内蒙古包头市昆区2018-2019年度初三第一学期数学期末试卷一．选择题（共10小题,每小题3分，共30分）1．已知一个几何体及其左视图如图所示，则该几何体的主视图是（）A．B．C．D．【分析】根据主视图的定义，并从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线，据此可得．【解答】解：由主视图定义知，该几何体的主视图为：故选：A．2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，cos A的值等于，则AB的长度是（）A．3B．4C．5D．【分析】根据题意可得＝，进而可得AB的长．【解答】解：∵cos A的值等于，∴＝，则＝，解得：AB＝．故选：D．3．用配方法解一元二次方程x2+4x﹣3＝0时，原方程可变形为（）A．（x+2）2＝1B．（x+2）2＝7C．（x+2）2＝13D．（x+2）2＝19【分析】把方程两边加上7，然后把方程左边写成完全平方式即可．【解答】解：x2+4x＝3，x2+4x+4＝7，（x+2）2＝7．故选：B．4．如图，点E是反比例函数y＝（x＞0）图象上任意一点，EF⊥y轴于F，点G是x轴上的动点，则△EFG的面积为( )A.1B.2C.3D.4【分析】可以设出E的坐标是（m，n），△EFG的面积即可利用E的坐标表示，据此即可求解．【解答】解：设E的坐标是（m，n），则mn＝4．∵EF＝m，△EFG的EF边上的高等于n．∴△EFG的面积＝mn＝2．故答案是：B．5．y＝x+1是关于x的一次函数，则一元二次方程kx2+2x+1＝0的根的情况为（）A．没有实数根B．有一个实数根C．有两个不相等的实数根D．有两个相等的实数根【分析】由一次函数的定义可求得k的取值范围，再根据一元二次方程的判别式可求得答案．【解答】解：∵y ＝x +1是关于x 的一次函数， ∴≠0，∴k ﹣1＞0，解得k ＞1，又一元二次方程kx 2+2x +1＝0的判别式△＝4﹣4k ，∴△＜0，∴一元二次方程kx 2+2x +1＝0无实数根，故选：A ．6．从数﹣2，﹣，0，4中任取一个数记为m ，再从余下的三个数中，任取一个数记为n ，若k ＝mn ，则正比例函数y ＝kx 的图象经过第三、第一象限的概率是（ ）A.13B. 14 C .16 D.112【分析】根据题意先画出图形，求出总的情况数，再求出符合条件的情况数，最后根据概率公式进行计算即可．【解答】解：从数﹣2，﹣，0，4中任取1个数记为m ，再从余下，3个数中，任取一个数记为n ．根据题意画图如下：共有12种情况，∵正比例函数y ＝kx 的图象经过第三、第一象限，∴k ＝mn ＞0．由树状图可知符合mn ＞0的情况共有2种，∴正比例函数y ＝kx 的图象经过第三、第一象限的概率是＝．故答案为:B7．如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，过点C 作AB 垂线交AB 延长线于点E ，连结OE ，若AB ＝2，BD ＝4，则OE 的长为（ ）A．6B．5C．2D．4【分析】先判断出OE＝OA＝OC，再求出OB＝1，利用勾股定理求出OA，即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，BD⊥AC，∵CE⊥AB，∴OE＝OA＝OC，∵BD＝4，∴OB＝BD＝2，在Rt△AOB中，AB＝2，OB＝2，∴OA＝＝4，∴OE＝OA＝4．故选：D．8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，D为AB上一点，且AD：DB＝1：3，DE ⊥AC于点E，连接BE，则tan∠CBE的值等于（）A．B．C．D．【分析】根据题意和30°角所对的直角边与斜边的关系，设AB＝4a，可以用a分别表示出CE和CB的值，从而可以求得tan∠CBE的值．【解答】解：设AB＝4a，∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，D为AB上一点，且AD：DB＝1：3，∴BC＝2a，AC＝2a，AD：AB＝1：4，∵∠C＝90°，DE⊥AC，∴∠AED＝90°，∴∠AED＝∠C，∴DE∥BC，∴△AED∽△ACB，∴，∴，∴AE＝，∴EC＝AC﹣AE＝，∴tan∠CBE＝，故选：C．9．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点，PE⊥AB 于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则AM的最小值是（）A．2.5B．2.4C．2D．3【分析】根据矩形的性质就可以得出EF，AP互相平分，且EF＝AP，根据垂线段最短的性质就可以得出AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小，由勾股定理求出BC，根据面积关系建立等式求出其解即可．【解答】解：∵PE⊥AB，PF⊥AC，∠BAC＝90°，∴∠EAF＝∠AEP＝∠AFP＝90°，∴四边形AEPF是矩形，∴EF，AP互相平分．且EF＝AP，∴EF，AP的交点就是M点，∵当AP的值最小时，AM的值就最小，∴当AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小．∵AP×BC＝AB×AC，∴AP×BC＝AB×AC，在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC＝＝10，∵AB＝6，AC＝8，∴10AP＝6×8，∴AP＝，∴AM＝，故选：B．10．如图，△ABC中，AC＝6，AB＝4，点D与点A在直线BC的同侧，且∠ACD＝∠ABC，CD＝2，点E是线段BC延长线上的动点，当△DCE和△ABC相似时，线段CE的长为（）A．3B．C．3或D．4或【分析】根据题目中的条件和三角形的相似，可以求得CE的长，本题得以解决．【解答】解：∵△DCE和△ABC相似，∠ACD＝∠ABC，AC＝6，AB＝4，CD＝2，∴∠A＝∠DCE，∴＝或＝，即＝或＝解得，CE＝3或CE＝故选：C．二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）11.计算：3tan30°−cos245°+1cos60°-2sin60°= .分析：把特殊角的三角函数值代入即可求出答案。

答案：3 212．受“减少税收，适当补贴”政策的影响，某市居民购房热情大幅度提高。

据调查，2018年1月某市房地产公司的住房销售量为100套，3月份的住房销售量为169套，若每月平均增长的百分率相同，则该公司这两个月住房销售量的平均增长率为．【分析】关系式为：1月的产量×（1+增长率）2＝169，把相关数值代入即可求解．【解答】解：由题意可得，100（1+x）2＝169，解得x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（舍去）．故答案是：30%．13．已知矩形的长和宽分别是关于x的方程2x2+mx+8＝0（m≥8）的两根，则矩形的面积是．【分析】不妨设矩形的长和宽分别为a、b，由根与系数的关系可求得ab的值，即可求得答案．【解答】解：不妨设矩形的长和宽分别为a、b，∵矩形的长和宽分别是关于x的方程2x2+mx+8＝0（m≥8）的两根，∴ab＝＝4，即矩形的面积是4，故答案为：4．14．如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（3，﹣4），顶点C在x轴的正半轴上，函数y＝（k＜0）的图象经过点B，则k的值为.【分析】根据反比例函数的性质和菱形的性质可以求得点B的坐标，从而可以求得k的值．【解答】解：设点C的坐标为（c，0），∵O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（3，﹣4），顶点C在x轴的正半轴上，∴OA＝5，∴点C（0，5），∴点B的坐标为（8，﹣4），∵函数y＝（k＜0）的图象经过点B，∴﹣4＝，得k＝﹣32，故答案：—32．15．如图，小明在A时测得垂直于地面的树的影长为4米，B时又测得该树的影长为16米，两次日照的光线互相垂直，则树的高度为米。

【分析】根据题意，画出示意图，易得：Rt△EDC∽Rt△FDC，进而可得＝；即EC2＝ED•FE，代入数据可得答案．【解答】解：根据题意，作△DFC，树高为CE，且∠DCF＝90°，ED＝4，FE＝16，易得：Rt△DEC∽Rt△CEF，有＝，即EC2＝ED•EF，代入数据可得EC2＝4×16＝64，EC＝8，故树的高度为8米．答案：816.．如图，△ABC中，AB＝6，BC＝4，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AEF，使得AF∥BC，延长BC交AE于点D，则线段CD的长为。

【分析】只要证明△BAC ∽△BDA ，推出＝，求出BD 即可解决问题． 【解答】解：∵AF ∥BC ，∴∠F AD ＝∠ADB ，∵∠BAC ＝∠F AD ，∴∠BAC ＝∠ADB ，∵∠B ＝∠B ，∴△BAC ∽△BDA ，∴＝， ∴＝，∴BD ＝9，∴CD ＝BD ﹣BC ＝9﹣4＝5，故答案：517.如图，已知点O 为等边三角形ABC 的中心，OD 垂直AC,OE 垂直OD,若AB=2，则四边形ODCE 的面积为 。

分析：连接BO,则B 、O 、 D 三点位于同一直线上。

因O 为等边三角形ABC 的中心，所以DC=1，由等边三角形性质及角DOE 为90°得，角DBC=30°，OE ∕∕AC ，以求得DC OE 的长，四边形ODCE 面积为S △BDC −△BOE ,从而求出答案。

答案：5√31818．如图，把菱形ABCD 向右平移至DCEF 的位置，作EG ⊥AB ，垂足为G ，EG 与CD 相交于点K ，GD 的延长线交EF 于点H ，连接DE ，则下列结论：①DG ＝DE ；②∠DHE ＝∠BAD ；③EF +FH ＝2KC ；④∠B ＝∠EDH ．则其中所有成立的结论是 （写出所有正确结论的序号）【分析】首先证明△ADG≌△FDH，再利用菱形的性质、直角三角形斜边中线的性质即可一一判断；【解答】解：∵四边形ABCD和四边形DCEF是菱形，∴AB∥CD∥EF，AD＝CD＝DF，∴∠GAD＝∠F，∵∠ADG＝∠FDH，∴△ADG≌△FDH，∴DG＝DH，AG＝FH，∵EG⊥AB，∴∠BGE＝∠GEF＝90°，∴DE＝DG＝DH，故①正确，∴∠DHE＝∠DEH，∵∠DEH＝∠CEF，∠CEF＝∠CDF＝∠BAD，∴∠DHE＝∠BAD，故②正确，∴EF+FH＝AB+AG＝BG，故③正确，∵∠B＝∠DCE，∠CED＝∠CDE＝∠DEF＝∠DHE，∴∠B＝∠EDH，故④正确．故答案：①②③④三．解答题（共5题，46分）19．（8分）随着迪士尼公司出品的电影《寻梦环游记》的热播，公司现需要了解该节目在中学生中的受欢迎程度，走进重庆八中随机抽取部分学生就“你是否喜欢看《寻梦环游记》？”进行问卷调查，并将调查后的结果统计后绘制成如图所示的不完整条形统计图和扇形统计图，请你结合图中信息解答下列问题．（1）参与调查的学生共有人，并请补全条形统计图；（2）现在了解到3名不喜欢的学生分别是小王、小李、小张，若从他们3人中随机抽取2名同学进行座谈，请用列表法或画树状图法，求小王和小李同时被选中的概率．【分析】（1）根据不喜欢的人数和所占的百分比求出总人数，再用总人数减去非常喜欢、一般和不喜欢的人数，从而求出喜欢的人数，即可补全统计图；（2）根据题意先画出树状图得出所有等情况数和小王和小李同时被选中的情况数，再根据概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）参与调查的学生共有：3÷10%＝30（人）；喜欢的有：30﹣12﹣6﹣3＝9（人），补图如下：故答案为：30；（2）根据题意画图如下：由图可知，共有6种等可能的结果数，其中小王和小李同时被选中的有2种，则小王和小李同时被选中的概率是＝．20．（8分）如图，在△ABC中，BA＝BC，点E在BC上，且AE⊥BC，cos∠B＝，EC＝3．（1）分别求AB和AE；（2）若点P在AB边上，且BP＝4，求△BPE的面积．【分析】（1）根据∠B的余弦设AB＝5x，BE＝4x，然后根据CE＝BC﹣BE列方程求解即可得到x的值，从而求出AB，BE，再利用勾股定理列式计算即可求出AE；（2）先求出△ABE的面积，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比解答．【解答】解：（1）∵AE⊥BC，cos∠B＝，∴设AB＝5x，BE＝4x，∵BA＝BC，∴BC＝5x，∵EC＝3，CE＝BC﹣BE，∴5x﹣4x＝3，解得x＝3，∴AB＝5×3＝15，BE＝4×3＝12，在Rt△ABE中，根据勾股定理得，AE＝＝＝9；（2）△ABE的面积＝BE•AE＝×12×9＝54，∵BP＝4，∴△BPE的面积＝×54＝14.4．21．（8分）如图，在直角坐标系中，△OBA∽△DOC，边OA、OC都在x轴的正半轴上，点D的坐标为（4，3），∠BAO＝∠OCD＝90°，OB＝10．反比例函数（x＞0）的图象经过点D，交AB边于点E．（1）求反比例函数的解析式．（2）求点B的坐标．（2）求BE的长．【分析】（1）利用待定系数法求反比例函数的解析式；（2）利用点D的坐标可以求得OD、OC、DC的长度，然后利用相似三角形△OBA∽△DOC 的对应边成比例推知＝＝，据此可以求得BA＝8，OA＝6，所以点B的坐标迎刃而解了；（3）根据（2）中点B的坐标，可以设点E的坐标为（6，y）；然后利用反比例函数图象上点的坐标特征可以求得y＝2；最后根据点E的坐标可知AE＝2，所以BE＝BA﹣AE＝6．【解答】解：（1）∵点D（4，3）在反比例函数（x＞0）上，∴3＝，解得k＝12；∴反比例函数的解析式是（x＞0）；（2）∵点D的坐标为（4，3），∴DO＝5（勾股定理），OC＝4，DC＝3，又∵△OBA∽△DOC（已知），OB＝10（已知），∴＝＝（相似三角形的对应边成比例），∴BA＝8，OA＝6，∴点B的坐标为（6，8）；（3）由（2）知，点B的坐标为（6，8），故设点E的坐标为（6，y），则y＝＝2，∴点E的坐标为（6，2），∴AE＝2，∴BE＝BA﹣AE＝8﹣2＝6，即BE＝6．22．（10分）人民商场销售某种冰箱，每台进价为2500元，市场调研表明：当每台销售价定为2900元时，平均每天能售出8台；每台售价每降低50元，平均每天能多售出4台．设该种冰箱每台的销售价降低了x元．（1）填表：（2）若商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，则每台冰箱的售价应定为多少元？【分析】（1）销售利润＝一台冰箱的利润×销售冰箱数量，一台冰箱的利润＝售价﹣进价，降低售价的同时，销售量就会提高，“一减一加”；（2）根据每台的盈利×销售的件数＝5000元，即可列方程求解．【解答】解：（1）销售1台的利润：2900﹣2500＝400；降价后销售的数量：8+×4，降价后销售的利润：400﹣x；故答案是：400；8+×4，400﹣x．（2）设销售价降低了x元，根据题意可得：（400﹣x）•（8+×4）＝5000，整理得：x2﹣300x+22500＝0，（x﹣150）2＝0，解得：x1＝x2＝150，2900﹣150＝2750（元），答：每台冰箱的售价应定为2750元．23．（12分）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝a，BC＝10，动点P沿CA方向从点C向点A 运动，同时，动点Q沿CB方向从点C向点B运动，速度都为每秒1个单位长度，P、Q 中任意一点到达终点时，另一点也随之停止运动．过点P作PD∥BC，交AB边于点D，连接DQ．设P、Q的运动时间为t．（1）直接写出BD的长；（用含t的代数式表示）（2）若a＝15，求当t为何值时，△ADP与△BDQ相似；（3）是否存在某个a的值，使P、Q在运动过程中，存在S△BDQ：S△ADP：S梯形CPDQ＝1：4：4的时刻，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据PD∥BC，AB＝AC，即可求出BD；（2）根据平行线得出比例式，求出PD，根据△ADP和△BDQ，得出比例式，代入即可求出答案；（3）假设存在，根据设四边形CPDQ的边CQ上的高是h，推出△BDQ的边BQ上的高是h，△ABC的边BC上的高是3h，根据△BDQ和△ABC的面积之间的关系，求出t的值，根据PD∥BC，得出比例式，代入求出a即可．【解答】解：（1）BD＝t．（2）∵PD∥BC，AB＝AC＝15，∴＝，∴AD＝AP＝15﹣t，∴BD＝CP＝t，∵AC＝15，BC＝10，CP＝t，∴PD＝10﹣t，∵△ADP和△BDQ相似，∴＝或＝，∴＝或＝解得：t1＝4，t2＝15（舍去），t3＝15＞10（舍去），t4＝6答：t＝4或6时，△ADP与△BDQ相似．（3）存在，理由是：假设存在S△BDQ：S△ADP：S梯形CPDQ＝1：4：4，即＝＝，∵PD∥BC，∴△APD∽△ACB，相似比是，∴＝，设四边形CPDQ的边CQ上的高是h，则△BDQ的边BQ上的高是h，△ABC的边BC上的高是3h，∴BQ×h＝×BC×3h，（10﹣t）＝×3×10，∴t＝，∵AP＝a﹣t＝a﹣，AC＝a，∴＝，代入解得：a＝20，答：存在某个a的值，使P、Q在运动过程中，存在S△BDQ：S△ADP：S梯形CPDQ＝1：4：4的时刻，a的值为20.。