≤ ω ([ a , b ], f )ε + η (b − a )
其中ω ([a, b], f )为f在[a, b]上的振幅
f(x)在[a,b]上Riemann可积
⇔ ∀ε，η > 0, ∃分划T，使得所有振幅ω i ≥ η 的小区间∆ i的总长度不超过ε
例：Dirichlet函数不Riemann可积。
( R) ∫ f ( x)dx = lim
a
b
||T ||→0
∑ f (ξ )∆x
i =1 i
n
i
(积分与分割、介点集的取法无关)
2.Lebesgue积分思想简介 2.Lebesgue积分思想简介
yi yi-1
Ei = {x : yi −1 ≤ f ( x) < yi }
yi −1 ≤ ξ i < yi
即：∀ δ > 0, 作分划 m = y 0 < y1 < y 2 < ⋯ < y n = M
其中yi − yi −1 < δ , m ≤ f ( x) < M
取点集Ei = {x : yi −1 ≤ f ( x) < yi }
yi yi-1
f(x)在 Ei上的振幅不会大于δ
作和 s =
∑
n
i=1
ξ i mE
教材：实变函数论（第二版）,江泽坚,吴智泉编, 高 等教育出版社，2003年7月.
参考文献
周民强，实变函数(论)，北京大学出版社，1995.6(2001) 周性伟，实变函数，科学出版社，1998.9 胡适耕，实变函数，高等教育出版社，1999.7 徐森林，实变函数论，中国科学技术大学出版社，2002 郑维行等，实变函数论与泛函分析概要，高等教育出版社,1987 夏道行等，实变函数论与泛函分析，高等教育出版社，1983.2 Halmos，测度论(Measure theory) Rudin , 实分析与复分析(Real and complex analysis). 实变函数论与泛函分析基础（第二版）,程其襄 等编, 高等教育出版社，2003 年7月. 北京九章图书 / 互动出版网 /
Hilbert旅馆问题解答 Hilbert旅馆问题解答
1, 2, 3, 4, 5, 6,… a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , …
1 b1, b2, b3 , … , bn , a1 , a2 , a3 , … 2 b1, a1 , b2, a2 , b3, a3 , … 3 a1 , a2 , a3 , a4 ,… a11, a12, a13, a14, … a21, a22, a23, a24, … a31, a32, a33, a ,… 4 不能安排进去 （[0,1]是不可数集）
(2) Riemann可积的充要条件 Riemann可积的充要条件
其中：
M i = sup{ f ( x) : xi −1 ≤ x ≤ xi } mi = inf{ f ( x) : xi −1 ≤ x ≤ xi }
ωi = M i − mi
xi-1 xi
f(x)在[a,b]上Riemann可积
⇔ ∀ε > 0, ∃分划T，使得∑ ωi ∆xi ≤ ε
lim f ( x) = D( x) = {
n →∞ n
1 x∈[ 0,1]∩Q 0 x∈[ 0,1]−Q
•故对一般收敛函数列，在Riemann积分意义下极限 故对一般收敛函数列，在Riemann积分意义下极限 运算与积分运算不一定可交换次序，即：
lim ∫
b
n →∞ a
f n ( x)dx = ∫
i =1 n
(2) Riemann可积的充要条件 Riemann可积的充要条件
∑ ω ∆x = ω∑ηω ∆x + ω∑ηω ∆x
i =1 i i
i≥
n
i
i
i<
i
i
≤ ω ([a, b], f ) ∑ ∆xi + η ∑ ∆xi
ω i ≥η ω i <η
xi-1 xi 注：连续函数、 只有有限个间 断点的有界函 数和闭区间上 的单调函数 Riemann可积
0
1
3.Lebesgue积分构思产生的问题 3.Lebesgue积分构思产生的问题
Ei = {x : yi −1 ≤ f ( x) < yi }
yi yi-1
(1) 集合Ei 的“长度”如何定义（第三章 测度论）； (2)怎样的函数可使 Ei 都有“长度”（第四章 可测函数）； (3)定义Lebesgue积分并研究其性质（第五章 积分论）；
D ( x) =
上积分
{
1 x∈[ 0 ,1]∩ Q 0 x∈[ 0 ,1] − Q
∫
b
a
f ( x)dx = lim
||T || →0
∑ M ∆x
i =1 i
n
i
=1
0
1
下积分
∫
bHale Waihona Puke af ( x)dx = lim
n
||T || →0
∑ m ∆x
i =1 i
n
i
=0
∀分划T，有∑ ωi ∆xi = 1
b
a
lim f n ( x)dx 不一定成立。 n →∞
Riemann积分
为使f(x)在[a,b]上Riemann可积， 按Riemann积分思想，必须使得 分划后在多数小区间上的振幅 足够小，这迫使在较多地方振动 的函数不可积。Lebesgue提出， 不从分割定义域入手， 而从分割值域入手；
xi-1 xi
n
( R) ∫ f ( x)dx = lim
a
b
||T ||→0
∑ f (ξ )∆x
i =1 i
其中 ∆x = x − x i i i −1 xi −1 ≤ ξ i ≤ xi
i
(2) Riemann可积的充要条件 Riemann可积的充要条件
xi-1 xi
xi-1 xi
f(x)在[a,b]上Riemann可积
∫
a
f (t )dt = f ( x) − f (a )
• 1881年Volterra作出一可微函数，导函数有界但不Riemann可积；
注：推荐大家看看龚升写的 《话说微积分》， 《简明微积分》, 数学历史的启示（《数学教学》，2001.1）, 微积分严格化后(《高等数学研究》,2002,1-3）
b.积分与极限交换次序（一般要求一致收敛） b.积分与极限交换次序（一般要求一致收敛）
序言
实变函数简介 实变函数简介
微积分基本定理 若f(x)在[a,b]上连续，则
x d (( R) ∫ f (t )dt ) = f ( x) a dx
导数（切线斜率）
定积分（面积）
若F `(x) 在[a,b]上连续，则
( R) ∫ F ' (t )dt = F ( x) − F (a)
a x
xi-1 xi
用 mEi 表示 Ei 的“长度”
(L)∫
[ a ,b ]
f ( x ) dx = lim
δ→0
∑ξ
i =1
n
i
mE
i
1902年Lebesgue在其论文“积分、长度与面积”中 提出（参见：Lebesgue积分的产生及其影响，数学 进展，2002.1）
Lebesgue积分思想 Lebesgue积分思想
对此Lebesgue自己曾经作过一个比喻，他说：
假如我欠人家一笔钱，现在要还，此时按钞票的面值 的大小分类，然后计算每一类的面额总值，再相加， 这就是Lebesgue积分思想； 如不按面额大小分类，而是按从钱袋取出的先后次序 来计算总数，那就是Riemann积分思想
（参见：周性伟，实变函数教学的点滴体会， 《高等理科教学》，2000.1）
i =1
注：D(x)的下方图形 可看成由[0,1]中每个 有理点长出的单位线 段组成。
（3)Riemann积分的局限性 3)Riemann积分的局限性
a.微积分基本定理 a.微积分基本定理 定理：若f(x)在 [a,b]上可微且f `(x)在[a,b]上 定理：若f(x)在 [a,b]上可微且f `(x)在[a,b]上 Riemann 连续,则 x ' 连续,
微积分发展的三个阶段
创立（17世纪）：Newton（力学）Leibniz（几何） (无穷小) 严格化（19世纪）: Cauchy, Riemann, Weierstrass (极限理论(ε-N, ε-δ语言)，实数理论) 外微分形式（20世纪初）：Grassmann, Poincare, Cartan （微积分基本定理如何在高维空间得到体现）
例：设{rn}为[0,1]中全体有理数(因为其为可数集，故可把它排成序 列)，作[0,1]上的函数列
fn (x) =
{
1 x∈ r1 ,r2 ,r3 ,⋯,rn } { 0 x∈ 0,1]−{r1 ,r2 ,r3 ,⋯,rn } [
n = 1,2,3,⋯
不Riemann可积。
则 {fn(x)}在[a,b]上Riemann可积,但
⇔
∫
b
a
f ( x)dx = lim ∑ M i ∆xi = lim
||T ||→0 i =1
n
||T || → 0
∑ m ∆x = ∫
i =1 i i
n
b
a
f ( x ) dx
其中： M i = sup{ f ( x) : xi −1 ≤ x ≤ xi }
mi = inf{ f ( x) : xi −1 ≤ x ≤ xi }
微积分继续发展的三个方向
外微分形式 (整体微分几何) （微积分基本定理如何在高维空间得到体现） 复数域上的微积分（复变函数） 微积分的深化和拓展（实变函数）