两角和与差的正弦、余弦、正切1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换；2.利用三角变换讨论三角函数的图象和性质2.1.牢记和差公式、倍角公式，把握公式特征；2.灵活使用 (正用、逆用、变形用)两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换，三角变换中角的变换技巧是解题的关键．知识点回顾1． 两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－ β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C α－β)cos(α＋ β)＝cos_αcos_β－ sin_αsin_β (C α＋β)sin(α－ β)＝sin_αcos_β－ cos_αsin_β (S α－β)sin(α＋ β)＝sin_αcos_β＋ cos_αsin_β (S α＋β)tan α－ tan β (T α－ β tan(α－ β)＝1＋ tan αtan β)tan α＋ tan β (T α＋ β tan(α＋ β)＝1－ tan αtan β)2． 二倍角公式sin 2α＝ 2 sin cos ；cos 2α＝cos 2α－sin 2 α＝2cos 2α－ 1＝ 1－ 2sin 2α；tan 2 α＝ 2tan α2.1－ tan α3． 在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题： 如公式的正用、 逆用和变形用等． 如 T α±β可变形为tan α± tan β＝ tan( α±β)(1tan_ αtan_ β)， tan αtan β＝ 1－ tan α＋ tan β tan α－ tan β＝ － 1.tan α＋β tan α－ β4． 函数 f(α)＝ acos α＋ bsin α(a ，b 为常数 )，可以化为 f(α)＝ a 2＋ b 2sin(α＋ φ)或 f(α)＝ a 2＋ b 2cos(α－ φ)，其中 φ 可由 a ， b 的值唯一确定． [难点正本疑点清源 ]三角变换中的 “三变 ”(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是 “配凑 ”．(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦 ”、 “升幂与降幂 ”等．(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有 “常值代换 ”、 “逆用变用公式 ”、 “通分约分 ”、 “分解与组合 ”、 “配方与平方 ”等．热身训练21 tan α 1． 已知 sin(α＋ β)＝ ， sin(α－ β)＝－ ，则的值为 _______．35tan β2． 函数 f(x)＝ 2sin x(sin x ＋ cos x)的单调增区间为 ______________________ ．3． (2012 江·苏 )设 α为锐角，若 cos6 4，则＝ 5sin α＋cos α 1()4． (2012＝ ，则 tan 2α等于江·西 )若sin α－cos α 234 A ．－ 4C ．－ 35． (2011 π1()辽·宁 )设 sin( ＋θ)＝ ，则 sin 2θ等于4 37 1A ．－ 9B ．－ 9典例分析题型一三角函数式的化简、求值问题例 1 (1)化简：1－ tan ααα2·1＋ tan α·tan 2 ；tan 2(2)求值： [2sin 50 ＋°sin 10 (1°＋ 3tan 10 )]°·2sin 280°.在 △ ABC 中，已知三个内角A ，B ，C 成等差数列，则AC A Ctan 2＋ tan 2＋ 3tan 2 tan 2的值为 ________．题型二 三角函数的给角求值与给值求角问题例 2(1)已π ＝－ 12 知 0<β< <α<π，且 cos，sin2＝ ，求 cos(α＋ β)的值；22 93(2)已知 α， β∈ (0， π)，且 tan( α－ β)＝1， tan β＝－ 1，求 2α－ β的值．2 71 ， cos(α－ β)＝ 13π 已知 cos α＝ 14 ，且 0<β<α< ，求 β. 72题型三 三角变换的简单应用例3 已知f(x)＝11sin 2x － 2sinx·sinxtan x 44(1)若 tan α＝2，求 f(α)的值；π π (2)若 x ∈ 12，2 ，求 f(x)的取值范围．已知函数f(x)＝ 3 sin2x＋62sin2x12(x∈R)．(1)求函数 f(x)的最小正周期；(2)求使函数f(x)取得最大值时x 的集合．利用三角变换研究三角函数的性质典例： (12 分 )(2011 ·京北)已知函数 f(x)＝ 4cos x·sin x － 1.6(1)求 f(x)的最小正周期；(2)求 f(x)在区间,上的最大值和最小值．6 4总结方法与技巧1．巧用公式变形：和差角公式变形： tan x±tany＝ tan(x±y) ·(1tan xtan y)；倍角公式变形：降幂公式cos2α＝1＋ cos 2α1－ cos 2α， sin2α＝；2 2α ααα配方变形： 1±sinα＝ sin ± cos 2, 2 ， 1－ cos α＝ 2sin22.2 2 1＋ cos α＝2cos 22．利用辅助角公式求最值、单调区间、周期．由y＝ asin α＋ bcos α＝b)有a2＋ b2sin(α＋φ)(其中 tan φ＝aa2＋ b2≥|y.3．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求 (或所证明 )问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．4．已知和角函数值，求单角或和角的三角函数值的技巧：把已知条件的和角进行加减或二倍角后再加减，观察是不是常数角，只要是常数角，就可以从此入手，给这个等式两边求某一函数值，可使所求的复杂问题简单化．5．熟悉三角公式的整体结构，灵活变换．本节要重视公式的推导，既要熟悉三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形．失误与防范1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1的”各种变通．22．在 (0，π)范围内， sin(α＋β)＝2所对应的角α＋β不是唯一的．3．在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值．过手训练(时间： 25 分钟，满分：43 分 ) 一、选择题 (每小题 5 分，共15 分)1． (2012 山·东 )若θ∈, ， sin 2θ＝3 7，则 sin θ等于()4 2 82 12．已知 tan(α＋β)＝5， tan 4 ＝4，那么 tan 4 等于()3．当－ππ3cos x 的() 2≤x≤时，函数 f(x)＝ sin x＋2A．最大值是1，最小值是－ 11B．最大值是1，最小值是－ 2C．最大值是2，最小值是－ 2D．最大值是2，最小值是－ 1二、填空题 (每小题 5 分，共 15 分 )4．已知锐角α满足 cos 2α＝ cos，则sin 2α＝________.412 5．已知 cos＝13，α∈4 0,，则cos 2α＝ ________.π4sin 4＋α6．设 x∈0, ，则函数 y＝2sin2x＋ 1的最小值为 ________．2 sin 2x三、解答题7． (13 分 )(2012 广·东 )已知函数 f(x)＝ 2cos x (其中ω>0，x∈ R)的最小正周期为 10π.6(1)求ω的值；(2)设α，β∈ 0，π， f 5α＋5π＝－6， f 5β－5π＝16，求 cos(α＋β)的值．2 3 5 6 17课后习题(时间： 35 分钟，满分： 57 分)一、选择题 (每小题 5 分，共 20 分 )1＝ 4，则 sin 2θ等于()1． (2012 江·西 )若 tan θ＋ tan θ3，则 cos 2α等于()2． (2012 大·纲全国 )已知 α为第二象限角，sin α＋ cos α＝ 3 5 5A ．－ 3B ．－ 95103． 已知 α， β都是锐角，若 sin α＝ 5 ， sin β＝ 10 ， 则 α＋ β等于( )3πD ．－ π 3π和 和－ 4444． (2011 福·建 )若 α∈ 0, ，且 sin 2α＋ cos 2α＝ 1，则 tan α的值等于()24二、填空题 (每小题 5 分，共 15 分 )5． cos 2 75°＋ cos 215°＋ cos 75 cos ° 15 的°值为 ________．3tan 12 －°3＝ ________.6.4cos 212°－2sin 12°7． sin α＝ 3，cos β＝ 3，其中 α， β∈ 0,，则 α＋ β＝ ____________.552三、解答题 (共 22 分 )8． (10 分 )已知1＋ sin α1 －sin α－＝－ 2tan α，试确定使等式成立的 α的取值集合．1－ sin α1＋ sin α9． (12 分 )已知 α∈， ，且 sin α α62＋ cos2＝2.2(1)求 cos α的值；3(2)若 sin(α－ β)＝－ 5， β∈，，求 cos β的值．2。