初中数学竞赛试题及答案全国初中数学竞赛（海南赛区）初 赛 试 卷（本试卷共4页，满分120分，考试时间：3月22日8:30——10:30）题号一 二 三 总分（1—10） （11—18） 19 20得分一、选择题（本大题满分50分，每小题5分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请把你认为正确的答案的字母代号填写在下表相应题号下的方格内题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案1. 方程 «Skip Record If...»的根是«Skip Record If...»A. «Skip Record If...»B. «Skip Record If...»C. -2009D. 20092. 如果«Skip Record If...»，且«Skip Record If...»，那么«Skip Record If...»与«Skip Record If...»的关系是A ．«Skip Record If...»≥«Skip Record If...»B ．«SkipRecord If...»＞«Skip Record If...» C ．«Skip Record If...»≤«Skip Record If...» D ．«Skip Record If...»＜«Skip RecordIf...»3. 如图所示，图1是图2中正方体的平面展开图（两图中的箭头位置和方向是一致的），那么，图1中的线段AB 在图2中的对应线段是A ．«Skip Record If...»B ．«Skip Record If...»C ．«Skip Record If...»D ．«Skip Record If...»4. 如图，A 、B 、C 是☉O 上的三点，OC 是☉O 的半径，∠ABC=15°，那么∠OCA的度数是A ．75°B ．72°C ．70°D ．65°图1 图2（第3题图）（第4题图）5. 已知«Skip Record If...»=3，«Skip Record If...»=6，«Skip RecordIf...»=12，则下列关系正确的是A．«Skip Record If...» B．«Skip Record If...» C．«SkipRecord If...» D. «Skip Record If...»6. 若实数n满足 (n-2009 )2 + ( 2008-n )2=1，则代数式(n-2009 ) ( 2008-n )的值是A．1 B．«Skip Record If...» C．0D. -17. 已知△ABC是锐角三角形，且∠A＞∠B＞∠C，则下列结论中错误的是A．∠A＞60° B．∠C＜60° C．∠B＞45° D．∠B＋∠C＜90°8. 有2009个数排成一行，其中任意相邻的三个数中，中间的数总等于前后两数的和，若第一个数是1，第二个数是-1，则这2009个数的和是A．-2 B．-1 C．0 D．29. ⊙0的半径为15，在⊙0内有一点 P到圆心0的距离为9，则通过P点且长度是整数值的弦的条数是A．5 B．7 C．10 D．1210. 已知二次函数«Skip Record If...»的图象如图所示，记«Skip Record If...»，«结论正确的是A．«Skip Record If...»＞«SkipRecord If...»＞«Skip Record If...»＞0C ．«Skip Record If...»＞0＞«Skip Record If...»D ．«Skip Record If...»＞0＞«Skip Record If...»二、填空题（本大题满分40分，每小题5分）11. 已知 |«Skip Record If...»|=3，«Skip Record If...»=2，且«Skip Record If...»＜0，则«Skip Record If...»= .12. 如果实数«Skip Record If...»互为倒数，那么«Skip RecordIf...» .13. 口袋里只有红球、绿球和黄球若干个，这些球除颜色外，其余都相同，其中红球4个，绿球6个，又知从中随机摸出一个绿球的概率为«SkipRecord If...»，那么，随机从中摸出一个黄球的概率为 .14. 如图，在直线«Skip Record If...»上取一点«Skip Record If...»，作«SkipRecord If...»⊥«Skip Record If...»轴，«Skip Record If...»⊥«Skip Record If...»轴，垂足分别为A 、B ，若矩形OAPB 的面积为4，则这样的点P 的坐标是 .15. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，∠B=60°, E, F 分别在AC 、AB 上，且AE=AF ，∠CDE=∠BAC ，那么，图中长度一定与DE 相等的线段共有 条.（第14题图） （第15题图） （第16题图）16. 如图，等腰梯形ABCD 中，AD//BC ，∠DBC=45°，折叠梯形ABCD，使点B重合于点D ，折痕为EF ，若AD=2，BC=8，则tan ∠CDE= .（第10题图）D F B A EC C17. 实数«Skip Record If...»满足«Skip Record If...»，设«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»的最大值是 . 18. 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（10点B 的坐标为（8，0），点C ，D 在以OA 半圆M 上，且四边形OCDB 是平行四边形，则点C的坐标为 . （第18题图）三、解答题（本大题满分30分，每小题15分）19. 某书店老板去批发市场购买某种图书，第一次购书用了100元，按该书定价2.8元出售，很快售完；由于该书畅销，第二次购书时，每本的批发价已比第一次高出0.5元，共用了150元，所购得书的数量比第一次多10本；这批书按原定价售出80%后，出现滞销，便以5折售完剩余的该图书. 试问：这个书店老板第二次售书是赔钱，还是赚钱？请通过计算说明（只与进价比较，不考虑其它成本）.20. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点E 在AC 上（点E 与A 、C 都不重合），点F 在斜边AB 上（点F 与A ，B 都不重合）（1）若EF 平分Rt △ABC 的周长，设AE=«Skip Record If...»，△AEF 的面积为«Skip Record If...»，写出«Skip Record If...»与«Skip Record If...»之间的函数关系式，并指出«Skip Record If...»的取值范围；（2）试问：是否存在直线EF 将Rt △ABC 的周长和面积同时平分，若存在，求出AE 的长，若不存在，说明理由.AF C B2009年全国初中数学竞赛（海南赛区）初赛试题参考答案一、选择题：DBCAB ，CDADB提示：1．D ；由«Skip Record If...»，得«Skip Record If...»2．B ；由«Skip Record If...»＜0，«Skip Record If...»＞0知«Skip Record If...»＜0且|«SkipRecord If...»|＞|«Skip Record If...»|，所以|«Skip Record If...»|2＞|«Skip Record If...»|2，即«Skip Record If...»2＞«Skip Record If (2)3．C ；将图1中的平面图折成正方体4．A ；延长CO 交于⊙O 于D ，连结AD ，则∠D=∠B=15°，因为CD 为⊙O 的直径，所以∠CAD=90°，所以在Rt △ACD 中 , ∠OCA=90°－15°=75°.5．B ；由2«Skip Record If...»=3，2«Skip Record If...»=12，得2«Skip Record If...»·2«Skip Record If...»=3×12. 即2«Skip Record If...»=36=62，而2«Skip Record If...»=6«Skip Record If...»6．C ；设«Skip Record If...»，又«Skip Record If...»7．D ；若∠B ＋∠C ＜90°，则 ∠A ＞90°，这与△ABC 是锐角三角形矛盾，故D 错.8．A ；先据题意写出前面一些数：1，－1，－2，－1，1，2，1，－1，……，经观察发现从左向右数每排列六个数后，从第七个数开始重复出现，即这2009个数是由1，－1，－2，－1，1，2这6个数组成的数组重复排列而成，而1＋(－1)＋(－2)＋(－1)＋1＋2=0，又2009=334×6＋5，这说明，这2009个数的和等于最后五个数：1，－1，－2，－1，1的和.9．D ；过P 点的最长的弦是直径，其长为30，最短的弦长=«Skip Record If...»，所以⊙O 中，通过P 点的弦长L 的取值范围是24≤L ≤30，又L 为整数，所以L 的值可取24，25，26，27，28，29，30，又根据圆的对称性知：长度为25，26，27，28，29的弦各有2条，故共有12条.10. B ；由图象知«Skip Record If...»＜0，«Skip Record If...»=0，«Skip Record If...»＞1，从而2«Skip Record If...»＋«Skip Record If...»＞0，又«Skip Record If...»＜0，即«Skip Record If...»＜«Skip Record If...».二、填空题：11. 9或«Skip Record If...» 12. 1 13. «Skip Record If...» 14.（4，-1），（-1，4）15. 3条 16. «Skip Record If...» 17. O 18.（1，3）提示：11．9或«Skip Record If...»；由条件知«Skip Record If...»，«Skip Record If...»12．1；由已知条件知«Skip Record If...»=1，所以原式«Skip Record If...» «Skip Record If...»13. «Skip Record If...»；设口袋中有黄球«Skip Record If...»个，依题意，得 ，所以P （摸出1个黄球）= 14. （4，-1），（-1，4）；设点P 的坐标为（«Skip Record If...»），由题意得分程组 解此方程组即可.15. 3条；易知△AFD ≌△AED ，所以∠AFD=∠AED ，DE=DF ，又∠CDE=∠BAC ，∠C 为公共角，所以∠DEC=∠B=60°，所以∠AFD=∠AED=120°，所以∠BFD=60°，又∠B=60°，所以△BDF 为等边三角形，所以DB=BF=DF=DE.16．«Skip Record If...»；因为折叠后点B 与D 重合，所以∠EDB=∠DBC=45°，∴∠BED=90°，即DE ⊥BC ，在等腰梯形 ABCD 中，CE= ，DE=BE=8-3=5 ∴ tan ∠CDE= 17. O ；由«Skip Record If...»，得«Skip Record If...»知«Skip Record If...»≥0，又«SkipRecord If...»，«Skip Record If...»，由此可见，当«Skip Record If...»≥-1时，«SkipRecord If...»随着«Skip Record If...»的增大而减小，又因为«Skip Record If...»≥0>-1, ，故当«Skip Record If...»=0时，«Skip Record If...»的最大值是0.18. （1, 3）；∵ 四边形OCDB 是平行四边形，B （8，0），⎩⎨⎧+-==⋅34||||a b b a 31155=5,52646==++x x 3)28(21)(21=-=-AD BC 53=DE EC∴ CD//OA ，CD=OB=8过点M 作MF ⊥CD 于点F ，则CF= CD=4过点C 作CE ⊥OA 于点E ，∵ A （10，0），∴OE=OM －ME=OM －CF=5－4=1.连结MC ，则MC= OA=5 ∴ 在Rt △CMF 中，«Skip Record If...»∴ 点C 的坐标为（1，3）三、解答题 19. 解：设第二次购书«Skip Record If...»本，依题意得 整理得 ，解得 当«Skip Record If...»=50时，150÷50=3＞2.8，这与实际不符，舍去.当«Skip Record If...»=60时，150÷60=2.5＞2.8，符合题意，由2.8×60×80%＋2.8×0.5×60×20% =151.2；151.2-150=1.2（元）20. 解：（1）在Rt △ABC 中，AC=3，BC=4，所以AB=5，∴△ABC 的周长为 12，又因EF 平分△ABC 的周长，∴AE ＋AF=6，而AE=«Skip Record If...»，∴AF=6－«Skip Record If...»，过点F 作FD ⊥AC 于D ，则«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»所以«Skip Record If...» （0＜«Skip Record If...»＜3）（2）这样的EF 存在，此时AE=«Skip Record If...» .S △ABC =«Skip Record If...»，由EF 平分△ABC 的面积，所以，解得 ∵0＜«Skip Record If...»＜3，∴ 不合舍去，当 时 ，符合题意，所以这样的EF 存在，此时AE= .2121xx 1502110100=+-030001102=+-x x 60,5021==x x 266,26621+=-=x x 2662+=x 2661-=x 52666＜x +=-266-3512522=+-x x A F E C BD。