4 2
4 2
2
j 4 xyz k
( 3 xz )
2
（2） div ( rot F )

(2 z 2 x y ) x

y

( 4 xyz ) z
4 xy 0 4 xy 0
3 斯托克斯公式的向量形式

F ( x , y , z ) dl
C
rot F n
[( y

R

Q z
)i (
P z

R x
)j(

) k ] n dS
0

( y

R

Q z
) dydz (
P z

R x
) dzdx (

P y
) dxdy
例1 求 C
z dx x dy y dz ,
2 3 2
其中 C 是曲面z x 2 y 2
z
1
解 原式

n
1


i x 2y z
1 3
j y x z
k z y x
n dS
0
C
o
1
y
x

{ 2 , 2 , 1} {

1 3
,
1 3
,
} dS
3 dS

3 2
二 旋度（rotation）
1 环量
定义1 设 F ( x , y , z ) { P , Q , R } 是空间中一向量场，

0
dS
(1 cos 2 t ) dt (1 2 cos 2 t cos
2
0
o
y

2
2 t ) dt
x
2

2
1 cos 4 t 2
dt 3
0
例2 求 C ( 2 y
z ) dx ( x z ) dy ( y x ) dz ,
其中 C
是平面 x y z 1 与三坐标面的交线组成的闭曲线， 取逆时针方向。
cos
2
d
d 3
3
另法： 因为 C 的参数方程为
x 2 cos t , y
2
2 sin t , z 2
3 2
(t : 0 2 )
z
所以 C


z dx x dy y dz
2
C
2


0
(4
2 sin t 4 cos
2
4
t ) dt
0
2
连续偏导数， 则有
i x P j y Q k z R
斯 托 克 斯 公 式

Pdx Qdy Rdz
C


n dS
0
注： Pdx Qdy Rdz
C


i x P
j y Q
Q x
k z R
P y Q x
n dS
0

i x P j y Q k z R
rot F
例3 设
F xz i 2 x yz j 2 yz k ,
3 2 4
求 rot F , div ( rot F ).
k z 2 yz
4
解 （1） rot F
i x xz
3
j y 2 x yz
2
( 2 z 2 x y ) i 3 xz
与平面 z 2 的交线， 取逆时针方向。
i x z

o
D xy
2
2
z
n
解 原式
C
2


j y x
3
k z y
2
n dS
0

2 ydydz

2 zdzdx 3 x dxdy
2
y



0
3 x dxdy 22来自D xy2 0
3 x dxdy
2
x
3
§10.7 斯托克斯（Stokes）公式与旋度
一 斯托克斯公式 二 旋度
一 斯托克斯公式

C
定理：设空间有向光滑闭曲线 C 是有向曲面 的 边界， 的侧与C 的方向符合右手法则， P ( x , y , z ), 且
Q ( x , y , z ), R ( x, y, z)
在包含 的某个空间区域上有
则 F ( x , y , z ) 沿空间有向闭曲线 C 的环量定义为：

F ( x , y , z ) dl
C

Pdx Qdy Rdz
C
2 旋度 定义2
设
F ( x, y , z ) {P , Q , R}
是空间中一向量场，
则 F ( x , y , z ) 在该场中任一点 M ( x , y , z ) 处的旋度定义为 向量