教学目标1熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式.2 •掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法.3•能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题. 教学内容知识梳理1求数列的前n 项和的方法 (1) 公式法①等差数列的前n 项和公式n n 1 ,=na i + d .2②等比数列的前n 项和公式 (I )当 q = 1 时，S n = na i ;(2) 分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解. (3) 裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项. (4) 倒序相加法这是推导等差数列前 n 项和时所用的方法，将一个数列倒过来排序，如果原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和.(5) 错位相减法这是推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法，主要用于求 ｛a n • b n ｝的前n 项和，其中｛a n ｝和｛b n ｝分别是等差数列和等比数列.⑹并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如 a n = (— 1)n f (n)类型，可采用两项合并求解.例如，S n = 1002— 992+ 982 — 972+…+ 22 — 12= (100 + 99) + (98 + 97)+…+ (2 + 1) = 5 050.数列求和的方法n a i a n Si=—2(n )当q 丰1时,a i 1 q n 1 qa 1 — a n q 1 - q③常见的数列的前 n 项和：1+n=垃 1) , 1+3+5+••…+(2r — 1)= n 22122232+n 2n(n 罟,13 23 33+n 32n(n 1)等22. 常见的裂项公式 1 (1)-n n=1 _1 ______ 1 ；⑶ 2n 1 2n 12(2n—1 2n +1⑷ =2 -nn1n2 2nn1 n1n21 1 1 1⑹设等差数列｛an ｝的公差为d ,则站=歳-齐).数列求和题型 考点一公式法求和一 11. (2016新课标全国I)已知｛a n ｝是公差为3的等差数列，数列｛b n ｝满足b 1= 1 , b 2 = 3 , a n b n + 1 + b n +1 = nb n . (1) 求｛a n ｝的通项公式； (2) 求｛b n ｝的前n 项和.2. (2013新课标全国I, 17)已知等差数列｛a n ｝的公差不为零，a 1= 25,且a 1, an , a 13成等比数列 (1) 求｛a n ｝的通项公式； (2) 求 a 1+ a 4+ a 7+ …+ a 3n — 2.变式训练 1.(2015四川，16)设数列｛a n ｝(n = 1, 2, 3,…)的前n 项和S n满足S n = 2a n — a 1，且a 1, a 2+1, a 3成等差数列.(1)求数列｛ a n ｝的通项公式；1⑵设数列 a 的前n 项和为T n ，求T n .2. （2014 福建，17）在等比数列｛a n ｝中，a 2= 3, a 5= 81. （1）求 a n ；⑵设b n = log 3a n ,求数列｛b n ｝的前n 项和S n .1⑵-n n k11 1 k (n n + k )；(5) n + . n + kn).考点二错位相减法1.（山东）已知数a的前n项和S n=3n2+8n, b n是等差数列，且a n b n b n（I）求数列b n的通项公式；（I）令C n(a n1）n 1求数列c n的前n项和T n.(b n2)n2.（2015 天津，18）已知数列｛a n｝满足a n+ 2= qa n（q 为实数，且q丰1,）n I N*, a1= 1,a2 = 2,且a2+ a3, a3+ a4,a4 + a5成等差数列.（1）求q的值和｛a n｝的通项公式；⑵设b n=lpg d, n I N*,求数列｛b n｝的前n项和.a2n-1变式训练1. （2014 江西，17）已知首项都是1 的两个数列｛a n｝, ｛b n｝（b n M0 n IN*）满足a n b n+ 1-a n + 1b n+ 2b n+ 1b n= 0.（1）令C n=严，求数列｛C n｝的通项公式；b n⑵若b n= 3旷1，求数列｛a n｝的前n项和S n.2. (2014四川，19)设等差数列｛a n｝的公差为d，点(a n, b n)在函数f(x)= 2x的图象上(n I N*).(1) 若a i = - 2,点(a8, 4b7)在函数f(x )的图象上，求数列｛a n｝的前n项和S n；1 a n(2) 若a1= 1,函数f(x)的图象在点(a2, b2)处的切线在x轴上的截距为2-应，求数列恳的前n项和T n.3. (2015湖北，18)设等差数列｛a n｝的公差为d，前n项和为S n,等比数列｛b n｝的公比为q，已知b1= a1, b2 =2, q = d, S10 = 100.(1) 求数列｛a n｝, ｛b n｝的通项公式；(2) 当d>1时，记C n= b n求数列｛C n｝的前n项和T n.4. (2015 •东，18)设数列｛a n｝的前n项和为S.已知2S n= 3n+ 3.(1) 求｛a n｝的通项公式；(2) 若数列｛ b n｝满足a n b n= log3a n，求｛ b n｝的前n项和T n.* 11 15. (2015 浙江，17)已知数列｛a n｝和｛ b n｝满足a1= 2, 3= 1, a n+1 = 2a n( n I N), 3 + qb2 +§b3+…+：b n= b n+1 —1(nI N*).(1)求a n与b n ；⑵记数列｛ a n b n｝的前n项和为T n，求T n.6. (2015 湖南，19)设数列｛a n｝的前n 项和为S n,已知a i= 1, a2= 2,且a n+2= 3S n—S n+1 + 3, n I N .(1)证明：a n+ 2= 3a n ；⑵求S n.考点三分组求和法1. (2015 福建，17)在等差数列｛a n｝中，a2= 4, a4+ a7= 15.(1) 求数列｛ a n｝的通项公式；(2) 设b n= 2an 2+ n,求b1 + b2 + b3+…+ b10 的值.n2+ n *2. (2014湖南，16)已知数列｛a n｝的前n项和S n= — , n I N .(1)求数列｛ a n｝的通项公式；⑵设b n= 2an+ (—1)n a n,求数列｛b n｝的前2n项和.变式训练1. (2014北京，15)已知｛a n｝是等差数列，满足a i = 3, a4= 12,数列｛b n｝满足b i = 4, b4= 20,且｛b n —a n｝为等比数列.(1)求数列｛a n｝和｛b n｝的通项公式；⑵求数列｛ b n｝的前n项和.考点四裂项相消法1. (2015新课标全国I, 17)S n为数列｛a n｝的前n项和.已知a n>0, a¥+ 2a n= 4S n+ 3.(1) 求｛a n｝的通项公式；1(2) 设b n= ，求数列｛b n｝的前n项和.a n a n+12. (2011新课标全国，17)等比数列｛a n｝的各项均为正数，且2a i+ 3a2= 1, a3= 9a2a6.(1) 求数列｛ a n｝的通项公式；1 »(2) 设b n= log3a1+ log3a2+・・・ + log3a n，求数列匚的前n项和.3. (2015安徽，18)已知数列｛a n｝是递增的等比数列，且• + a4= 9, a2a3= 8.(1)求数列｛a n｝的通项公式；⑵设S n为数列｛a n｝的前n项和，b n = 1，求数列｛ b n｝的前n项和T n.S n Si + 1变式训练1. (2013 江西，16)正项数列｛a n｝满足：a^—(2n- 1)a n—2n= 0.(1)求数列｛ a n｝的通项公式a n；1⑵令b n= 5 +〔)an，求数列｛b n｝的前n项和T n.2. (2013 大纲全国，17)等差数列｛a n｝中，a7= 4, a i9= 2a9. (1)求｛a n｝的通项公式；1⑵设b n= ，求数列｛b n｝的前n项和S n.na n13. 在数列｛a n｝中，a1 = 1，当n>2时，其前n项和S n满足&= a n S n-勺.(1) 求3的表达式；S n(2) 设b n = 2^1求｛b n｝的前n项和T n.考点五倒序相加法1 1 12 2 014 已知函数f(x)=丙(X I R). (1)证明：f(x)+ f(1-x) =1；(2)若S= f(2015)+ f(2015)+…+ 口歳)，贝y S=变式训练4X 1 2 2 0141. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 设f(x)=4^2，若S=f(2015)+f(2015)+ …+ f(2"0i5)，则S= ---------------------------------------------------------考点六并项求和1. ___________________________________________________________________________ (2012新课标，16)数列｛a n｝满足a n+1+ (—1)% = 2n —1,则｛a n｝的前60项和为___________________________2. (2014山东，19)在等差数列｛a n｝中，已知公差d= 2, a2是a i与a4的等比中项(1) 求数列｛ a n｝的通项公式；(2) 设b n= a n n 1，记T n=—b l+ b2 - b3+ b4—…+ ( —1)n b n，求T n.~2变式训练1. (2014山东理，19)已知等差数列｛a n｝的公差为2,前n项和为S n,且S1, S2, S4成等比数列(1) 求数列｛ a n｝的通项公式；—4n(2) 令b n= (—1)n—1，求数列｛b n｝的前n项和T n.a n a n+1考点七数列｛|a n|｝的前n项和问题11. ______________________________________________________________ （2011 北京,11）在等比数列｛a n｝中，若a i = 2，a4=—4，则公比q = __________________________________ ；a i|+ |a2|+ ••• + |a n| = ______变式训练1. （2013浙江，19）在公差为d的等差数列｛a n｝中，已知a1= 10,且a1, 2a2+ 2, 5a3成等比数列.（1）求d, a n；12. (2013湖南，15)设S n为数列｛a n｝的前n项和，S n= (—1)n a n—尹n I N*，则:(1) a3= _________ ；(2) S1 + S2 + …+ S100 = ________ .⑵若 d v0,求a |+ |a2| + |a3|+ …+ |a n|.考点八周期数列1.已知数列2 008,2 009,1，—2 008 , —2 009 ,…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前 2 014项之和S2 014等于（）A. 2 008B. 2 010C. 1 D . 0变式训练n n1.（2012福建）数列｛a n｝的通项公式a n= ncosg，其前n项和为S n,则S2 012等于（）A.1 006B.2 012C.503D.0考点九数列与不等式的应用1. （2014新课标全国I, 17）已知数列｛a n｝满足a1= 1, a n+1= 3a n+ 1.1（1）证明a n + 2是等比数列，并求｛a n｝的通项公式；1 1 1 3（2）证明一 + —+ …+—<;.a1 a2 a n 21 *2. (2015 浙江，20)已知数列｛a n｝满足a1 = 2且a n+1 = a n —a n(n I N ).a n *(1)证明：1 W W 2( I N );a n+ 1⑵设数列｛ a2｝的前n项和为S n,证明:1 S n 1--------- —----------2 (n + 2) n 2 (n + 1)(n IN*).23.(2013江西，理)正项数列｛a n｝的前项和｛a n｝满足：S n2 2(n n 1)S n (n n) 0(1)求数列｛a n｝的通项公式a n；n 1(2)令b n门，数列｛bn｝的前n项和为T n。