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机械优化设计课程学习总结
必要条件 一元函 数 § 3-2 无约束目 标函数的 极点存在 条件 充分条件
X * 为极值点的必要条件为： f '( x* ) 0
若在驻点附近有： f ''( x ) 0 ，则该点为极大点； 若 f ''( x ) 0 ，则该点为极小点。
必要条件 多元函 数 充分条件
f ( X * ) f ( X * ) f ( X * ) , , x2 x1
n
,
f ( X * ) 0 xn
极小点： 正定
2 f ( X * ) 负定 ( xi xi* )( x j x j * ) 0 极大点： x x 无极值： 非正 i , j 1 i j
非负
起作用 约束 §3－3 约束优化 问题的最 优性条件 不起作 用约束
考虑不等式约束 gu ( X ) 0
(u 1, 2,
, m) 设 X(k)是可行解，如果
gi ( X
(k )
) 0 ，则称 gi(X)为 X(k)的起作用约束；
如果 gi ( X ( k ) ) 0 ，则称 gi(X)为 X(k)的不起作用约束。X(k)的起作用 约束下标集 I={i gi ( X ( k ) ) 0, 1 i m } 若 X*是上述优化问题的局部最优解， 记该点的起作用约束为 I ， 则目标 函数在 X*的梯度可以表示成起作用不等式约束函数的梯度与等式约束
比较 P 与 (2)两点，f (x)的大小；缩短搜索区间。 （ 1） P < (2)，f P f 2 则 (1) (1) , (2) (3) , P (2) （2） P > (2)，f P f 2 则 (2) (1) , P (2) , (3) (3) （3） P < (2)，f P f 2 则 P (1) , (2) (2) ,, (3) (3) （4） P > (2)，f P f 2 则 (1) (1) , (2) (2) , P (3)
min f ( X ) f ( X * ), X Rn ，其最优点 X * 、最优值 f ( X * ) 构成无约
束最优解。
* n 在 D 中找 X = [ x1 , x2 , …,xn ] 使 min f ( X ) f ( X ), X R ，其最
* * * * T
优点 X 、最优值 f ( X ) 构成无约束最优解。
设一元函数f (a ) 的起始搜索区间为 [a ,b], * 是函数的极小点。在搜索区间 [ a ,b ]内任取两点 ( 1 )、 ( 2 )。且a ( 1 ) ( 2 ) b , 计算f ( ( 1 ) )、f ( ( 2 ) )。 将f ( ( 1 ) )与f ( ( 2 ) )进行比较，可能出现三种情况：
(1) 在初始区间[a,b]内取两个计算点 ( 1 )和 ( 2 )，其值分别为
( 1 )＝b 0.618( b a )
( 2 )＝a 0.618( b a )
计算f ( ( 1 ) )和f ( ( 2 ) )，令f ( ( 1 ) ) f1 , f ( ( 2 ) ) f 2 ( 2 ) 比较函数值，缩小函数区间
机械优化设计课程学习总结
机械优化设计课程学习总结
一、课程学习概况
“机械优化设计” 是将机械工程设计问题转化为最优化问题， 然后选择适当的最优化方 法，利用电子计算机从满足要求的可行设计方案中自动寻找实现预期目标的最优化设计方 案。作为工程力学专业的一名本科生，专业学习“机械优化设计理论” ，掌握最优化问题的 基本解决方法， 从多个可能的方案中选出最合理的、 能实现预定最优目标的最优方案有着很 现实的意义，为今后的工程实际提供了良好的理论储备。 而在机械优化设计课程基本理论学习的基础上，再使用美国 Math Works 开发的 Matlab 软件， 及其附带的优化工具箱作为最优化问题的运算工具， 依靠其强大的科学计算与可视化 功能、良好的开放性和运行的可靠性，高效率地处理了涵盖各种难度的最优化问题，着实丰 富了我的本科课程的学习。
a. f1 f 2 ,则丢掉区间( ( 2 ) ,b ] 部分，取[ a , ( 2 ) ] 为新区间[ a1 , b1 ], 在计算中作置换： ( 2 ) b , ( 1 ) a( 2 ) , f1 f 2 ,b 0.618( b a ) ( 1 ) , f ( ( 1 ) ) f1 b. f1 f 2 ,则丢掉区间[ a , ( 1 ) )部分，取[ ( 1 ) , b ] 为新区间[ a , b ], 在计算中作置换： ( 1 ) a , ( 2 ) ( 1 ) , f 2 f1 ,a 0.618( b a ) ( 2 ) , f ( ( 2 ) ) f2
gu ( X ) gu ( x1 , x2 , hv ( X ) hv ( x1 , x2 ,
, xn ) 0 (u=1,2,„,m) , xn ) 0
(v=1,2,„,p<n)
min f ( X * ) f ( x1 , x2 ,
, xn )，X D R n
约束条件
min f (X) n
( k 1)
（k) （k) 的搜索问题 （）＝f ( X ( k ) S ) ，则变成单变量函数 （） (k ) （k) （k) min （）＝f ( X S )

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确定搜 索区间 的进退 法
给出初始点 0，初始步长h0 0,若（ 0＋h0）< （ 0）,则下一步从 新点 0＋h0出发，加大步长向前搜索，直到目标函数上升就停止。 若（ 0＋h0）> （ 0）,则下一步仍然从点 0出发，沿反方向搜索， 直到目标函数上升就停止。这样就可以得到一个搜索区间。
K－T 条 件
函数梯度的线性组合， 即 f (X ) 其中， u 是一组非负乘子。 X(k) X (1) X (0) 0 S (0)

ugu ( X ) jgu ( X )
uI j 1
p
迭代法 过程 §3－4 最优化设 计的数值 算法 终止准 则
X R
s.t.
gu ( X ) 0 hv ( X ) 0
(u 1, 2, (v 1, 2,
, m) , p)
D { X gu ( X ) 0, (u 1, 2, hv ( X ) 0, (v 1, 2, , p)}
, m);
第三章
目标函 数等值 面 约束最 优解 无约束 最优解 局部最 优解和 全局最 优解
二、课程内容总结 第二章
§ 2-1 设计变量
§ 2-2 约束条件 § 2-3 目标函数 § 2-4 最优化问 题的数学 模型
机械优化设计的基本要素及数学模型
将可作为变量处理的独立参数称为“设计变量” ，其数目称为该问题的维数。矩 T 阵形式： X = [ x1 , x2 , …,xn ] 不等式 约束 等式约 束
*
*
, X *(2) ,… ，此时 X *(1)和f ( X *(1) ), X *(2)和f ( X *(2) ) 均称为局部最优解，若 X *(1) 的目标 *(1) *(1) *(1) 函数值 f ( X ) 最小，则称 X 和 f ( X ) 为全域最小值。
当目标函数不是单峰函数时，有多个极值点 X
x
(k+1)
f ( x (k) )-3-
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计算步骤： （1） 给定初始点x (0)，允许误差 0, 0 k （2） 若 f (x (k) ) ，迭代停止，得x x (k)。否则，进行下一步 （3）计算 x (k+1) = x (k) f ( x (k) ) ，＋ k 1 k，转步2） f ( x (k) )
在[a,b]中设定三点 (1)， (2)和 (3)，a (1) (2) (3) b 对应有f 1 , f 2 , f 3 ,且f 1 f 2 f 3 ，构造二次多项式P(x) a0 a1 x a2 x 2
P( (1) ) a0 a1 (1) a2 ( (1) )2 f1 由插值条件确定待定的ai (i=0,1,2) P( (2) ) a0 a1 (2) a2 ( (2) )2 f 2 P( (3) ) a0 a1 (3) a2 ( (3) )2 f3
优化设计问题的理若干论基础
既当目标函数 f ( X ) a 时， 由无数多组 x = [ x1 , x2 , …,xn ] 在设计空
T
间对应的点集，构成目标函数等值面。 在整个 n 维设计空间寻找 X = [ x1 , x2 , …,xn ] 使满足
* * * * T
§ 3-1 优化设计 问题的几 何意义
X (2) X (1)
为第 k 次迭代点 X(k＋1) 为第 k 次迭代后产生点 1 S (1) S(k) 为第 k 次迭代的搜索方向，是向量 αk 为第 k 次迭代的步长因子，是标量
X ( k 1) X ( k ) k S ( k ) , k =1,2,
点距准则
X ( k 1) X ( k ) 为某很小的正数 f ( X ( k 1) ) f ( X ( k ) ) 为某很小的正数
( 3 ) f ( ( 1 ) ) f ( ( 2 ) ).在这种情况下，可以丢掉[ a , ( 1 ) )部分，也可以丢 掉( ( 2 ) ,b ] 部分，而最小点必定在[ ( 1 ) , ( 2 ) ]内。因此这种情况可以并入 上面的任意一种情况。