zdx-三角形的证明(培优)
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三角形的证明(培优)
出题人：张丹霞姓名：
题型一全等三角形
例1. 将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图①中的两张三角形胶片△ABC和△DEF.将这两张三角形胶片的顶点B与顶点E重合，把△DEF绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O.
（1）当旋转至如图②位置，点B（E），C，D在同一直线上时，∠AFD与∠DCA的数量关系是；
（2）（2）当△DEF继续旋转至如图③位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；
（3）（3）在图③中，连接BO、AD，探索BO与AD之间有怎样的位置关系，并证明.
变式1:如图,已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA．
（1）求证：DE平分∠BDC；
（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证： ME=BD．
变式2:两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，点B、C、E在同一条直线上，连接DC.
(1)请找出图②中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；
(2)求证：DC⊥BE．
变式3:在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：DE=AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE有怎样的等量关系？请写出
这个等量关系，并加以证明．
题型二 等腰三角形的性质
例2. 如图1，△ABC 的边BC 在直线l 上，AC ⊥BC ，且AC =BC ；△EFP 的边FP 也在直线l 上，边EF 与边AC
重合，且EF =FP.
（1）在图1中，请你通过观察测量，猜想并写出AB 与AP 所满足的数量关系和位置关系；
（2）将△EFP 沿直线l 向左平移到图2的位置时，EP 交AC 于点Q ，连结AP ，BQ.猜想并写出BQ 与AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；
（3）将△EFP 沿直线l 向左平移到图3的位置时，EP 的延长线交AC 的延长线于点Q ，连结AP 、BQ ，你认为（2）中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.
变式1: 如图，已知△ABC 中，∠ABC =45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，
与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连接DH 与BE 相交于点G ．
（1）求证：BF =AC ； （2）求证：CE =
2
1
BF ； （3）CE 与BG 的大小关系如何？试证明你的结论．
变式2: 已知：如图①，在平面直角坐标xOy中，边长为2的等边△OAB的顶点B在第一象限，顶点A在x 轴的正半轴上．另一等腰△OCA的顶点C在第四象限，OC＝AC，∠C＝120°．现有两动点P、Q分别从A、O两点同时出发，点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动，点P以每秒3个单位的速度沿A→O→B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止.
（1）求在运动过程中形成的△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系，并写出自变量t的取值范围；（2）在等边△OAB的边上（点A除外）存在点D，使得△OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标；
（3）如图②，现有∠MCN＝60°，其两边分别与OB、AB交于点M、N，连接MN．将∠MCN绕着C点旋转（0°＜旋转角＜60°），使得M、N始终在边OB和边AB上．试判断在这一过程中，△BMN的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．
题型三 等腰三角形的判定
例3. 如图①，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，AF 平分∠CAB ，交CD 于点E ，交CB 于点F .
（1）求证：CE =CF ；
（2）将图①中的△ADE 沿AB 向右平移到△A'D'E'的位置，使点E'落在BC 边上，其它条件不变，如图②所示，试猜想：BE'与CF 有怎样的数量关系?请证明你的结论.
变式1: 已知：在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE =AC ，延长BE 交AC 于F ，
求证：AF =EF ．
变式2: 如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线l ：y =2
1
-
x +m 与x 、y 轴的正半轴分别相交于点A 、B ，过点C )4,4(--画平行于y 轴的直线交直线AB 于点D ，CD =10． （1）求直线l 的解析式；
（2）求证：△ABC 是等腰直角三角形；
（3）如图2，将直线l 沿y 轴负方向平移，当平移适当的距离时，直线l 与x 、y 轴分别相交于点A′、B′，
在直线CD 上存在点P ，使得△A′B′P 是等腰直角三角形．请直接写出所有符合条件的点P 的坐标．
题型四 等边三角形
例4. (1) 如图1，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边
三角形OCD ，连接AC 和BD ，相交于点E ，连接BC ．求∠AEB 的大小；
(2) 如图2，△OAB 固定不动，保持△OCD 的形状和大小不变，将△OCD 绕点O 旋转（△OAB 和△OCD 不能
重叠），求∠AEB 的大小．
变式1: 如图1，已知∠ABC =90°，△ABE 是等边三角形，点P 为射线BC 上任意一点（点P 与
点B 不重合），连接AP ，将线段AP 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AQ ，连接QE 并延长交射线BC 于点F ．
（1）如图2，当BP =BA 时，∠EBF = ，猜想∠QFC = ；
（2）如图1，当点P 为射线BC 上任意一点时，猜想∠QFC 的度数，并加以证明；
（3）已知线段AB =32，设BP =x ，点Q 到射线BC 的距离为y ，求y 关于x 的函数关系式.
题型五 直角三角形
例5. 已知Rt ABC ∆中，o
90ACB ∠=，AC BC =，o
45MCN ∠=.
(1) 如图○
1，当M 、N 在AB 上时，求证：222
MN AM BN =+； (2) 如图○
2，将MCN ∠绕C 点旋转，当M 在BA 的延长线上时，上述结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.
变式1: 如图，在Rt ABC ∆中，o
90A ∠=，D 为斜边BC 的中点，DE DF ⊥，求证：222
EF BE CF =+.
变式2: 如图，在Rt ABC ∆中，o
90ACB ∠=，CD AB ⊥于D ，设AC b =，BC a =，AB c =，CD h =.
求证：(1)
222
111
a b h +=
； (2)a b c h +<+； (3)以a b +、h 、c h +为边的三角形是直角三角形.
A
B C
M
N
A
B
C
N
M A
B
C
D
E
F A
B
C
D。