弹性势能之比为
2-16 (1)设在距月球中心为r处F月引=F地引，由万有引力定律，有
G =G
经整理，得
r=
=
=38.32 10 m
则p点处至月球表面的距离为
h=r-r月=(38.32-1.74)×106＝3.66×107m
(2)质量为1 kg的物体在p点的引力势能为
=
=-1.28
2-17 取B点为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点，则由功
v12=50 km·h-1
方向南偏东36.87°
1-14 依题意作出矢量图如题1-14所示．
题1-14图
∵v雨船=v雨-v船
∴v雨=v雨船+v船
由图中比例关系可知
v船=v雨=8 m·s-1
1-15 若以大船为参照系，则快艇相对于大船的相对位矢为r，而快艇对大船的相对速度为
v′=v-V=v+(-V)
依据以上关系作出图1-15(b)．
Δp=mv2-mv1方向竖直向上，
大小 ｜Δp｜=mv2-(-mv1)=mg
碰撞过程中动量不守恒．这是因为在碰撞过程中，小球受到地面给予的冲力作用．另外，碰撞前初动量方向斜向下，碰后末动量方向斜向上，这也说明动量不守恒．
2-8 (1)若物体原来静止，则
Δp1= i kg·m·s-1,沿x轴正向，
若物体原来具有-6 m·s-1初速，则
aτ=Rβ=0.4×0.2＝0.08 m·s-2
1-12当滑至斜面底时，y=h，则 ,A物运动过程中又受到B的牵连运动影响，因此，A对地的速度为
题1-12图
1-13 (1)大船看小艇，则有v21=v2-v1，依题意作速度矢量图如题1-13图(a)
题1-13图
由图可知
方向北偏西
(2)小船看大船，则有v12=v1-v2，依题意作出速度矢量图如题1-13图(b)，同上法，得
v1=vx=v0cos60°
=g=10 m·s-2
又∵
∴
(2)在落地点，
v2=v0=20 m·s-1，
而 =g×cos60°
∴
1-11 当t=2s时，ω=βt=0.2×2＝0.4 rad·s-1
则v=Rω=0.4×0.4＝0.16 m·s-1
an=Rω2=0.4×(0.4)2＝0.064 m·s-2
mgR=
又下滑过程，动量守恒，以m,M为系统则在m脱离M瞬间，水平方向有
mv-MV=0
联立，以上两式，得
v=
2-20 两小球碰撞过程中，机械能守恒，有
即 ①
题2-20图(a) 题2-20图(b)
又碰撞过程中，动量守恒，即有
mv0=mv1+mv2
亦即v0=v1+v2②
由②可作出矢量三角形如图(b)，又由①式可知三矢量之间满足勾股定理，且以v0为斜边，故知v1与v2是互相垂直的．
(6)
这说明该点只有y方向的加速度，且为恒量。
题1-4图
1-4 设人到船之间绳的长度为l，此时绳与水面成θ角，由图可
知
l2=h2+s2
将上式对时间t求导，得
根据速度的定义，并注意到l,s是随t减少的，
∴
即
或
将v船再对t求导，即得船的加速度
1-5 ∵
分离变量： vdv=adx=(2+6x2)dx
两边积分得
能原理，有
-μm2gh= (m1+m2)v2-［m1gh+ k(Δl)2］
式中Δl为弹簧在A点时比原长的伸长量，则
Δl=AC-BC=( -1)h
联立上述两式，得
v=
题2-17图
2-18 取木块压缩弹簧至最短处的位置为重力势能零点，弹簧原
长处为弹性势能零点则由功能原理，有
-frs=
k=
式中 s=4.8+0.2=5 m，x=0.2 m，再代入有关数据，解得
m1g-T=m1a1②
T-m2g=m2a2③
联立①、②、③式，得
讨论 (1)若a′=0，则a1=a2表示柱体与绳之间无相对滑动．
(2)若a′=2g，则T=f=0，表示柱体与绳之间无任何作用力，此时m1,m2均作自由落体运动．
题2-1图
2-2以梯子为对象，其受力图如图(b)所示，则在竖直方向上，
NB-mg=0 ①
，而抛物线具有对y轴对称性，故末速度与x轴夹角亦为30°，则动量的增量为
Δp=mv-mv0
由矢量图知，动量增量大小为｜mv0｜，方向竖直向下．
2-7由题知，小球落地时间为0.5s．因小球为平抛运动，故小球落地的瞬时向下的速度大小为v1=gt=0.5g，小球上跳速度的大小亦为v2=0.5g．设向上为y轴正向，则动量的增量
∴
(2)
(3)质点停止运动时速度为零，即t→∞，
故有
(4)当t= 时，其速度为
即速度减至v0的 .
2-5分别以m1,m2为研究对象，其受力图如图(b)所示．
(1)设m2相对滑轮(即升降机)的加速度为a′，则m2对地加速度a2=a′-a；因绳不可伸长，故m1对滑轮的加速度亦为a′，又m1在水平方向上没有受牵连运动的影响，所以m1在水平方向对地加速度亦为a′，由牛顿定律，有
题1-15图
设相对位矢r与海岸夹角为α，则有
又设快艇对船的相对速度v′与海岸线的夹角为θ则由图(b)可知，要使船在x处出发时能栏截大船，应有θ≥α(若θ≤α，则艇将从大船后方穿过)．
但θ角的大小与艇速v与海岸线的夹角φ有关，φ值可取0-180°间任何值．依据v′=v-V作图1-15(c)，(图中之圆是以｜v｜为半径所作之圆，其表示v之模不变，但方向可变)．如图(c)可知θ的极大值是在v′与圆周相切之时，此时有
设第二锤外力的功为A2，则同理，有
②
由题意，有
③
即
所以，
于是钉子第二次能进入的深度为
Δy=y2-y1= -1=0.414 cm
2-14
方向与位矢r的方向相反，即指向力心．
2-15 弹簧A、B及重物C受力如题2-15图所示平衡时，有
题2-15图
FA=FB=Mg
又 FA=k1Δx1
FB=k2Δx2
所以静止时两弹簧伸长量之比为
题1-15（c）图
艇拦截大船的条件是θ≥α，故有
解得
习题二
2-1因绳不可伸长，故滑轮两边绳子的加速度均为a1，其对于m2则为牵连加速度，又知m2对绳子的相对加速度为a′，故m2对地加速度，由图(b)可知，为
a2=a1-a′ ①
又因绳的质量不计，所以圆柱体受到的摩擦力f在数值上等于绳的张力T，由牛顿定律，有
m2g-T=m2(a′-a)
T=m1a′
题2-5图
联立，解得a′=g方向向下
(2) m2对地加速度为
a2=a′-a= 方向向上
m1在水面方向有相对加速度，竖直方向有牵连加速度，即a绝=a相′+a牵
∴
θ=arctan =arctan =26.6°，左偏上．
2-6依题意作出示意图如题2-6图
题2-6图
在忽略空气阻力情况下，抛体落地瞬时的末速度大小与初速度大小相同，与轨道相切斜向下
解(二) ∵
∴
题2-24图
2-24 在只挂重物M1时，小球作圆周运动的向心力为M1g，即
M1g=mr0ω20①
挂上M2后，则有
(M1+M2)g=mr′ω′2②
重力对圆心的力矩为零，故小球对圆心的角动量守恒．
即 r0mv0=r′mv′
③
联立①、②、③得
2-25 (1)先作闸杆和飞轮的受力分析图(如图(b))．图中N、N′是正压力，Fr、F′r是摩擦力，Fx和Fy是杆在A点转轴处所受支承力，R是轮的重力，P是轮在O轴处所受支承力．
p=mv=mω(-asinωti+bcosωtj)
将t=0和t= 分别代入上式，得
p1=mωbj,p2=-mωai,
则动量的增量亦即质点所受外力的冲量为Байду номын сангаас
I=Δp=p2-p1=-mω(ai+bj)
2-10 (1)由题意，子弹到枪口时，有
F=(a-bt)=0,得t=
(2)子弹所受的冲量
将t= 代入，得
(3)由动量定理可求得子弹的质量
r1mv1=r2mv2
∴
2-23 (1)
(2)解(一) x=x0+v0xt=4+3=7
即r1=4i,r2=7i+25.5j
vx=v0x=1
即v1=i1+6j,v2=i+11j
∴ L1=r1×mv1=4i×3(i+6j)=72k
L2=r2×mv2=(7i+25.5j)×3(i+11j)=154.5k
∴ΔL=L2-L1=82.5k kg·m2·s-1
1-3 （1）r=(3t+5)i+( t2+3t-4)j m
(2)将t=1,t=2代入上式即有
r1=8i-0.5j m
r2=11j+4j m
Δr=r2-r1==3j+4.5j m
(3)∵ r0=5j-4j,r4=17i+16j
∴
(4)
则 v4=3i+7j m·s-1
(5)∵ v0=3i+3j,v4=3i+7j
于是
,
同理，Δv2=Δv1,I2=I1
这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多大，那么物体获得的动量的增量(亦即冲量)就一定相同，这就是动量定理．
(2)同上理，两种情况中的作用时间相同，即
亦即t2+10t-200=0
解得t=10 s，(t′=-20 s舍去)
2-9 质点的动量为
由题知，x=0时，v0=10,∴c=50