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2019年高考数学全国卷三(理科)详细解析

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。

回答非选择题时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

(2018·新课标全国Ⅲ卷理1)1.已知集合2{1,0,1,2}{1}A B x x =-=≤,,则A B =A .{}1,0,1-B .{}0,1C .{}1,1-D .{}0,1,2【命题意图】本题考查了一元二次不等式的解法及集合的交运算,是基础题。

【答案】A【基本解法】因为{}11B x x =-≤≤,所以{}1,0,1A B =-【方法总结与拓展】集合运算是高考常考的,甚至必考的考点,属于基础题,也可以把其它知识渗透到集合中来,例如方程、不等式、向量、三角函数等,解决这类题目主要是直接法,或特值法。

集合问题主要要考虑元素的属性、运算等。

(2018·新课标全国Ⅲ卷理2)2.若(1)2z i i +=,则z = A . 1i --B . 1i -+C . 1i -D . 1i +【命题意图】本题考查了复数代数形式的四则运算, 【答案】D【基本解法】()212112i i i z i i -===++ 【方法总结与拓展】复数运算是高考常考的,甚至必考的考点,属于基础题。

(2018·新课标全国Ⅲ卷理3)3.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝,并称为中国古典小说四大名著,某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况,随机调查了100名学生,其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位,阅读过《红楼梦》的学生共有80位,阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位,则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为( )A. 0.5B. 0.6C. 0.7D. 0.8【命题意图】本题考查概率与统计基本知识,考查学生对推理与计算能力,属于基础题。

【答案】C【基本解法】某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况,随机调查了100名学生, 其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位, 阅读过《红楼梦》的学生共有80位,阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位, 所以,该校阅读过《西游记》的学生人数为70人,则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为:7.010070=。

故选C (2018·新课标全国Ⅲ卷理4)4.24(12)(1)x x ++的展开式中x 3的系数为( )A. 12B. 16C. 20D. 24【命题意图】本题考查二项式定理、排列组合的性质等基础知识,考查学生对推理与计算能力,属于基础题。

【答案】A【基本解法】法一:系数配对,()41x +的通项公式为k k n k k x C T -+=141,利用通项公式求出x x C T 4131411==+,331341341x x C T ==+,24(12)(1)x x ++的展开式中x 3的系数:12424=+⨯,故选A法二:利用组合的性质,()()42121x x ++展开式中x 3的系数为1211211133311411334=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯C C C C【方法总结与拓展】对于二项式定理,可利用通项公式或组合的性质来解答。

(2018·新课标全国Ⅲ卷理5)5. 已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15,且53134a a a =+,则3a =( )A. 16B. 8C. 4D. 2【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前n 项和等基本概念,重点考查学生的运算求解能力。

【答案】C【基本解法】利用方程思想列出关于1,a q 的方程组,求出1,a q ,再利用通项公式即可求得3a 的值。

设等比数列{a n }的公比为q ,易知0q >,由已知得2311114211115,34a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩,解得11,2a q =⎧⎨=⎩,2314a a q ∴==,故选C . 【解法2】易知0q >,若公比1q =,则53134a a a =+不成立,从而142111415,134(1)a q a q a q aq -⎧=⎪-⎨⎪=+⎩同样解得11,2a q =⎧⎨=⎩,2314a a q ∴==。

此法明显不如解法1好。

【方法总结与拓展】应用等比数列前n 项和公式解题时,要注意公比是否等于1,防止出错。

(2018·新课标全国Ⅲ卷理6)6.已知曲线x x ae y xln +=在点(1)ae ,处的切线方程为b x y +=2,则( )A.e a =,1-=bB.e a =,1=bC.1-=e a ,1=bD.1-=e a ,1-=b 【命题意图】本题主要考查导数的运算、导数的几何意义等基本知识。

【答案】D【基本解法】易知点(1)ae ,在已知曲线上,令x x ae x f xln )(+=,则1ln )(++='x ae x f x,易知21)1(=+='ae f ,得11-==e ea 。

又b ae f +==2)1(,可得1-=b 。

故选D 。

【方法总结与拓展】利用导数的几何意义解决与切线有关的问题时,准确求导是保障,还要注意所给的点是否在已知的曲线上,以防出错。

(2018·新课标全国Ⅲ卷理21)7.函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图象大致为 A . B .C .D .【命题意图】函数图像 【答案】B【基本解法】解:由32()22x xx y f x -==+在[]6,6-,知 332()2()()2222x x x xx x f x f x ----==-=-++, ∴f (x )是[]6,6-上的奇函数,因此排除C又1182(4)721f =>+,因此排除A ,D . 故选:B .【方法总结与拓展】本题考查了函数的图像与性质,解题关键是奇偶性和特殊性,属于基础题。

(2018·新课标全国Ⅲ卷理8)8.如图,点N 为正方形ABCD 的中心,△ECD 为正三角形,平面ECD ⊥平面ABCD ,M 是线段ED 的中点,则A .BM =EN ,且直线BM 、EN 是相交直线B .BM ≠EN ,且直线BM ,EN 是相交直线C .BM =EN ,且直线BM 、EN 是异面直线D .BM ≠EN ,且直线BM ,EN 是异面直线 【命题意图】点、线、面的位置关系 【答案】B【基本解法】解:∵点N 为正方形ABCD 的中心,△ECD 为正三角形,平面ECD ⊥平面ABCD ,M 是线段ED 的中点,∴BM ⊂平面BDE ,EN ⊂平面BDE ,∵BM 是△BDE 中DE 边上的中线,EN 是△BDE 中BD 边上的中线, ∴直线BM ,EN 是相交直线,设DE =a ,则2BD a =,2235244BE a a a =+= ∴62BM a =,223144EN a a a =+= ∴BM ≠EN , 故选:B .【方法总结与拓展】本题考查直线与直线的位置关系及其判定,考查了空间中点、线、面之间的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想,是中档题.(2018·新课标全国Ⅲ卷理9)9.执行下边的程序框图,如果输入的ε为0.01,则输出s 的值等于A.4122-B. 5122-C. 6122-D. 7122-【命题意图】本题考查程序框图的循环结构的基本知识,考查学生对程序框图的基本逻辑及循环条件的掌握情况。

【答案】C【基本解法】由1,0,,2x x s s s x x ===+=可知,可以看作首相为1,公比为12的等比数列求前n -1项和,则等比数列的通项公式为112n x -=,前1n -项和为1122n s -=-,即110.012n x ε-=<=,求得7n =,带入1122n s -=-=6122-,故选C【方法总结与拓展】程序框图是高考常考内容,甚至是必考的,难度较低,重点是考查对程序框图的理解,注意给出的条件和判断框什么时候输出,常常会考虑不全导致错误,在解题时利用其他知识点内容是快速得出答案的捷径。

(2018·新课标全国Ⅲ卷理10)10.双曲线C :2242x y -=1的右焦点为F ,点P 在C 的一条渐进线上,O 为坐标原点,若=PO PF ,则△PFO 的面积为A .324B .322C .22D .32【命题意图】本题考查双曲线的基本知识,考查学生对双曲线方程基本知识的掌握情况。

【答案】A【基本解法】一条渐近线方程为2y x =,则设(,)2P x x ,双曲线的方程得焦点坐标F ,则PO PF ==,由PO PF =得一个坐标P ,即112224PFO OF y ∆=== 【方法总结与拓展】双曲线是高考常考内容,甚至是必考的,难度较高,重点是考查对双曲线定义的理解,注意一般在求解双曲线问题中,由双曲线方程可以快速得出焦点坐标和渐近线方程,继而根据题目所求问题找出需要的值能快速得出答案。

(2018·新课标全国Ⅲ卷理11) 设()f x 是定义域为R 的偶函数,且在()0,+∞单调递减,则A .f (log 314)>f (322-)>f (232-) B .f (log 314)>f (232-)>f (322-)C .f (322-)>f (232-)>f (log 314) D .f (232-)>f (322-)>f (log 314)【命题意图】本题考查函数的基本性质:奇偶性 单调性,与指,对数函数的大小比较 【答案】C【基本解法】因为()f x 是偶函数,所以331(log )(log 4)4f f = 因为23323221log 4--<<<,且()f x 在(0,)+∞递减,所以23323(2)(2)(log 4)f f f -->>,选C【方法总结与拓展】要善于利用中间量对数值大小进行比较,并熟练运用函数基本性质解题 (2018·新课标全国Ⅲ卷理12) 设函数()f x =sin (5x ωπ+)(ω>0),已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点,下述四个结论:①()f x 在(0,2π)有且仅有3个极大值点 ②()f x 在(0,2π)有且仅有2个极小值点③()f x 在(0,10π)单调递增 ④ω的取值范围是[1229510,) 其中所有正确结论的编号是A . ①④B . ②③C . ①②③D . ①③④【命题意图】本题考查三角函数的基本性质及整体思想,其中对数形结合的能力的考查也更进一步【答案】D【基本解法】令05wx π+=,得05x wπ=-<,令52wx ππ+=,得3010x wπ=>, 设()f x 的正零点从小到大一次为()i x i Z +∈由图可知(1)正确; 极小值个数 可能是2个或3个,故(2)错误 令555wx ππ+=,解得5245x πω=令665wx ππ+=,解得6295x πω=, 解不等式562x x π≤<,得1229510ω≤<,(4)正确 010x π<<时,(,)55105w wx ππππ+∈+29(,)(0,)5101052ππππ⊆⨯+⊆ 故()f x 在(0,)10π单调递增 ,故(3)正确。

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