方程 f ( x) x 0有唯一解c，亦即c为 2 2 f ( x) x 0 的重根。 f x x x c , 即f x x c x
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集合
第一章 集合
写在前面的话：集合是数学中最 基本的概念，它是一个原始概念， 集合论是数学的基础，在数学竞赛 中，极大部分问题都可以用集合的 语言来叙述。本章主要介绍在数学 竞赛中时常出现的集合问题。
第一节 集合的概念与运算
1.集合的概念 （1）集合：所谓集合，就是具有某一共同性质的对象的总体， 组成集合的对象称为该集合的元素 （2）集合元素的特征：确定性、互异性、无序性。 （3）集合中元素可以是有限的，也可以是无限的，我们分别称 之为有限集和无限集，不含任何元素的集合称为空集，记作 2.集合与集合之间的关系 （1）子集 若集合A中的元素都是集合B中的元素，则称A为B的子集，记 作 A B 若B中至少有一个元素 b A，则称A为B的真子集，记 作 AØ B 若A B 且 B A 则 A B 。


（2）集合的运算性质
①、A A=A,A A=A（等幂律） ②、A U=A,A U=U,A , A A （同一律）
③、A 痧 U A , A
U
A U ,痧 U(
U
A) A,
痧 （互补律） U U , U U ④、A ( B C ) ( A B ) ( A C ); A ( B C ) ( A B ) ( A C（分配律） ) A\(B\C)=(A\B)(A C) ⑤、痧 U ( A B) (
（2）子集的性质
A, Ø B( B ); A B, B C , 则A C
A B B A B; A B A A B;
3.集合的运算 （1）交集、并集、补集和差集 差集的定义：记A，B是两个集合，则所有属 于A且不属于B的元素构成的集合。 记作：A \ B, A \ B x x A且x B
求证：（1 ）xy A，（2 ）
（1）设 x a 2b, y c 2d (a, b, c, d Z ), 则
a 2 2b2 1, c 2 2d 2 1
xy a 2b c 2d ac 2bd 2 ad bc .

Hale Waihona Puke 显然有 a 2b A, a 2b A 故 A
1 x
例3 已知集合 A= x 2 x a , B y y 2 x 3, x A , C z z x 2 , x A 若 C B ，求实数a的取值范围。
A 2, a B y y 2 x 3, x A 1, 2a 3
（2） A 1,3 1 f 1 ,3 f 3
即 1 1 a b,3 9 3a b 解得a 1, b 3 f x x 2 x 3
2 2 x f f x 可化简为 x x 3 x 即 x x 3 x 2 2
U
A) (痧 U B );
U
( A B ) (痧 U A) ( U B )
⑥、A \ ( B C ) ( A \ B ) ( A \ C ); A \ ( B C ) ( A \ B) ( A \ C ) ⑦、A ( A B ) A, A ( A B ) A （吸收律）
4.有限集合元素的个数与子集的个数 card（A B）=card( A) card( B) card( A B) （1 ） （2）若 card(A)=n ，则有限集A的子集个数为2n,A的真子 集个数为2n-1
例一
已知函数
，且集合
（1）求证： （2）当 时，用列举法表示B； （3）若A只含有一个元素，则A=B （1）证明：任取 则