§2.１ 层次分析法的基本方法和步骤
一、递阶层次结构的建立 首先把系统问题条理化、层次化，构造出一个层次分析的结构模型。在模
型中，复杂问题被分解，分解后各组成部分称为元素，这些元素又按属性分成 若干组，形成不同层次。层次可分为三类：
（1）最高层(目标层) （2）中间层(准则层) （3）最底层(措施层或方案层)
（2）如果问题复杂，u1，u2，…，un对于C的重要性无法直接定量， 而只能定性，那么确定权重用两两比较法。其方法是：对于准则C，元素ui 和uj哪一个更重要，重要的程度如何，通常按1～9比例标度对重要性程度赋 值，表2-1列出了1～9标度的含义。
§2.１ 层次分析法的基本方法和步骤
二、线性规划问题的数学模型
对于准则C，n个元素之间相对重要性的比较得到一个两两比较判断矩阵
其中 就是元素 和 性质：
相对于C的重要性的比例标度。判断矩阵A具有下列
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三、单一准则下元素相对权重的计算以及判断矩阵的一致性检验 （1）权重计算方法。 ① 和法。将判断矩阵A的n个行向量归一化后的算术平均值，近似作为 权重向量，即
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三、单一准则下元素相对权重的计算以及判断矩阵的一致性检验 （2）一致性检验。 ③ 计算性一致性比例C.R.（Consistency Ratio）。
④ 计算各层元素对目标层的总排序权重。
§2.2 到北京旅游出行路线的模型构建
一、建模
四人出行，始发站丹东，终点站北京。选择出行方案如下。 方案1：乘大巴车到沈阳，动车到北京。 方案2：乘大巴车到沈阳，卧辅车到北京。 方案3：开车到沈阳桃仙机场，从沈阳飞往北京。 方案1的大巴费用为人均79元，动车人均207元，但到北京后多一天住宿费用， 人均125元，单程共需1 644元，时间约为8个小时。 方案2的大巴费用为人均79元，卧辅车人均172元，省一天北京住宿费用，单程 共需1 004元，时间约为13个小时。 方案3：开车到沈阳桃仙机场费用为250元，停车费300元，从沈阳飞北京费用 人均670元，单程共需3 430元，时间约为3小时25分钟。
上层元素对下层元素的支配关系所形成的层次结构被称为递阶层次结构。
§2.１ 层次分析法的基本方法和步骤
二、构造两两比较判断矩阵
在递阶层次结构中，设上一层元素C为准则，所支配的下一层元素u1， u2，…，un对于准则C的相对重要性即权重。这通常可分两种情况：
（1）如果u1，u2，…，un对C的重要性可定量（如可以使用货币、重 量等），其权重可直接确定。
最优化方法与策略
目录
第一章 线性规划
第二章 层次分析法（AHP）
第三章 基于Matlab软件设计的数学实验 第四章 励志人生的最优化方法
第五章 思维策略
第六章 营销策略
第七章 概率统计基础
开篇导论
对于现实生活中涉及复杂的社会、经济、管理、生态等很多问题的解 决，过去的系统分析与设计常常凭经验，靠主观判断进行，缺乏应有的科 学性，因而往往造成重大失误。层次分析法是一种新的定性分析与定量分 析相结合的系统分析方法，是将人的主观判断用数量形式表达和处理的方 法，简称AHP（Analytic Hierarchy Process）法。近年来，层次分析法 在经营管理等方面的系统分析、设计与决策中日益受到重视。
§2.2 到北京旅游出行路线的模型构建
四、计算层次总排序权值和一致性检验 B1对总目标的权值为： 0.3239×0.4559 ＋ 0.1818×0.0414 ＋ 0.5832×0.2286 ＋ 0.2×0.1780 ＋
0.2307×0.0961＝0.3463 同理得，B2，B3对总目标的权值分别为：0.4096， 0.2438 决策层对总目标的权向量为：｛0.3463， 0.4096， 0.2438｝
§2.2 到北京旅游出行路线的模型构建
二、构造成对比较矩阵
§2.2 到北京旅游出行路线的模型构建
二、构造成对比较矩阵
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三、计算层次单排序的权向量和一致性检验
表明A通过了一致性验证。 对成对比较矩阵可以求层次总排序的权向量并进行一致性检验，结果如表 2-3所示。 计算可知B1，B2，B3，B4，B5通过一致性检验。
计算步骤如下： 第一步，A的元素按列相乘得一新向量； 第二步，将新向量的每个分量开n次方； 第三步，将所得向量归一化后即为权重向量。
§2.１ 层次分析法的基本方法和步骤
三、单一准则下元素相对权重的计算以及判断矩阵的一致性检验
（1）权重计算方法。 ③ 特征根法（简记EM）。解判断矩阵A的特征根问题
④ 对数最小二乘法。用拟合方法确定权重向量
故，层次总排序通过一致性检验。 ｛0.3463，0.4096，0.2438｝可作为最后的决策依据。 即各方案的பைடு நூலகம்重排序为B2＞B3＞B1，应该选择方案2。
计算步骤如下： 第一步，A的元素按行归一化； 第二步，将归一化后的各行相加； 第三步，将相加后的向量除以n，即得权重向量。
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三、单一准则下元素相对权重的计算以及判断矩阵的一致性检验 （1）权重计算方法。 ② 根法（即几何平均法）。将A的各个行向量进行几何平均，然后归一 化，得到的行向量就是权重向量。其公式为
§2.１ 层次分析法的基本方法和步骤
运用层次分析法进行系统分析、设计、决策时，可分四个步骤进行： （1）分析系统中各因素之间的关系，建立系统的递阶层次结构； （2）对同一层次的各元素关于上一层中某一准则的重要性进行两两比较, 构造两两比较的判断矩阵； （3）由判断矩阵计算被比较元素对该准则的相对权重； （4）计算各层元素对系统目标的合成权重，并进行排序。
使残差平方和
为最小。
⑤最小二乘法。确定权重向量 为最小。
使残差平方和
§2.１ 层次分析法的基本方法和步骤
三、单一准则下元素相对权重的计算以及判断矩阵的一致性检验 （2）一致性检验。 ① 计算一致性指标C.L.（Consistency Index）。
② 查找相应的平均随机一致性指标R.I.（Random Index）。 表2-2给出了1～15阶正互反矩阵计算1 000次得到的平均随机一致性 指标。