韦达定理的应用与提高自招题集TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】应用题例题.1、某商场销售一批衬衫，平均每天可出售30件，每件赚50元，为扩大销售，加盈利，尽量减少库存，商场决定降价，如果每件降1元，商场平均每天可多卖2件，若商场平均每天要赚2100元，问衬衫降价多少元2.某化工材料经售公司购进了一种化工原料,进货价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元.市场调查发现：单价每千克70元时日均销售60kg；单价每千克降低一元,日均多售2kg。

在销售过程中,每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时,按一天计算）.如果日均获利1950元,求销售单价3.某服装厂生产一批西服，原来每件的成本价是500元，销售价为625元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低20%，第二个月比第一个月提高6%，为了使两个月后的销售利润达到原来水平，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？根的判别式1、（2017?和平区校级模拟）一元二次方程ax2+bx+c=0中，若a＞0，b＜0，c＜0，则这个方程根的情况是（）A．有两个正根B．有两个负根C．有一正根一负根且正根绝对值大D．有一正根一负根且负根绝对值大【分析】根据根的判别式△=b 2﹣4ac 的符号，就可判断出一元二次方程的根的情况；由根与系数的关系可以判定两根的正负情况． 【解答】解：∵a ＞0，b ＜0，c ＜0， ∴△=b 2﹣4ac ＞0，＜0，﹣＞0，∴一元二次方程ax 2+bx +c=0有两个不相等的实数根，且两根异号，正根的绝对值较大． 故选：C ．【点评】此题考查了根的判别式；一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0方程有两个不相等的实数根；（2）△=0方程有两个相等的实数根；（3）△＜0方程没有实数根．一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）知识点及应用解析1、定义：若x 1，x 2 是一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的两个根，则有x 1 + x 2 = -ab ， x 1·x 2 = ac。

对于二次项系数为1的一元二次方程x2+px+q=0，则有x 1 + x 2 =-p ，x 1·x 2=q2、应用的前提条件：根的判别式△≥0 ⇔方程有实数根。

3、若一个方程的两个为x 1，x 2 ，那么这个一元二次方程为a[x 2+(x 1+x 2)x+ x 1·x 2]=0(a ≠0)4、根与系数的关系求值常用的转化关系：①x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=a c a 2b -2-⎪⎭⎫ ⎝⎛=222a ac b - ②cbx x x x x x -=+=+21212111 ③(x 1+a)(x 2+a)= x 1x 2 +a(x 1+x 2) +a 2 =ac-b +a 2④(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2 =2a 4ac-b 25、方法归纳：（1）一元二次方程的根与系数的关系的运用条件条件为一元二次方程，即a ≠0，且必须有实数根，即△≥0；（2）运用一元二次方程的根与系数的关系时，一元二次方程应化为一般形式，若系数中含字母要注意分类讨论；（3）一元二次方程的根与系数的关系有时与一元二次方程根的定义综合运用，注意观察所求代数式是特点。

（4）解题思路：将含有根的代数式变形成含有两根和与两根积的式子，再通过韦达定理转化成关于系数的式子，同时要注意参量的值要满足根的实际意义。

6、一元二次方程的根与系数的关系的应用：（1）不解方程，判别一元二次方程两根的符号。

（判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，判别式判定根的存在与否，若＜0，所以可判定方程的根为一正一负；倘若＞0，仍需考虑的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。

） 例：不解方程，判别方程两根的符号。

解：∵，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0∴方程有两个不相等的实数根。

设方程的两个根为， ∵＜0 ∴原方程有两个异号的实数根。

（2）已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。

（3）运用判别式及根与系数的关系解题。

例：已知、是关于的一元二次方程的两个非零实数根，问和能否同号？若能同号，请求出相应的的取值范围；若不能同号，请说明理由，解：因为关于的一元二次方程有两个非零实数根∴则有∴又∵、是方程的两个实数根，所以由一元二次方程根与系数的关系，可得：假设、同号，则有两种可能：（1）（2）若，则有：；即有：解这个不等式组，得∵时方程才有实树根，∴此种情况不成立。

若，则有：即有：解这个不等式组，得；又∵，∴当时，两根能同号练习：★★★1设一元二次方程的根分别满足下列条件，试求实数a的范围。

⑴二根均大于1；⑵一根大于1，另一根小于1。

2．（2013秋?沙湾区期末）关于x的方程x2+2（k+2）x+k2=0的两实根之和大于﹣4，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k＜0 C．﹣1＜k＜0 D．﹣1≤k＜03．（2015?南充）关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②（m﹣1）2+（n﹣1）2≥2；③﹣1≤2m﹣2n≤1，其中正确结论的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个(4)运用根与系数的关系求代数式的值例:已知一元二次方程2x2-3x+1=0的两个根分别为x1，x2 ，求（x1-x2）2的值解：由题意及韦达定理得：x 1+x 2= -（-23）=23，x 1x 2 =21 ∴(x 1-x 2)2 =(x 1+x 2)2-4x 1x 2 =（23）2-4×21=41∴（x 1-x 2）2的值是41(5) 运用根与系数的关系解决几何问题例：在△ABC 中，若∠C=90°，AB=5，AC 、BC 的长是关于x 的一元二次方程x 2-(2k+3)x+k 2+3k+2=0的两个实数根，求k 的值和△ABC 的面积 解：∵AC 2+BC 2=25∴(AC+BC)2-2AC ·BC=25 ∵AC+BC=2K+3,AC ·BC=K 2+3K+2 ∴(2K+3)2-2(K 2+3K+2)=25 整理，得k 2+3k-10=0 解得k 1=-5,k 2=2 ∵AC+BC=2K+3﹥0 ∴k ﹥, ∴k=2 ∴S △ABC =21 AC ·BC=21(K 2+3K+2)=6 【要点讲解】 1．求代数式的值应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。

★★例1 若a ，b 为实数，且，，求的值。

思路 注意a ，b 为方程的二实根；（隐含）。

解 （1）当a=b 时，；（2）当时，由已知及根的定义可知，a，b分别是方程的两根，由韦达定理得， ab=1.说明此题易漏解a=b的情况。

★★★例2若，且，试求代数式的值。

思路此例可用上例中说明部分的递推式来求解，也可以借助于代数变形来完成。

解：因为，由根的定义知m，n为方程的二不等实根，再由韦达定理，得，∴练习：（2017?黔东南州二模）设a，b是方程x2+x﹣2017=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A．2014 B．2015 C．2016 D．20172．构造一元二次方程如果我们知道问题中某两个字母的和与积，则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程。

★★★★例3设一元二次方程的二实根为和。

（1）试求以和为根的一元二次方程；（2）若以和为根的一元二次方程仍为。

求所有这样的一元二次方程。

解（1）由韦达定理知，。

，。

所以，所求方程为。

（2）由已知条件可得解之可得由②得，分别讨论（p,q）=(0,0)，(1,0)，(1-)。

-,1)或(0, 1-,0)，(0,1)，(2,1)，(2于是，得以下七个方程，，，，，-，其中0x2=1+无实数根，舍去。

其余六个方程均为所求。

x2=1x2=+，01x2+3．证明等式或不等式根据韦达定理（或逆定理）及判别式，可以证明某些恒等式或不等式。

★★★例4已知a，b，c为实数，且满足条件：，，求证a=b。

证明由已知得，。

根据韦达定理的逆定理知，以a，b为根的关于x的实系数一元二次方程为①由a，b为实数知此方程有实根。

∴0c2=，故c=0，从而。

这表明①有两个相等实根，即有a=b。

说明由“不等导出相等”是一种独特的解题技巧。

另外在求得c=0后，由恒等式可得，即a=b。

此方法较第一种烦琐，且需一定的跳跃性思维。

5．求参数的值与解方程韦达定理及其逆定理在确定参数取值及解方程（组）中也有着许多巧妙的应用。

★★★例6解方程。

解：原方程可变形为。

令，。

则, 。

由韦达定理逆定理知，以a，b-为根的一元二次方程是。

解得，。

即a=8-或a=9。

或通过求解x结果相同，且严谨。

，（舍去）。

解之得，。

此种方法应检验：是或否成立强化训练A 级★★1.若k为正整数，且方程有两个不等的正整数根，则k的值为________________。

★★2.若，，则_______________。

★★★3 .已知和是方程的二实根，则_____________。

★★★4.已知方程（m为整数）有两个不等的正整数根，求m的值。

Ｂ级★★★★5.已知：和为方程及方程的实根，其中n为正奇数，且。

求证：，是方程的实根。

★★★★6.已知关于x的方程的二实根和满足，试求k的值。

参考答案1．2提示：原方程即，所以，由知k=1，2，3，5，11；由知k=2，3，4，7。

所以k=2，3，但k=3时原方程有二相等正整数根，不合题意。

故k=2。

2．提示：由x，y为方程的二根，知，。

于。

3．21提示：由，，知，4．设二个不等的正整数根为，，由韦达定理，有消去m，得。

即。

则且。

，。

故。

5．由韦达定理有，。

又，。

二式相减得。

，。

将代入有。

从而 ，同理和是方程的根。

6．当β=α时，可知1=β=α，所以2k 13k 124=⇒⨯=+，当β≠α时，易证得。

从而，为方程的二不同实根。

，。

于是，，。

当时，方程为。

解得 或取，即能符合题意，故k 的值为。

练习：1、设a 、b 是方程x 2+x ﹣2014=0的两个实数根，则a 2+2a +b 的值为（ ）A．2014 B．2015 C．2012 D．20132（2012?德清县自主招生）如果方程（x﹣1）（x2﹣2x+）=0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数k的取值范围是．3．已知a+b=3，ab=﹣7，则代数式2a2+b2+3b的值为．4．（2015?黄冈中学自主招生）已知实数a≠b，且满足（a+1）2=3﹣3（a+1），3（b+1）=3﹣（b+1）2．则的值为．5．（2013?自贡）已知关于x的方程x2﹣（a+b）x+ab﹣1=0，x1、x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x1≠x2；②x1x2＜ab；③x12+x22＜a2+b2．则正确结论的序号是．（填上你认为正确结论的所有序号）6（2013?荆门）设x1，x2是方程x2﹣x﹣2013=0的两实数根，则=．7．（2012?成都模拟）若α，β是方程x2﹣3x+1=0的两个根，则α2+αβ﹣3α=．8．（2010?南通）设x1、x2是一元二次方程x2+4x﹣3=0的两个根，2x1（x22+5x2﹣3）+a=2，则a=8．9．（2010?宁阳县模拟）已知实数a、b（a≠b）分别满足，，试求的值10．（2009?河南模拟）设A是方程x2﹣x﹣2009=0的所有根的绝对值之和，则A2= ．11．（2007?泸州）若非零实数a，b（a≠b）满足a2﹣a﹣2007=0，b2﹣b﹣2007=0，则：=．12．（2004?厦门）已知关于x的方程x2﹣（a+b）x+ab﹣2=0．x1、x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：（1）x1≠x2；（2）x1x2＞ab；（3 ）x12+x22＞a2+b2，则正确结论的序号是．（在横线上填上所有正确结论的序号）13．（2001?呼和浩特）如果关于x的一元二次方程2x2﹣2x+3m﹣1=0有两个实数根x1，x2，且它们满足不等式，则实数m的取值范围是．14（2013?孝感）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k使得x1x2﹣x12﹣x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．一元二次方程韦达定理应用作业一．选择题（共16小题）1．若方程x2﹣（m2﹣4）x+m=0的两个根互为相反数，则m等于（）A．﹣2 B．2 C．±2 D．42．若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为1，则另一个根为（）A．﹣4 B．2 C．4 D．﹣33．设a，b是方程x2+x﹣2017=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A．2014 B．2015 C．2016 D．20174．一元二次方程ax2+bx+c=0中，若a＞0，b＜0，c＜0，则这个方程根的情况是（）A．有两个正根B．有两个负根C．有一正根一负根且正根绝对值大D．有一正根一负根且负根绝对值大5．已知m、n是方程x2+3x﹣2=0的两个实数根，则m2+4m+n+2mn的值为（）A．1 B．3 C．﹣5 D．﹣96．已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣8=0的一个实数根为2，则另一实数根及m的值分别为（）A．4，﹣2 B．﹣4，﹣2 C．4，2 D．﹣4，27．一元二次方程x2+x﹣1=0的两根分别为x1，x2，则+=（）A．B．1 C．D．8．关于x的方程x2+2（k+2）x+k2=0的两实根之和大于﹣4，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k＜0 C．﹣1＜k＜0 D．﹣1≤k＜09．已知方程x2﹣2（m2﹣1）x+3m=0的两个根是互为相反数，则m的值是（）A．m=±1 B．m=﹣1 C．m=1 D．m=010．已知a、b是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两根，那么+的值为（）A．B．C．﹣D．﹣11．已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，则另一个根为（）A．5 B．﹣1 C．2 D．﹣512．已知实数x1，x2满足x1+x2=7，x1x2=12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（）A．x2﹣7x+12=0 B．x2+7x+12=0 C．x2+7x﹣12=0 D．x2﹣7x﹣12=0 13．设a、b是方程x2+x﹣2014=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A．2014 B．2015 C．2012 D．201314．关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②（m﹣1）2+（n﹣1）2≥2；③﹣1≤2m﹣2n≤1，其中正确结论的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个15．（非课改）已知α，β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足+=﹣1，则m的值是（）A．3 B．1 C．3或﹣1 D．﹣3或116．设a，b是方程x2+x﹣2011=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A．2009 B．2010 C．2011 D．2012二．填空题（共30小题）17．已知：一元二次方程x2﹣6x+c=0有一个根为2，则另一根为．18．一元二次方程x2+x﹣2=0的两根之积是．19．若α、β是一元二次方程x2+2x﹣6=0的两根，则α2+β2=．20．一元二次方程x2+mx+2m=0的两个实根分别为x1，x2，若x1+x2=1，则x1x2=．21．已知m、n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，若（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，则a的值为．22．某学生在解一元二次方程x2﹣2x=0时，只得出一个根是2，则被他漏掉的另一个根是x=．23．已知a，b是方程x2﹣x﹣3=0的两个根，则代数式a2+b+3的值为．24．已知关于x的方程x2﹣2ax+a2﹣2a+2=0的两个实数根x1，x2，满足x12+x22=2，则a的值是．25．如果方程（x﹣1）（x2﹣2x+）=0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数k的取值范围是．26．方程x2﹣3x+1=0中的两根分别为a、b，则代数式a2﹣4a﹣b的值为．27．已知a+b=3，ab=﹣7，则代数式2a2+b2+3b的值为．28．已知x1，x2是关于x的方程x2+nx+n﹣3=0的两个实数根，且x1+x2=﹣2，则x1x2=．29．已知实数a≠b，且满足（a+1）2=3﹣3（a+1），3（b+1）=3﹣（b+1）2．则的值为．30．已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n=．31．阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系式x1+x2=﹣，x1x2=根据该材料填空，已知x1，x2是方程x2+3x+1=0的两实数根，则的值为．32．已知关于x的方程x2﹣（a+b）x+ab﹣1=0，x1、x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x1≠x2；②x1x2＜ab；③x12+x22＜a2+b2．则正确结论的序号是．（填上你认为正确结论的所有序号）33．若两个不等实数m、n满足条件：m2﹣2m﹣1=0，n2﹣2n﹣1=0，则m2+n2的值是．34．设x1，x2是方程x2﹣x﹣2013=0的两实数根，则=．35．设x1，x2是方程2x2﹣3x﹣3=0的两个实数根，则的值为．36．若α，β是方程x2﹣3x+1=0的两个根，则α2+αβ﹣3α=．37．已知x1，x2是方程x2+4x+k=0的两根，且2x1﹣x2=7，则k=．38．设x1、x2是一元二次方程x2+4x﹣3=0的两个根，2x1（x22+5x2﹣3）+a=2，则a=．39．设α和β是方程x2﹣4x+3=0的二根，则α+β的值为．40．已知实数a、b（a≠b）分别满足，，试求的值．41．设A是方程x2﹣x﹣2009=0的所有根的绝对值之和，则A2=．42．已知α，β为方程x2+4x+2=0的二实根，则α3+14β+50=．43．若非零实数a，b（a≠b）满足a2﹣a﹣2007=0，b2﹣b﹣2007=0，则：=．44．已知2﹣是一元二次方程x2﹣4x+c=0的一个根，则方程的另一个根是．45．已知关于x的方程x2﹣（a+b）x+ab﹣2=0．x1、x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：（1）x1≠x2；（2）x1x2＞ab；（3 ）x12+x22＞a2+b2，则正确结论的序号是．（在横线上填上所有正确结论的序号）46．如果关于x的一元二次方程2x2﹣2x+3m﹣1=0有两个实数根x1，x2，且它们满足不等式，则实数m的取值范围是．三．解答题（共4小题）47．已知关于x的一元二次方程 x2+3x﹣m=0有实数根．（1）求m的取值范围（2）若两实数根分别为x1和x2，且，求m的值．48．已知一元二次方程2x2﹣6x﹣1=0的两实数根为x1、x2，不解方程，求代数式的值．49．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k使得x1x2﹣x12﹣x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．。