习题
1-2 求正弦信号t x t x ωsin )(0=的绝对均值x u 和均方根值rms x 。

解：dt t x T u T x ⎰=2
0sin ||2/1
ω 200|)cos (||2T
t T x ωω-=
)cos 0(cos 2||20ππ
-=x π
|
|20x =
⎰=T rms
dt t x T x 0
20)sin (1ω ＝
⎰
-T
dt t
T
x 0
2
02
2cos 1ω ＝
2
2
0T T x ⨯＝2
2
0x
1-3 求指数函数)0,0()(≥>=-t a Ae
t x at
的频谱
解：指数函数为非周期函数，用傅立叶变换求其频谱。

⎰+∞
∞---=dt e Ae f X ft j at π2)(
⎰
+∞
+-=
)2(dt Ae
t
f j a π
∞
++-+-=
0)2(|2t f j a e f
j a A ππ f
j a A
π2+=
幅频谱表示式：22)(ω
ω+=a A
A 相频谱表示式：a
arctg
ω
ωϕ-=)(
2-2 用一个时间常数为0.35s 的一阶装置去测量
周期分别为1s、2s和5s的正弦信号，问幅值误差将是多少？
解：1）一阶系统的频率响应函数为：
1
1)(+=
τωωj H 幅频表示式：1
)(1
)(2
+=
τωωA
2）设正弦信号的幅值为x A ，用一阶装置测量
正弦信号，测量幅值（即一阶装置对正弦信号的输出）为)(ωA A x
幅值相对误差为：
)(1)
(ωωA A A A A x
x x -=- 3）因为T
1
=ω
T=1s 、2s 、5s ，则ω=2π、π、2π/5(rad)
则A(ω)分别为：=+⨯1)235.0(1
2
π0.414
673.01
)35.0(12
=+⨯π
915.01
)5
235.0(1
2
=+⨯π
幅值误差分别为：1-0.414=58.6% 1-0.673=32.7% 1-0.915=8.5%
2-7 将信号t ωcos 输入一个传递函数为
1
1
)(+=s s H τ的一阶装置后，试求包括瞬态过程在内
的输出y(t)的表达式。

解：因为
⎰⎰⎰-])([)()(dt e t Q e dt t P dt
t P 为y(t)的特解，即为
稳态输出，而简谐信号（正弦、余弦）的稳态输出
为幅值=信号幅值*系统幅值、相位=信号相位+系统相位
稳态输出为：
)cos(1
)(12
θωτω++t ，其中
)(τωθarctg -=
则
系
统
的
瞬
态
输
出
为
：
⎰+++=dt t P ce t t y )(2
)cos(1
)(1)(θωτω ⎰⎰==τ
τt
dt dt t P 1)(
将初始值t=0、y(t)=0代入得：c ++=
θτωcos 1)(1
02
θτωcos 1
)(1
2+-=c
所以，瞬态输出表示式：]cos )[cos(1
)(1
)(2θθωτωτt
e t t y -++=
其中)(τωθarctg -=
3-4 有一电阻应变片，其灵敏度S g =2，R=120Ω，设工作时其应变为1000εu ，问R ∆=？设将此应变片两端接入1.5V 电压，试求：1）无应变时电流表示值；2）有应变时电流表示值；3）电流相对变化量。

解： 1) ε
R
R S g /∆=
l l /∆为应变，代入得6
10*1000*1202-∆=
R
，得： Ω=∆24.0R
2) 无应变时，
)(0125.0120
5.1A R U I ===
有应变时，)(012475.024
.1205.1A R U I ===
电流相对变化量（12.5mA-12.475mA ）/12.5mA=0.2%
4-4 用电阻应变片接成全桥，测量某一构件的应变，已知其变化规律为：
t B t A t 100cos 10cos )(+=ε，如果电桥激励电压t E u 10000sin 0
=，试求此电桥的输出信号频谱。

解：00u S u R R
u g y ε=∆=
=t E t B t A S g
10000sin )100cos 10cos (+
=t t BE S t t AE S g
g 10000sin 100cos 10000sin 10cos +
即为两个调幅信号的叠加 t t AE S g
10000sin 10cos 的频谱为：
同理 t t BE S g
10000sin 100cos 的频谱为：
所以，电桥输出信号的频谱为：
4-10 已知RC 低通滤波器，R=1k Ω，C=1uF ，试： 1） 确定各函数式：)
(s H ；)(ωH ；)(ωA ；)(ωϕ。

2） t u 1000sin 10=时，求输出信号u y 。

解：1）x y u R c
j C j u +=ωω1
1 x u jRC 11+=ω (2) 频率响应函数为：11
)(+=ωωjRC H
将ωj 用s 代替，得到传递函数为：1
1)(+=
RCs s H
幅频特性为：
2
)
(11)(ωωRC A +=
相频特性为：)()(ωωϕRC arctg -= 2）当输入信号t u x
1000sin 10=时
2
1
)
101010(11
)1000(2
36
3
=
⨯⨯+=
-A ︒-=⨯⨯-=-45)101010()1000(363arctg ϕ
输出信号)451000sin(25)451000sin(2
110︒-=︒-⨯
=t t u
y
5-2 假定有一个信号x(t)，它由两个频率、相角均不相等的余弦函数叠加而成，其数学表达式为：)cos()cos()(222111ϕωϕω+++=t A t A t x ，求自相关函数。

解：
⎰+=∞→T
T x dt
t x t x T R 0
)()(1lim )(ττ
⎰++++++++=∞→T
T dt t A t A t A t A T 0222111222111]})(cos[])(cos[)]{cos()cos([1lim ϕτωϕτωϕωϕω⎰
++•+=∞→T
T dt t A t A T 0111111])(cos[)cos(1lim
ϕτωϕω ⎰++•++∞→T
T dt t A t A T 0
222111])(cos[)cos(1lim ϕτωϕω ⎰++•++∞→T
T dt t A t A T 0222222])(cos[)cos(1lim ϕτωϕω
⎰++•++∞→T
T dt t A t A T 0
111222])(cos[)cos(1lim ϕτωϕω
为两个自相关函数和两个互相关函数之和。

因为不同频信号的互相关函数值为0 即⎰
++•+∞→T T dt
t A t A T 0222111])(cos[)cos(1lim ϕτωϕω
=
⎰
++•+∞→T
T dt
t A t A T 0111222])(cos[)cos(1lim ϕτωϕω
=0
所以)(τx
R 为两个自相关函数之和
)cos(ϕω+t A 的自相关函数为：ωτcos 2
A 2
则τωτωτ22
2
1
2
1cos 2
cos 2)(A A R x +=
5-6 已知信号的自相关函数为ωτcos A ，请确定该信号的均方值2x ψ和均方根值rms x 。

解：根据自相关函数的特性：当0=τ时，自相关函数)(τx
R 最大，等于均方值2x
ψ
所以，均方值A A R x x ===0cos )0(2ψ 均方根值A x x
rms
==2ψ
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