习题1.1 已知z y x B z y x A ˆ2ˆˆ;ˆˆ3ˆ2-+=-+=，求:(a) A 和B 的大小（模）； (b) A 和B 的单位矢量；(c)B A⋅；(d)B A⨯；(e)A 和B 之间的夹角；(f) A 在B 上的投影。

解：(a) A 和B 的大小74.314132222222==++=++==z y x A A A A A45.26211222222==++=++==z y x B B B B B(b) A 和B 的单位矢量z y x z y x A A aˆ267.0ˆ802.0ˆ535.0)ˆˆ3ˆ2(74.31ˆ-+=-+==z y x z y x B B bˆ816.0ˆ408.0ˆ408.0)ˆ2ˆˆ(45.21ˆ-+=-+==(c)A B ⋅7232=++=++=⋅z z y y x x B A B A B A B A(d) B A ⨯z y xz y xB B B A A A z y xB A z y x z y xˆˆ3ˆ5211132ˆˆˆˆˆˆ-+-=--==⨯(e)A 和B 之间的夹角α根据αcos AB B A =⋅得764.0163.97cos ==⋅=AB B A α 019.40=α (f) A 在B 上的投影86.245.27ˆ==⋅=⋅B B A bA1.2如果矢量A 、B 和C 在同一平面，证明A ·(B ⨯C )=0。

证明：设矢量A 、B 和C 所在平面为xy 平面y A x A A y x ˆˆ+=y B xB B y x ˆˆ+=y C xC C y x ˆˆ+=z C B C B y C B C B xC B C B C C C B B B zy x C B x y y x z x x z y z z y zy x z y xˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆˆˆ-+-+-==⨯zC B C B x y y x ˆ)(-= 0ˆˆ)(0)(=⋅-⨯=⨯⋅z zC B C B C B A x y y x1.3已知A =ααsin ˆcos ˆy x+、B ββsin ˆcos ˆy x -=和C ββsin ˆcos ˆy x +=，证明这三个矢量都是单位矢量，且三个矢量是共面的。

证明：1）三个矢量都是单位矢量1sin cos 22222=+=++==ααz y x A A A A A 1sin cos 22222=+=++==ββz y x B B B B B1sin cos 22222=+=++==ββz y x C C C C C2）三个矢量是共面的zC C C B B B zy x C B zy x z y xˆsin cos 2ˆˆˆββ==⨯0ˆˆsin cos 20)(=⋅⨯=⨯⋅z zC B A ββ1.4 A x y z =+- 2； B x yz =+-α3，当A B⊥时，求α。

解：当A B⊥时，0=⋅B A 032=++=⋅αB A所以5-=α1.5证明三个矢量A y xˆ5ˆ5-=、B z y x ˆˆ7ˆ3--=和C z y x ˆˆ2ˆ2---=形成一个三角形的三条边，并利用矢积求此三角形的面积。

证明 ：因为 z y xB A ˆˆ2ˆ2++=-0)(=+-+C B A所以三个矢量A 、B 和C 形成一个三角形 此三角形的面积为B A S ⨯=216.102/2055173055ˆˆˆˆˆˆ222=++=---==zy x B B B A A A z y xz y x z y x1.6 P 点和Q 点的位置矢量分别为z y xˆˆ12ˆ5++和z y x ˆˆ3ˆ2+-，求从P 点到Q 点的距离矢量及其长度。

解：从P 点到Q 点的距离矢量为y x z y x z y xr r R P Q ˆ15ˆ3)ˆˆ12ˆ5()ˆˆ3ˆ2(--=++-+-=-=从P 点到Q 点的距离为3.1515322=+==R R1.7 求与两矢量A z y xˆˆ3ˆ4+-=和B z y x ˆˆˆ2-+=都正交的单位矢量。

解：设矢量C与两矢量A z y xˆˆ3ˆ4+-=和B z y x ˆˆˆ2-+=都正交，则 034=+-=⋅z y x C C C C A（1） 02=-+=⋅z y x C C C C B（2）（1）+（2） 得 026=-y x C C → x y C C 3= （3） （1）+3⨯（2）得 0210=-z x C C → x z C C 5= （4）如果矢量C是单位矢量，则1259222222=++=++==x x x z y x C C C C C C C C所以 169.025911=++=x Cx y C C 3=507.0= x z C C 5=845.0=z y xC ˆ845.0ˆ507.0ˆ169.0++=1.8将直角坐标系中的矢量场F x y z x F x y z y 12(,,) ,(,,) ==分别用圆柱和圆球坐标系中的坐标分量表示。

解：在圆柱坐标系中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0sin cos 0011000cos sin 0sin cos 1000cos sin 0sin cos 111111ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕρz y x z F F F F F Fϕϕρϕϕρˆsin ˆcos ),,(1-=z F⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0cos sin 0101000cos sin 0sin cos 1000cos sin 0sin cos 222222ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕρz y x z F F F F F Fϕϕρϕϕρˆcos ˆsin ),,(2+=z F在圆球坐标系中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡ϕϕθϕθϕϕθϕθϕθθϕθϕθϕϕθϕθϕθθϕθϕθϕθsin cos cos cos sin 0010cos sin sin sin cos cos cos cos sin sin cos sin 0cos sin sin sin cos cos cos cos sin sin cos sin 111111z y x r F F F F F Fϕϕθϕθρϕθϕθˆsin ˆcos cos ˆcos sin ),,(1-+=r F⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡ϕϕθϕθϕϕθϕθϕθθϕθϕθϕϕθϕθϕθθϕθϕθϕθcos sin cos sin sin 0100cos sin sin sin cos cos cos cos sin sin cos sin 0cos sin sin sin cos cos cos cos sin sin cos sin 222222z y x r F F F F F Fϕϕθϕθρϕθϕθˆcos ˆsin cos ˆsin sin ),,(2++=r F1.9 将圆柱坐标系中的矢量场 F z F z 1223(,,) ,(,,) ρϕρρϕϕ==用直角坐标系中的坐标分量表示。

解：根据A A A A A A x y z z ⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=-⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥c o s s i n s i n c o s ϕϕϕϕρϕ00001（1）得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0sin 2cos 20021000cos sin 0sin cos 111ϕϕϕϕϕϕz y x F F F y x z y x F ˆsin 2ˆcos 2),,(1ϕϕ+=又因为 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=z z y x x y x x 2222sin cos ϕϕ（2）)ˆˆ(2ˆ2),,(221y y xx yx z y x F ++==ρ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0cos 3sin 30301000cos sin 0sin cos 222ϕϕϕϕϕϕz y x F F F y xz y x F ˆcos 3ˆsin 3),,(2ϕϕ+-=利用（2）式可得)ˆˆ(3ˆ3),,(222x y yx yx z y x F -+==ϕ1.10 将圆球坐标系中的矢量场F r r F r 125(,,) ,(,,) θϕθϕθ==用直角坐标系中的坐标分量表示。

解：根据A A A A A A x y z r⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=--⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥s i nc o s c o s c o s s i n s i ns i n c o s s i n c o s c o s s i n θϕθϕϕθϕθϕϕθθθϕ0 （1）得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡θϕθϕθθθϕϕθϕθϕϕθϕθcos 5sin sin 5cos sin 50050sin cos cos sin cos sin sin sin cos cos cos sin 111z y x F F F θϕθϕθcos 5ˆsin sin 5ˆcos sin 5ˆ),,(1z y xz y x F ++=又因为⎪⎩⎪⎨⎧===θϕθϕθcos sin sin cos sin r z r y r x （2）得)ˆˆˆ(5),,(2221z z y y xx zy x z y x F ++++=θϕθˆ),,(2=r Fr ˆˆ⨯=ϕ )ˆˆˆ(1ˆ222z z y y xx z y x r++++= )ˆˆ(1ˆ22x y yx yx -+=ϕ θϕθˆ),,(2=r Fr ˆˆ⨯=ϕ =⨯-+)ˆˆ(122x y yx y x )ˆˆˆ(1222z z y y xx zy x ++++221y x +=2221z y x ++]ˆˆ)(ˆ[22y yz x xz y x z+++- 1.11 计算在圆柱坐标系中两点)5,6/,5(πP 和)4,3/,2(πQ 之间的距离。

解：两点)5,6/,5(πP 和)4,3/,2(πQ 之间的距离为 221221221)()()(z z y y x x d -+-+-=222)45())3/sin(2)6/sin(5())3/cos(2)6/cos(5(-+⨯-⨯+⨯-⨯=ππππ 222)1()768.0()33.3(++===69.1256.31.12空间中同一点上有两个矢量，取圆柱坐标系，A z ˆ4ˆ5ˆ3-+=ϕρ，B z ˆ3ˆ4ˆ2++=ϕρ，求:(a) A +B ； (b) A ⨯B ； (c) A 和B 的单位矢量； (d) A 和B 之间的夹角； (e) A 和B 的大小； (f) A 在B 上的投影。