排列组合问题
1. 分组（堆）问题
分组（堆）问题的六个模型：①无序不等分；②无序等分；③无序局部等分；(④有序不等分；⑤有序等分；⑥有序局部等分.) 处理问题的原则：
①若干个不同的元素“等分”为 ｍ个堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m! ②若干个不同的元素局部“等分”有 ｍ个均等堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m!
③非均分堆问题，只要按比例取出分完再用乘法原理作积.
④要明确堆的顺序时，必须先分堆后再把堆数当作元素个数作全排列.
1. 分组（堆）问题
例1.有四项不同的工程，要发包给三个工程队，要求每个工程队至少要得到一项工程. 共有多少种不同的发包方式？
解：要完成发包这件事，可以分为两个步骤： ⑴先将四项工程分为三“堆”，有
211421
2
2
6C C C A
种分法；
⑵再将分好的三“堆”依次给三个工程队， 有3!＝6种给法.
∴共有6×6＝36种不同的发包方式.
2.插空法：
解决一些不相邻问题时，可以先排“一般”元素然后插入“特殊”元素，使问题得以解决.
♀ ♀ ♀ ♀ ♀ ♀ ♀
↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑
例2 . 7人排成一排.甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？ 解：分两步进行：
55A 有=120种排法
第1步，把除甲乙外的一般人排列：
第2步，将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中(插孔)：
26A 有=30种插入法
120303600∴⨯共有＝种排法
()
种不同的排法有22
5566P P P -∴
3.捆绑法
相邻元素的排列，可以采用“局部到整体”的排法，即将相邻的元素局部排列当成“一个”元素，然后再进行整体排列.
例3 . 6人排成一排.甲、乙两人必须相邻,有多少种不的排法?
♀ ♀
♀ ♀ ♀ ♀ ♀ ♀ 解：（1）分两步进行： 甲 乙
第一步，把甲乙排列(捆绑)：
22
A 有＝2种捆法
第二步，甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队：
55
A 有＝120种排法
几个元素不能相邻时,先排一般元素，再让特殊元素插孔.
几个元素必须相邻时,先捆绑成一个元素，再与其它的进行排列.
2120240∴⨯共有＝种排法
()
种不同的排法有2
2
5566P P P -∴
4.消序法(留空法)
几个元素顺序一定的排列问题，一般是先排列，再消去这几个元素的顺序.或者，先让其它元素选取位置排列，留下来的空位置自然就是顺序一定的了. 例4. 5个人站成一排，甲总站在乙的右侧的有多少种站法？
55A
种站法，
解法1：将5个人依次站成一排，有
22
A
然后再消去甲乙之间的顺序数
53
5522
543A A A =⨯⨯=
∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为
解法2：先让甲乙之外的三人从5个位置选出3个站好，有
3
5A
种站法，留下的两个位置自然给甲乙有1种站法
335
51A A
⨯=
∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为
4.消序法(留空法) 解: 如图所示
变式：如下图所示,有5横8竖构成的方格图,从A 到B 只能上行或右行共有多少条不同的路线?
B
A
B
将一条路经抽象为如下的一个排法(5-1)+(8-1)=11格:
其中必有四个↑和七个→组成!
所以, 四个↑和七个→一个排序就对应一条路经,
51
4(51)(81)
11
C
C
--+-=
所以从A 到B 共有 条不同的路径.
5.剪截法（隔板法）：
n个相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段.
例5. 某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手名额分配到高三年级的1-4 个教学班,每班至少一个名额,则不同的分配方案共有___种.
解：问题等价于把16个相同小球放入4个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题.
3 15455
C=
将16个小球串成一串，截为4段有
种截断法，对应放到4个盒子里.
因此，不同的分配方案共有455种 .
5.剪截法：
n个相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段.
变式：某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手名额分配到高三年级的1-4 个教学班,每班的名额不少于该班的序号数,则不同的分配方案共有___种.
解：问题等价于先给2班1个，3班2个，4班3个，再把余下的10个相同小球放入4个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题.
3 984
C=
将10个小球串成一串，截为4段有
种截断法，对应放到4个盒子里.
因此，不同的分配方案共有84种 .
6.错位法：
编号为1至n的n个小球放入编号为1到 n的n个盒子里,每个盒子放一个小球.要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列.
特别当n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44.
例6. 编号为1至6的6个小球放入编号为1至6的6个盒子里,每个盒子放一个小球,其中恰有2个小球与盒子的编号相同的放法有____种.
解：选取编号相同的两组球和盒子的方法有
2 615
C=
种,其余4组球与盒子需错位排列有9种放法. 故所求方法有15×9＝135种.
7.剔除法
从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法.
排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍.
例7. 从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的经过坐标原点的直线有_________条.
3 7210
A=
解：所有这样的直线共有条，
12 66180
A A
⨯=
其中不过原点的直线有条，
∴所得的经过坐标原点的直线有210-180＝30条.
巩固练习
1.将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则不同的投法的种数是（）
A.43
B.34
C.34A
D.34C
B
2.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出
3种，分别种在不同土质的三块地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（）
A.24种
B.18种
C.12种
D.6种
B
巩固练习
3. 12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（ ） A.4
44
84
12C C C 种 B.34
44
84
12C C C 种
C.3348412A C C 种
D.3
3
4
4
48412A C C C 种
A
4. 5个人排成一排，其中甲、乙不相邻的排法种数是（ ） A.6 B.12 C.72 D.144 C。