“认识非线性”
Xt+1= f (Xt)
Xt+1= rXt
线性系统 X : 系统状态
非线性系统
t : 离散时间
f : 函数关系式
Xt+1= rXt (1-Xt)
“认识非线性”
Xt+1= rXt X0= 100
周期(periodic)行为
150 100 50 0 -50 -100 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
小车在水平方向上的牛顿定律：
F H ky My
1.3 非线性系统示例
小车倒立摆系统
mgL sin mL2 mLy cos I cos L 2 sin ) ky F m( My y L
1 mM mL cos ( ) y
( x0 x x0 ) ( x x0 ) ( x x0 )
F x0
“认识非线性”-工程振动
分段线性：弹性力是位移的分段线性函数。
• 连接弹簧存在间隙
• 弹簧有预紧力
F
x0 x0
F x
F0
x
0 F ( x) k ( x x0 ) k ( x x ) 0
“认识非线性”- 蝴蝶效应
电影：《蝴蝶效应》 THE BUTTERFLY EFFECT
“时光日记本”
Change one thing, change everything。
“认识非线性”- 混沌论
20世纪物理学三大理论：

相对论：否定了时间和空间的绝对性；（高速运动） 量子论：否定了粒子与波的绝对性；（微观运动） 混沌论：否定了可预见的绝对性；（非线性运动） “随时间而发生某种变化，其 变化并非随机而貌似随机”
机械工程研究生学科前沿课程——
《非线性系统理论》
教材：非线性系统（第三版）Hassan K.Khalil 著 2011 参考书：非线性系统理论及应用 非线性系统理论 非线性系统理论 授课教师：郜志英 课程考核：平时作业（40分）+考试成绩（60分）
北京科技大学机械工程学院
曹建福编著 2001
方勇纯 编著 2005 康惠骏 编著 2010
F F0 cos t
Ff cy 2 2 Fsp k (1 a y ) y
具有周期激励的非线性系统：达芬（Duffing）方程
2 3 my cy ky ka y F0 cos t
1.2 非线性系统模型 非线性振动模型：
cx kx f t mx
1.1 线性振动系统回顾
有阻尼受迫振动微分方程
x A sin t x 2n x
2 n 2 n
微分方程全解：齐次方程的通解+非齐次方程的特解
1.5
x2 (t ) Xsin ωt

1
1
0.5
1 2
2 2
2
0
-0.5
Section 4 非线性非自治系统

g sin 0 l
g 1 3 l 6
T
Fx 0 mx
2T x Fx 0 x ( EA T0 ) l l
3
Fx
T
l
m
Fx
通常弹性材料：硬特性非线性 超弹性材料：软特性非线性
单摆：软特性非线性
Section 1 非线性系统简介
衰减(decay)行为
120 100 80 60 40 20 0 1 3 5 7 9 11 t 13 15 17 19
X
X
1
3
5
7
9
11 t
13
15
17
19
Xt+1= 0.9Xt
Xt+1= 1.1Xt
“认识非线性”
Xt+1= rXt (1-Xt)
稳态(steady-state)行为
“认识非线性”
决定论
决定论
随机论
混沌论
Lorenz 《The Essence of Chaos》
“认识非线性”-工程振动
物理 新理论 新原理
新模型 新方法
数学
非线性 学科
控制
力学
新问题 新应用
机械系统
工程非线性振动问题
“认识非线性”-工程振动
材料非线性：当弹性元件的 材料应力超过比例极限，应 力-应变关系不再是线性关 系，弹性元件的恢复力与变 形不再是线性关系，弹性力 是位移的非线性函数。
初 相 位 角
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1.1 线性振动回顾
有阻尼自由振动微分方程
2 x 2n x n x 0
1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6
x Aent sin(dt )
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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Xt+1=3.99Xt (1-Xt)
“认识非线性”
Xt+1= rXt (1-Xt)
分岔 （bifurcation）
“认识非线性”
初值敏感性
Xt+1= rXt (1-Xt)
差之毫厘，谬以千里
“认识非线性”
假定某种昆虫，在不存在世代交叠的情况下（即 每年夏天成虫产卵后全部死亡，第二年春天每个虫 卵孵化成虫），很显然，若产卵数大于 1，虫口就会 迅速增加，“虫满为患”。
Two points attractor
0.2 0 1
Four points attractor
3 5 7 9 11 13 15 17 19
Xt+1= 3.2Xt (1-Xt)
Xt+1= 3.5Xt (1-Xt)
“认识非线性”
Xt+1= rXt (1-Xt)
非周期(non-periodic)行为 混沌 （chaos）
X
稳态(steady-state)行为
120 100 80 60 40 20 0 1 3 5 7 9 11 t 13 15 17 19
X
-150 t
Xt+1= 1.0Xt
Xt+1= -1.0Xt
“认识非线性”
Xt+1= rXt X0= 100
成长(growth)行为
700 600 500 400 300 200 100 0
习题
(a) 用角位移、角速度和电压作为状态变量，写出 状态方程； (b) 设 P 0.815, EFD 1.22,1 2.0,2 2.7,3 1.7 6.6, M 0.0147, D / M 4
求出所有平衡点；
(c) 思考：假设时间常数比较大时的方程形式？
【动力系统】
( x0 x x0 ) ( x x0 ) ( x x0 )
F0 kx ( x x0 ) F ( x) F0 kx ( x x0 )
“认识非线性”-工程振动
几何非线性：材料本身仍属于弹性范围，由于几何原因导致位 移较大，在建立运动微分方程时必须考虑这种位移，使得恢复 力与位移的关系成为非线性函数。 • 张紧的弦 • 单摆
, x) fc ( , x) fk ( , x) f , x, t fm ( x, x x, x x, x x, x
惯性力
阻尼力
弹性力 对于多数机械系统
激励力
fc ( x, x ) f k ( x, x ) f (t ) mx
1.2 非线性系统模型
f (t , x) x
状态方程
1.2 非线性系统模型
f (t , x) 状态方程： x
特例情况
非自治系统（时变系统）
f ( x) x
自治系统（时不变系统）
平衡点： f ( x) 0 x x
Section 1 非线性系统简介
目录
1.1 线性振动系统回顾
1.2 非线性系统模型 1.3 非线性系统示例
2 arctan 1 2
-1
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
1.1 线性振动系统回顾
线性有阻尼受迫振动：共振特性
( )
5
4 3 2
0.25 0.375 0 .5 1

1
1
2 2

(2 )2

0
0 .1
X A
1
0 0 1

2 3
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1.1 线性振动系统回顾
—— 连续系统：微分方程
dX / dt F ( X )
自治系统
dX / dt F ( X , t ) 非自治系统
—— 离散系统：离散映射
X n 1 f ( X n )
思考：离散映射系统的平衡点如何求解？
《非线性系统理论》
Section 1 非线性系统简介
Section 2 非线性离散系统 Section 3 非线性自治系统
Xt+1= rXt (1-Xt)
稳态(steady-state)行为
“认识非线性”
Xt+1= rXt (1-Xt) P=2
0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
周期(periodic)行为
P=4
1 0.8 0.6 0.4
fc ( x, x ) f k ( x, x ) f (t ) mx
将二阶常微分方程降阶为一阶常微分方程：
1 x2 x