2009(上)《数理统计》考试题(A 卷)及参考解答
一、填空题（每小题3分，共15分）
1，设总体X 和Y 相互独立，且都服从正态分布2(0,3)N ，而129(,,)X X X 和129(,,)Y Y Y 是分别来自X 和Y
的样本，则U =
服从的分布是_______ .
解：(9)t ．
2，设1ˆθ与2ˆθ都是总体未知参数θ的估计，且1ˆθ比2ˆθ有效，则1ˆθ与2
ˆθ的期望与方差满足_______ . 解：1212
ˆˆˆˆ()(), ()()E E D D θθθθ=<． 3，“两个总体相等性检验”的方法有_______ 与____ ___. 解：秩和检验、游程总数检验．
4，单因素试验方差分析的数学模型含有的三个基本假定是_______ . 解：正态性、方差齐性、独立性．
5，多元线性回归模型=+Y βX ε中，β的最小二乘估计是ˆβ=_______ . 解：1ˆ-''X Y β=
()X X ． 二、单项选择题（每小题3分，共15分）
1，设12(,,,)(2)n X X X n ≥ 为来自总体(0,1)N 的一个样本，X 为样本均值，2
S 为样本方差，则
____D___ .
（A ）(0,1)nX N ； （B ）2
2()nS n χ
；
（C ）
(1)()n X t n S
- ； （D ）2
12
2
(1)(1,1)n i i n X F n X =--∑ . 2，若总体2(,)X N μσ ，其中2σ已知，当置信度1α-保持不变时，如果样本容量n 增大，则μ的
置信区间____B___ .
（A ）长度变大； （B ）长度变小； （C ）长度不变； （D ）前述都有可能.
3，在假设检验中，分别用α，β表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容量n 一定时，下列说法中正确的是____C___ .
（A ）α减小时β也减小； （B ）α增大时β也增大； （C ）,αβ其中一个减小，另一个会增大； （D ）（A ）和（B ）同时成立.
4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设T S 为总离差平方和，e S 为误差平方和，A S 为效应平方
和，则总有___A___ .
（A ）T e A S S S =+； （B ）22
(1)A
S r χσ
- ；
（C ）
/(1)
(1,)/()
A e S r F r n r S n r ---- ； （D ）A S 与e S 相互独立.
5，在一元回归分析中，判定系数定义为2
T
S R S =回
，则___B____ .
（A ）2
R 接近0时回归效果显著； （B ）2
R 接近1时回归效果显著； （C ）2R 接近∞时回归效果显著； （D ）前述都不对.
三、（本题10分）设总体21(,)X N μσ 、22(,)Y N μσ ，112(,,,)n X X X 和212(,,,)n Y Y Y 分别
是来自X 和Y 的样本，且两个样本相互独立，X Y 、和22X Y
S S 、分别是它们的样本均值和样本方差，证明
12)(2)X Y t n n +- ，
其中22
2
1212(1)(1)2
X Y
n S n S S n n ω-+-=+-.
证明：易知
2
2
121
2
(,
)X Y N n n σσμμ--+
，
(0,1)X Y U N =
．
由定理可知
2
2
112
(1)(1)X
n S n χσ
-- ，
2
2222
(1)(1)Y
n S n χσ
-- ．
由独立性和2χ分布的可加性可得
2
2
212122
2
(1)(1)(2)X
Y
n S n S V n n χσσ--=
+
+- ．
由U 与V 得独立性和t 分布的定义可得
12)(2)X Y t n n =+- ．
四、（本题10分）已知总体X 的概率密度函数为1, 0
(),0, x
e x
f x θ
θ-⎧>⎪=⎨⎪⎩
其它其中未知参数0θ>,
12(,,,)n X X X 为取自总体的一个样本，求θ的矩估计量，并证明该估计量是无偏估计量．
解：（1）()10
1
()x
v E X xf x dx xe dx θ
θθ-
∞
∞
-∞
==
==⎰
⎰
，用11
1n
i
i v X X n ===∑ 代替，所以 ∑===n
i i
X X
n
1
1ˆθ．
（2）1
1ˆ()()()()n
i
i E E X E X E X n θθ=====∑，所以该估计量是无偏估计． 五、（本题10分）设总体X 的概率密度函数为(;)(1),01f x x x θθθ=+<<，其中未知参数1θ>-，
12(,,)n X X X 是来自总体X 的一个样本，试求参数θ的极大似然估计．
解：
1 (1)() , 01
() 0 , n
n i i i x x L θ
θθ=⎧+∏<<⎪=⎨⎪⎩其它
当01i x <<时，1ln ()ln(1)ln n
i i L n x θθθ==++∑，令1
ln ()ln 01n
i i d L n
x d θθθ==+=+∑，得
1
ˆ1ln n
i
i n
x
θ
==--∑．
六、（本题10分）设总体X 的密度函数为e ,>0;
(;)0,0,x x f x x λλλ-⎧=⎨≤⎩
未知参数0λ>，12(,,)
n X X X 为总体的一个样本，证明X 是
1
λ
的一个UMVUE ．
证明：由指数分布的总体满足正则条件可得
222211
()ln (;)I E f x E λλλλλ⎡⎤∂-⎛⎫=-=-= ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎣⎦
，
1
λ
的的无偏估计方差的C-R 下界为
2
2212
2
1[()]11()nI n n λλλλλ
-⎡⎤
⎢⎥'⎣⎦==．
另一方面
()1E X λ=， 2
1
V a r ()X
n λ
=，
即X 得方差达到C-R 下界，故X 是
1
λ
的UMVUE ．
七、（本题10分）合格苹果的重量标准差应小于0.005公斤．在一批苹果中随机取9个苹果称重, 得其样本标准差为007.0=S 公斤, 试问：（1）在显著性水平05.0=α下, 可否认为该批苹果重量标准差达到要求? （2）如果调整显著性水平0.025α=，结果会怎样？
参考数据: 023.19)9(2025.0=χ, 919.16)9(205.0=χ, 535.17)8(2025.0=χ, 507.15)8(2
05.0=χ．
解：（1）()()22
2
2
02
1:0.005,
~8n S H σχχσ
-≤=，则应有： ()()2220.050.05
80.005,(8)15.507P χχχ>=⇒=， 具体计算得：2
2
2
80.00715.6815.507,0.005
χ⨯==>所以拒绝假设0H ，即认为苹果重量标准差指标未达到要求．
（2）新设 2
0:0.005,H σ≤ 由2
22
0.025
2
80.00717.535,15.6817.535,0.005χ
χ⨯=⇒==< 则接受假设，
即可以认为苹果重量标准差指标达到要求．
八、（本题10分）已知两个总体X 与Y 独立，211~(,)X μσ，2
22~(,)Y μσ，22
1212, , , μμσσ未知，
112(,,,)n X X X 和212(,,,)n Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本，求2
122
σσ的置信度为1α-的置信区间.
解：设22
, X Y
S S 分别表示总体X Y ，的样本方差，由抽样分布定理可知 2
2
1121
(1)(1)X
n S n χσ
-- ，
2
22222
(1)(1)Y
n S n χσ
-- ，
由F 分布的定义可得
2
112
2212
122
2221
222
(1)(1)(1,1)(1)(1)
X
X Y
Y n S n S F F n n n S S n σσσσ
--=
=---- ． 对于置信度1α-，查F 分布表找/212(1,1)F n n α--和1/212(1,1)F n n α---使得 []/2121/212(1,1)(1,1)1P F n n F F n n ααα---<<--=-， 即
22222
121/2122/212//1(1,1)(1,1)X Y X Y S S S S P F n n F n n αασασ-⎛⎫<<=- ⎪----⎝⎭
，
所求222
1σσ的置信度为α-1的置信区间为 2222
1/212/212//, (1,1)(1,1)X Y X Y S S S S F n n F n n αα-⎛⎫ ⎪----⎝⎭
．
九、(本题10分)试简要论述线性回归分析包括哪些内容或步骤．
解：建立模型、参数估计、回归方程检验、回归系数检验、变量剔除、预测．。