化归与转化的思想方法（教案）
课题：化归与转化的思想方法专题
延寿一中吴东鹏
一、教学目标：
1、知识目标：⑴理解并掌握化归与转化的思想方法；
⑵用哲学观点认识化归与转化的思想方法。
2、能力目标：⑴能运用“化归与转化的思想方法”解决具体条
件下的数学问题；
⑵培养学生观察、分析、处理问题的能力，提高
思维品质；
⑶形成运动变化，对立统一的观点。
3、情感目标：在解题中，让学生体会熟悉化,简单化,和谐化,直
观化,正难则反的数学妙味.
二、教学重点、难点
教学重点：对“化归与转化的思想方法”的理解及运用
教学难点：“化归与转化的思想方法”的运用
三、教法、学法指导
教法：四环递进教学法
学法指导：⑴培养敏锐的洞察能力，类比能力；
⑵找准目标模型，将待解决问题转化为目标模型；
⑶学会用化归与转化的思想方法处理高中数学的
问题；
四、教学过程
1、知识整理
提出问题：结合以前解有关化归与转化题目方面的经验或体会，能否谈谈化归与转化的思想方法：
⑴、在运用已学知识解答一类问题时，不同问题要求运用不同知识，这就要求人们运用类比法，找准某一数学模型为目标模型，通过恰当的手段把问题化归为目标模型，再运用目标模型的内在数学规律，使问题获解，其思维程序是客观问题经抽象数学化→数学问题，经类比化归，找准目标模型把问题转化成模型→数学模型，经求解，运用模型→得解。
⑵、实施有效的化归，既可以变更问题的条件，也可以变更问题的结论，既可以变换问题的内部结构，也可以变换问题的外部形式，从宏观上可以实现学科间的化归，也可以调动各种方法与技术，从微观上解决多种具体问题，在解题中可以多次使用化归，使问题逐次达到规范化、模式化。
⑶、解题的过程就是化归的过程，不断地改变你的问题，重新叙述它，变换它，直到最后成功地找到某些能用的东西，解决问题为止。
2、范例选讲
例1：设4()42x
x f x =+，求122006()()()200720072007
f f f +++L 解：1144()(1)4242
a a
a a f a f a --+-=+++Q 4442424
a a a =+++⨯
4214242
a a a =+=++ 122006()()()200720072007f f f ∴+++L 120062************[()()][(()[(()]200720072007200720072007
f f f f f f =+++++L 1003
1111003=+++=L 14243
点评：1。
本题从研究结论的数量入手,得到一般性结论, ()(1)1f a f a +-=Q ,转化为已知问题,体现了从特殊到一般的解题思路；
2．从特殊到一般或从一般到特殊的转化,往往有助于发现问题的解决途径,突破难点.
例2：求方程123457x x x x x ++++=的正整数解的组数?
解:本题可转化为“7个相同的小球放入5个不同的盒子。
每个盒子至少放一球，共有多少种不同放法？”，这一问题用隔板法解出，故共有4
6C 组解。
变式：本问题有多少组非负整数解？问题可转化为：求方程
1234512x x x x x ++++=的正整数解的组数？答案：411C 点评：1。
上述问题的解决依靠了模型转化，将原问题转化为：
模型一：把()m m n >个相同小球放入n 个不同的盒子，每个盒子至少放一球，用用隔板法解决；模型二：把m 个相同小球随意放入n 个不同的盒子，用隔板法解决；
2．从数学解题过程实质上是对问题由未知向已知的转化过程，注意
类比以前解决过的问题，找出其共性和差异，应用于解题中，通常表现为构造熟悉的事例模型，在待解问题与已知问题间转模即未知向已知和转化。
例3：已知二次函数22()42(2)21f x x p x p p =----+在区间[1,1]
-内至少有一个值c,使得()0f c >，求实数p 的取值范围.
解：此题从反面分析，采取补集法则比较简单.
如果在[1,1]-内没有点满足()0f c >，
则(1)0(1)0f f -≤⎧⎨≤⎩11,23
32p orp p orp ⎧≤-≥⎪⎪⇒⎨⎪≤-≥⎪⎩3p ⇒≤-或32
p ≥ 取补集为332p -<<即为所求的p 的取值范围.
点评：1。
在有些数学问题中，正面复杂，反面简单，只要逆向分析，进行排除，就能使问题得到简单的解答，同时这也是解答选择题的有效方法；
2．解答某些问题，若按习惯正面进攻很难奏效或运算较繁时，就可考虑从相反方向去探求，攻其反面成功便使正面问题得到解决。
例4： 若对一切2,,p p R ≤∈不等式
2222(log )log 12log x p x x p ++>+恒成立，
求实数x 的取值范围.
解：令2log a x =，记2()(1)21,f p a p a a =-+-+
则()f p 是p 的一次函数，原不等式对任意的[2,2]p ∈-总成立，等价于()0f p >对任意的[2,2]p ∈-总成立，等价于
(2)0(2)0f f >⎧⎨->⎩即222(1)2102(1)210
a a a a a a ⎧-+-+>⎪⎨--+-+>⎪⎩等价于 221430a a a ⎧>⎪⎨-+>⎪⎩
3a ∴> 或1a <-，2log 3x ∴>或2log 1x <-
8,x ∴> 或102
x <<。
点评：1。
作整体换元2log a x =，使原不等式的特征暴露得更明显，
虽然212a pa a p ++>+有二次不等式的结构,但把它看作是关于p
的一次不等式,从而构造了一个一次函数()f p ；
2．利用主元与参变量的关系,视参变量为主元(即参变量与主元的角色换位),反客为主，变更主元，常常可以简化问题。
例5：
求函数3y =++的值域.
解：2210+=Q
设θ=
，θ=，[0,]2
πθ∈
则3y =++
3θθ=++
)36
πθ=++ 0,2π
θ≤≤Q 2,663
π
π
πθ∴≤+≤ 1sin()126
πθ∴≤+≤
++.
∴所求函数的值域为3,3]
点评：1。
三角函数求值域应用较为广泛，常化为基本函数；
2．利用代换进行转化，如代数问题三角化，三角问题代数化，常可以达到繁化简的目的.
五、本课小结
1、化归与转化的思想方法的基本原则是简单化，熟悉化，直观化，
而化归与转化的关键是善于发现问题之间的内在联系，选择有
创造性的手段不实现有效的化归。
2、运用化归与转化的思想解决问题，通常有以下几种策略：
⑴一般与特殊的转化（例一）
⑵未知与已知的转化（例二）
⑶正面与反面的转化（例三）
⑷主元与次元的转化（例四）
⑸简单与复杂的转化（例五）
⑹数与形的转化（见数形结合的思想与方法，此略）
3、通过习题来升华对“化归与转化的思想方法”的认识，且要求学生具有一定的观察、分析能力，在出现多种解法时，要进行解法优化，力争思路简捷运算简单化。
六、课后作业：
高考二轮复习资料P.223~226 14~18
七、板书设计：
化归与转化的思想方法
⑴一般与特殊的转化（例一）
⑵未知与已知的转化（例二）
⑶正面与反面的转化（例三）
⑷主元与次元的转化（例四）
⑸简单与复杂的转化（例五）
八、教学后记
教学过程中我发现学生存在以下问题：
⑴不能对题设问题进行有效的等价转化（等价转化是化归与
转化的思想方法的关键）；
⑵基本概念、性质模糊不清，已知的模型较少，不便于转化；
⑶创新性略欠，简单与复杂的转化难以实现。
解决办法：
①教学过程中，加大对基本概念、性质、公式的理解力度；
②解题教学时有针性的让学生自己已分析问题，帮助学生如何
有效挖掘题设条件，注意解题过程中的等价转化；。
③正难则反的思维；
④加强创新。