规模报酬有三种可能： 不变规模报酬：产出增长比例等于投入增长比例； 递增规模报酬：产出增长比例大于投入增长比例； 递减规模报酬：产出增长比例小于投入增长比例。
生产函数 若有
y f (x1, x2 ,, xn )
f (x1, x2 ,, xn ) k y ( 1)
则 k=1、k>1 和 k<1 则分别对应上面的三种情况。
TRS (L, K ) MPL K MPK L
齐次生产函数
k 阶齐次生产函数满足
f (x1, x2 ,, xn ) k f (x1, x2 ,, xn )
两边对λ求导（以两种要素为例）
x1 f1(x1, x2 ) x2 f2 (x1, x2 ) kk1 f (x1, x2 )
令 λ= 1，可得（欧拉定理）
EL
dQ dL
/Q /L
MPL APL
B : APL MPL EL 1
MP
L
C : EL 0
AP
A : EL 1
L
常用的几个生产函数
线性生产函数
Q f (L, K) A L K
固定比例的生产函数 Q f (L, K) min (L, K)
L,K
柯布—道格拉斯生产函数
Q f (L, K ) AL K
中级微观经济学第八讲： 技术与生产函数、利润最大化
2007.10.25
第18章、技术与生产函数
微观经济学中，厂商的经营目标总被认为是：通过最有效 地利用所掌握的生产要素来实现最大利润；
厂商所面临的约束条件： 市场约束：决定了购买投入品、出售产品的条件； 技术约束：决定了利用既定的投入能够生产出产品 的最大数量； 预算约束：决定了生产经营的规模。
f L f K L Q K Q
生产的凸性
等产量曲线是所有能够生产出既 定产量水平的投入的组合；
等产量曲线是描述厂商面临的技
x2
术约束的一种方法。
A
a2
C [a1 (1 )b1,a2 (1 )b2 ]
B b2
等产量线
a1
b1
x1
生产的短期与长期
对生产过程进行研究须区分短期与长期； 短期是这样一段时间，在此期间内至少有一种生产
TRS (x1, x2 ) x2 x1 我们也将技术替代率称为边际技术替代率（MRTS），
它反映了两种要素之间的替代关系。 因为 y MP1 x1 MP2 x2 0 TRS (x1, x2 ) x2 / x1 MP1 / MP2
技术替代率递减规律 当沿着一条等产量曲线增加一种要素（x1）的数量
或者
MP1 ( x1 ,
x2 )
y x1
MP2 (x1,
x2 )
y x2
MP1
y x1
MP2
y x2
边际产品递减规律
在其他要素数量不变的前提下，随着一种可变要 素数量的增加，其边际产品是递减的。
MPi
y xi
0
MPi xi
2 y xi2
0
一种投入的生产函数
Q
C
产出弹性
B A
Q f (L, K ) f (L)
生产过程可视为一个投入产出过程，厂商将各种生产要素 （投入品）转换为产品；
厂商使用的生产技术决定了将投入转变为产出的效率。
生产函数
生产函数描述了所有可行且有效率的生产过程中投 入品与产出品之间的数量对应关系；
利用生产函数进行分析时，一般都隐含地假定生产 者最有效率地利用已知技术，即产出总是保持在边 沿生产函数上；
（一般形式的）不变替代弹性生产函数（CES）
1
Q f (L, K) A[L (1)K ]
CES函数的替代弹性为 1/（1-β）。当β→0 时为C-D函数；当 β=1 时为线性函数；当β→-∞ 时为固定比例生产函数。
技术替代率
在保持产量不变的条件下，增加 1 单位某种要素所 需要减少的另一种要素的数量：
生产要素
关于生产函数的假定
现实中的生产技术多种多样。为了方便研究，通常 需要对生产函数的性质加上一些假定。
性质1（单调性）：如果至少一种生产要素增加了投 入，则产出量至少等于原先的产出量。该性质被称 为是“自由处置”，即企业可以无代价地处置任何 投入品，拥有超额的投入品至少不损害企业。
性质2（凸性）：如果有两种方法能够生产出出同样多的产出量。
生产力弹性
生产力弹性是全部要素数量按照同一比例变动时，产出的 相对变动与投入品数量的相对变动之比。
我们设： Q f (L, K) X (L, K)
生产力弹性
E dQ/Q dX /X
d Q f d L f d K
L
K
dL dK dX LK X
d Q X f d L X f d K X d X Q L d X Q K d X Q
x1 MP1 x2 MP2 kf (x1, x2 ) 理解 1： x1 f x2 f k
f (x1, x2 ) x1 f (x1, x2 ) x2
齐次幂与产出 弹性的关系
理解 2：k =1 时
x1 f1 x2 f2 f (x1, x2 )
产量分配净尽 定理
规模报酬
规模报酬是全部要素投入按照同一比例增长（改变生产规 模）时产量的增长方式。
在分析中，我们一般假定使用 L、K 两种生产要素 生产某种产品 Q ：
Q f (L, K)
y f (x1, x2 )
产品
生产集与生产函数
生产集是厂商面临的（技术可行的）关于投 入品与产品的各种组合的集合；
生产集的边界是生产函数，是在生产投入品 给定的前提下的最大可能产出点的集合。
A 生产集
时，技术替代率的绝对值减小。
技术替代率
技术替代率是等产量曲线的斜率；
技术替代率递减规律对于两种要素 都成立；
x2
A
技术替代率递减表明等产量曲线具
有性状良好的凸性。
B
等产量曲线
x1
举例：柯布—道格拉斯生产函数
Q f (L, K ) AL K
MPL AL 1K
MPK AL K 1
要素的数量厂商无法调整。这样的要素称为不变要 素（固定投入）；增加可变要素的数量面临着边际 产品（量）递减； 长期是这样一段时间，期间厂商可以调整所有的投 入要素数量，即不存在不变要素，所有要素都是可 变要素； 不同产品生产的时期划分有很大的差异。
边际产品（量）
增加 1 单位某种要素所能够获得的产量增量：