AC 上取一点 E，使 AD＝AE，直线 DE 和 BC 的延长线交于 点 P.求证：BCPP＝BECD.
【点拨】过某一点作某线段的平行线，构造出“A”型或“X”型的 基本图形，通过相似三角形转化线段的比，从而解决问题．
期末提分练案
证明：如图，过点 C 作 CF∥AB 交 DP 于点 F， ∴∠PFC＝∠PDB，∠PCF＝∠PBD. ∴△PCF∽△PBD.∴BCPP＝BCDF. ∵AD∥CF，∴∠ADE＝∠EFC. ∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED. ∵∠AED＝∠CEP，∴∠EFC＝∠CEP.∴EC＝CF.∴BCPP＝BEDC.
在△ADF 和△GDC 中，∠ADF＝∠CDG， DF＝CD，
∴△ADF≌△GDC(AAS)．∴AF＝CG.
∵BF∶AF＝3∶2，∴AB∶AF＝5∶2.
∵∠CGE＝∠BAE，∠CEG＝∠BEA， ∴△ABE∽△GCE. ∴BEEC＝CAGB＝AABF＝52.
期末提分练案 3．如图，在△ABC 中，AB＞AC，在边 AB 上取一点 D，在边
Hale Waihona Puke 期末提分练案证明：如图，过点 C 作 CF∥AB，交 DE 于点 F， ∴∠FCD＝∠B. ∵∠D 为公共角，∴△CDF∽△BDE.∴CBFE＝BCDD. ∵点 M 为 AC 边的中点，∴AM＝CM. ∵CF∥AB，∴∠A＝∠MCF.
期末提分练案
又∵∠AME＝∠CMF，∴△AME≌△CMF(ASA)．∴AE＝CF. ∵AE＝14AB，BE＝AB－AE， ∴BE＝3AE，即ABEE＝13. ∵CBFE＝CBDD，∴ABEE＝BCDD＝13，即 BD＝3CD. 又∵BD＝BC＋CD，∴BC＝2CD.
期末提分练案
2．如图，在△ABC 中，F 为边 AB 上一点，且 BF∶AF＝3∶2， 取 CF 的中点 D，连接 AD 并延长交 BC 于点 E，求BEEC的值．
解：过点 C 作 CG∥AB，交 AE 的延长线于点 G. ∵CG∥AB，∴∠DAF＝∠G. ∵D 为 CF 的中点，∴CD＝DF.
期末提分练案 ∠DAF＝∠G，
期末提分练案
4．如图，在△ABC 中，点 M 为 AC 边的中点，点 E 为 AB 上一 点，且 AE＝14AB，连接 EM 并延长交 BC 的延长线于点 D. 求证：BC＝2CD.
期末提分练案
【点拨】本题证法不唯一，还可以过点 C 作 DE 的平行线、过点 E 作 BD 的平行线、过点 A 作 BD 的平行线与 DE 的延长线相交 等，都是过一点作平行线构造相似三角形，利用比例式的等量代 换进行证明．
期末提分练案 ∵D 是 AC 的中点，∴AD＝CD.∴DF 是△ACE 的中位线． ∴DF∥AE，且 DF＝12AE.∴DF∥PE.∴BBEF＝BBDP. ∵BF＝2BE，∴BD＝2BP.∴BP＝PD.∴DF＝2PE. ∵DF∥AE，∴∠APQ＝∠FDQ，∠PAQ＝∠DFQ. ∴△APQ∽△FDQ.∴QPQD＝DAPF. 设 PE＝a，则 DF＝2a，AP＝3a. ∴PQ∶QD＝AP∶DF＝3∶2.∴BP∶PQ∶QD＝5∶3∶2.
北师版 九年级上
期末提分练案
第6讲 相似图形的判定及性质 第2课时 方法训练 巧作平行线构造相
似三角形的三种常用方法
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期末提分练案 1．如图，在△ABC 中，E，F 是边 BC 上的两个三等分点，D 是
AC 的中点，BD 分别交 AE，AF 于点 P，Q， 求 BP∶PQ∶QD. 解：连接 DF. ∵E，F 是边 BC 上的两个三等分点， ∴BE＝EF＝FC.