湖水污染问题
1121943 刘烁
1121940 庄静
1121946 刘蔚[摘要] 随着市场经济和现在工业的飞速发展。

人类面临了直接危害人类生存的新的问题——环境污染，为了治理污染，提出治理污染的新的方案，我们必须建立客观合理的数学模型来解决现实问题。

湖水不仅为人类的生存提供了大量的水资源和生物资源，还提供了丰富的旅游，度假和休闲的精神资源，但湖泊也承受着人们倾倒垃圾、废水等污染物的破坏，由于人们缺乏保护生态环境的意识，它们越来越受到工业和生物废水的污染，从而导致生物资源的灭绝，水质变坏，给人类带来了灾难。

所以保护生态环境成为了人们越来越关心的问题。

湖水治理的工作是困难的，因为一般湖水覆盖的面积比较大，周围污染源比较复杂，很难指明所有污染的原因。

通常治理水体污染的办法是靠水体本身的自净能力来缓解污染，这对河流的污染一般是有效的，但对于被污染的湖水来说是行不通的。

通过对问题的分析，我们利用微积分方程的求解方法，得出湖水污染的结果。

下降到原来的0.05%所需时间，在模型建设中我们采用了比较理想的求解方法，在实际中还是比较有指导意义的。

[关键字] 湖水污染微分方程模型
一.问题提出
下图是一个容量为2000m3的一个小湖的示意图，通过小河A水以 0.12m3 /s的速度流入，以相同的流量湖水通过B流出。

在上午8:00，因交通事故，一辆运输车上一个盛有毒性化学物质的容器倾翻，在图中X点处注入湖中。

在采取紧急措施后，于上午9：00事故得到控制，但数量不详的化学物质Z已泻入湖中，初步估计Z的数量在5m3至20m3之间。

（1）请建立一个数学模型，通过它来估计湖水污染程度随时间的变化；
（2）估计湖水何时到达污染高峰；
（3）何时污染程度可降至安全水平(<=0.05%)。

二.模型假设
1、湖水流量为常量，湖水体积为常量；
2、流入流出湖水水污染浓度为常量
三.符合说明
F：污染物浓度
Z：倒入湖中的污染物总量
D：处于某浓度的时间
四.问题分析
分析：湖水在时间t时污染程度，可用污染度F（t）表示，即每立方米受污染的水中含有Fm3的化学污染物质和（1-F）m3的清洁水。

用分钟作为时间t的单位。

在0<t<60的时间内，污染物流入湖中的速率是Ｚ/60（m3*min-1），而排出湖外的污染物的速率是60*0.12F（m3*min-1）。

因为每立方流走的水中含有Fm3的污染物，而湖水始终保持2000m3的容积不变。

五.模型的建立和求解
湖水中含污染物的变化率＝污染物流入量－污染物排出量
2000*(dF/dt)=Z/60-7.2F
F(0)=0；
2000F’=Z/60-7.2F
2000F’+7.2F=Z/60
F’+7.2F/2000=Z/120000
所以:P(t)=7.2/2000,Q(t)=Z/120000;
y=e−∫(
7.2
2000
)dt [∫(Z/120000)e(7.2
2000
)dt+C]
=e−(
7.2
2000
)t[（Z/120000）（2000/7.2）*e(7.2
2000
)t+C]
=Z/432+C*e−(
7.2 2000
)t
又因为：F(0)=0 所以：C=-Z/432
所以：y=Z/432[1- e−(
7.2
2000
)t]
求得以特解为：
F（t）= Z/432[1- e−(
7.2
2000
)t]
在0<t<60之间求t为多少时，F（t）最大。

显然是t=60时，污染达到高峰。

此时污染浓度为：F（60）=Z/432（1-e−7.2∗60/2000）
= 4.497*10-4Z
然后污染物被截断，故方程为：
2000*dF/dt=-7.2F,
F(t)=F（60）e−7.2（t−60）/2000；
当它达到安全水平时，即F（t）=0.05%，可求出t=D。

F（60）e−7.2（t−60）/2000=0.05%
.即e−7.2（t−60）/2000=1.1119/Z
-7.2(t-60)/2000=ln(1.1119/Z)
t=-(2000/7.2)ln(1.1119/Z)+60
所以：D=-(2000/7.2)ln(1.1119/Z)+60
六.模型误差分析
本文中由微分方程法建立数学模型，可以说思路较为清晰，逻辑性强。

但由于在模型的假设过程中，我们认为水流速度不变，且污染物进入湖水后立即与湖水混合均匀，而这在实际中是很难实现的，因为污染物开始流入湖水时，数量比较小，向四周扩散速度较慢，以至于流入湖水中的浓度较小；随着污染物数量的增加，流入湖水的污染物逐渐增多，浓度变大，但不会以恒定的速度变化，流入湖水不可能立即混合均匀，而且水流速度因为污染物的介入会稍微减小，因此我们所得出的结果与实际是存在误差。

不过，这种误差不需过多考虑。

七.模型评价
7.1优点
1）模型通过严密的理论推导，能够比较准确地反应实际情况；
2）本题中由微分方程建立模型，数学逻辑强，思维细腻，对问题的求解过程层层递进。

7.2不足
1）在问题的过程中，有些假设有点理想化；
2）建立微分方程时，需要一定的数学功底，而且要求对题目意思把握准确，因此会导致方程难以准确确定；
3）本题的模型是基于较理想的假设下建立的，现在情况较复杂，还需对实际进行调查，改进模型。

八.模型的改进与推广
8.1模型的改进
由于模型的假设是比较理想的，实际中水流速度是在改变的，污染物进入湖水后也需要一定的时间才能混合均匀，这些所涉及的都是变化的量，这对实际问题的研究是有影响的。

因此，在本模型的基础上还需要对水流速度的变化情况和污染物进入湖水后的混和情况进行改进。

8.2模型的推广
我们可以充分使用本题中微分方程建模的方法解决生物学中以及人口问题中的“速率”、“增长”，在放射性问题中的“衰变”，在经济学中的“边际”等一系列问题的求解中。

九.参考文献
[1] 姜启源，谢金星，叶俊.数学建模（第四版）[M].北京:高等教育出版社，2011.
[2] 姜启源，谢金星，叶俊.数学模型习题参考解答（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2011.
[3] 李学文，李炳照，王宏洲.数学建模优秀论文[M].北京：清华大学出版社，2011.。