8．若 ， ，若 ，则实数 的取值范围为_________；
9．若不等式 的解集为区间 ，且 ，则 ．
10．对函数设 ， ，则函数 的零点个数 的通项公式为_________；
11． 为等差数列，则使等式 能成立的数列 的项数 的最大值为_________；
12．已知 ，则 的最小值是_________.
（1）用 表示 ；
（2）求证： ，并且 ；
（3）记 ，求证： .
参考答案
1．
【解析】
【分析】
先计算集合 得到 ，再计算集合 得到 ，再计算 得到答案.
【详解】
，
，
故答案为：
【点睛】
本题考查了集合的混合运算，意在考查学生的计算能力.
2．
【分析】
不等式化简得到 ，计算得到答案.
【详解】
或
故答案为
【点睛】
本题考查了解不等式，属于基础题型.
3．
【分析】
讨论 和 两种情况，根据函数的单调性计算值域得到答案.
【详解】
当 时：函数 单调递增， ；
当 时：函数 单调递减， ，无解.
综上所述：
故答案为：
【点睛】
本题考查了函数的定义域和值域，分类讨论是一种常用的方法，需要熟练掌握.
4．
【分析】
利用函数表达式解得 ，得到反函数.
二、单选题
13．设a，b，c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（）
A． B．
C． D．
14．设 、 、 是三个集合，则“ ”是“ ”的（）条件.
A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分又非必要
15．函数 的反函数图像向左平移1个单位，得到曲线 ，函数 的图像与曲线 关于 成轴对称，那么 （）
【详解】
故函数的反函数为
故答案为
【点睛】
本题考查了反函数的计算，忽略掉定义域是容易发生的错误.
5．5
【分析】
根据等差数列定义求得数列 的前 项和 ；由 求得数列 的通项公式，利用 求得数列 的通项公式，进而求得数列 的前n项和 ；依次代入求解即可得到n的最小值．
所以 ，化简得
则
所以
当 时，
所以
因为
所以
所以
所以
所以使得 成立的 的最小值为5
【点睛】
本题考查了等差数列通项公式、等差数列前n项和公式、等比数列前n项和公式的综合应用，熟练掌握数列的性质和应用，属于难题．
6．
【分析】
讨论定义域包含 和定义域不包含 两种情况，计算得到答案.
【详解】
函数 是奇函数
当定义域包含 时： ，
故答案为：
【点睛】
本题考查了集合的关系求参数，将 等价于在 上 恒成立是解题的关键.
9．
【解析】
【详解】
试题分析：如图所示，不等式 的解集为 ，且 ，所以必有 ，又 ，解得 ，则直线 ，过点 ，代入解得 ．
考点：直线与圆的位置关系及其应用．
【方法点晴】
本题主要考查了直线与圆的位置关系及其应用，其中解答中涉及到不等式的解法转化为直线与半圆的位置关系、直线的点斜式方程的应用等知识点的综合考查，着重考查了分析问题和解答问题能力，以及数形结合、转化思想的应用，本题的解答中把不等式问题转化为直线与圆的位置关系是解答的关键，试题有一定的难度，属于难题．
10．
【分析】
先计算 ，根据题意得到递推公式 或 ，计算得到答案.
【详解】
计算易知：
，则
当 时，得到 即 ，对应数列为 ；
当 时，得到 即 ，（ 舍去）
，继续迭代得到
即
当 时：方程的解的个数为 ， ， ；
当 时：方程的解的个数为 ， ；
当 时：方程的解的个数为 ， ， .
（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超出油库的容量，试确定 的取值范围.
20．已知函数 ，且 ，对任意实数 ， 成立.
（1）求函数 的解析式；
（2）若 ，解关于 的不等式 ；
（3）求最大的 使得存在 ，只需 ，就有 .
21．已知数列 的各项均为正数，且都小于1， ， ，设数列的前 项和为 .
上海市上海中学2020-2021学年高三上学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．设全集 ， ， ，则 _________；
2．不等式 的解是_________；
3．若指数函数 的定义域和值域都是 ，则 _________；
此时 ， ，满足；
当定义域不包含 时：即
此时 ， ，满足.
综上所述：
故答案为：
【点睛】
本题考查了利用函数的奇偶性求参数，漏解是容易发生的错误.
7．10
【分析】
判断函数为奇函数和单调递增函数，根据不等式得到 ，画出可行域和目标函数，根据平移得到最值.
【详解】
，奇函数；
，易知 单调递增，故 单调递减.
故
（1）请画出函数 的图像；
（2）请写出函数 的基本性质.
19．某油库的设计容量为30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油 万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前 个月的需求量 （万吨）与 的函数关系为 ，并且前4个月区域外的需求量为20万吨.
（1）试写出第 个月石油调出后，油库内储油量 （万吨）与 的函数关系式；
A． B． C． D．
16．已知函数 为定义域 上的奇函数，且在 上是单调递增函数，函数 ，数列 为等差数列，且公差不为0，若 ，则 （）
A．18B．9C．27D．81
三、解答题
17．若数列 是递增的等差数列，其中 ，且 ， ， 成等比数列.
（1）求 的通项公式；
（2）求 的前 项和 的通项公式.
18．对于两个实数 ， ， 表示 ， 中的较小数，已知函数 .
如图所示：画出可行域和目标函数 ，根据平移得到答案
当 时，有最大值为
【点睛】
本题考查了函数的单调性，奇偶性，线性规划，综合性强，计算量大，意在考查学生的综合应用能力.
8．
【分析】
计算集合 ， 等价于在 上 恒成立，计算
的最小值得到答案.
【详解】
，
，等价于在 上 恒成立，即
设 易知函数在 单调递减， ，故
4．函数 的反函数为_________；
5．已知数列 的前 项和为 ，且数列 是首项为3，公差为2的等差数列，若 ，数列 的前 项和为 ，则使得 成立的 的最小值为__________.
6．如果函数 是奇函数，则实数 _________；
7．设函数 ，若 满足不等式 ，则当 时， 的最大值为_________；