答案:(1)B
(2)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,M为BD1的中点,N在A1C1上,且|A1N|=
3|NC1|,则MN的长为
.
解析:(2)如图,以D为顶点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DD1所 在直线为z轴建立空间直角坐标系Dxyz,则A1(4,0,4),B(4,4,0), C1(0,4,4),D1(0,0,4). 因为M为BD1的中点,所以M(2,2,2), 因为N在A1C1上,且|A1N|=3|NC1|,
方法技巧 向量平行与垂直问题的两种类型 (1)平行与垂直的判断 ①应用向量的方法判定两直线平行,只需判断两直线的方向向量是否共线; ②判断两直线是否垂直,关键是判断两直线的方向向量是否垂直,即判断两 向量的数量积是否为0. (2)利用平行与垂直求参数或其他问题,即平行与垂直的应用.解题时要注 意:①适当引入参数(比如向量a,b平行,可设a=λb),建立关于参数的方程;② 选择坐标形式,以达到简化运算的目的.
梳理 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),
则a+b= (a1+b1,a2+b2,a3+b3)
;
a-b= (a1-b1,a2-b2,a3-b3)
;
λa=(λa1,λa2,λa3)(λ∈R);
a·b= a1b1+a2b2+a3b3
;
a∥b⇔a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R);
题型四 易错辨析——由向量的夹角求参数的取值范围时忽略隐含或限制 条件而致误
纠错:解答本题易出现的失误是忽视了a·b<0包含a与b夹角为180°的情况,即a与b 的夹角为钝角不等价于a·b<0.
a⊥b⇔ a1b1+a2b2+a3b3=0
.
知识点二 空间向量夹角和距离的坐标计算公式
梳理 (1)夹角公式 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),
则cos<a,b>=
.
课堂探究 素养提升
题型一 空间向量的坐标运算
方法技巧
题型二 利用向量解决平行与垂直问题
(2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求k.
一题多变:将本例(2)中“若ka+b与ka-2b互相垂直”改为“若ka+b与a+kb互相 平行”,其他条件不变,求k的值.
解:a=(1,1,0),b=(-1,0,2),所以ka+b=(k,k,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2), a+kb=(1,1,0)+(-k,0,2k)=(1-k,1,2k), 因为ka+b与a+kb平行,所以ka+b=λ(a+kb)(λ∈R), 即(k-1,k,2)=λ(1-k,1,2k),
题型三
利用向量的坐标形式求夹角与距离
方法技巧 (1)求空间中两向量夹角的方法 ①基向量法:结合图形,选取一组合适的基底,将两向量用基向量表示出来, 然后代入夹角公式求解;②坐标法:在图形中建立空间直角坐标系,然后求出 两向量的坐标,代入向量的夹角坐标公式求解.利用坐标法要注意两点,一是 坐标系的选取,二是要注意夹角的范围<a,b>∈[0,π],要特别关注向量共线 的情况. (2)求空间中线段的长 ①建立恰当的空间直角坐标系;②求出线段端点的坐标,并求出对应向量的 坐标;③利用向量的模的坐标公式求向量的模,即线段的长.
空间向量运算的坐标表 示
课标要求
素养达成
1.理解空间向量坐标的概念,会确定一些 简单几何体的顶点坐标. 2.掌握空间向量的坐标运算规律,会判断 两个向量的共线或垂直. 3.掌握空间向量的模,夹角公式和两点间 距离公式,并能运用这些知识解决一些相 关问题.
通过与平面向量的坐标 运算的比较,培养学生观 察、分析、类比转化能 力,提高学生的分析问题 和解决问题的能力.
新知探求 素养养成
知识点一 空间向量运算的坐标表示 已知在单位正交基底{i,j,k}下,向量 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3). 问题:向量a+b,a-b的坐标分别是如何推导的? 答案:a+b=(a1i+a2j+a3k)+(b1i+b2j+b3k)=(a1+b1)i+(a2+b2)j+(a3+b3)k,故 a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3),同理有a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3).