飞行力学大作业= 0 CEEE ECB BE CE BE E E E BE E BE E E B B B B BB B B B Z ⎦1 理论推导方程在平面地球假设下，推导飞机质心在体轴系下的动力学方。

质心惯性加速度的基本方程是式（5.1.7），其中动点就是在转动参考系 F E 中的 O y 。

这样 r' 质心相对 于地球的速度，已用V E来表示。

这里假设地轴固定于惯性空间，且 = 0 。

因此， F的原点的加速度a 0 就是与地球转动有关的向心加速度。

数值比较表明，这一加速度和 g 相比通常可以略去。

而对于式（5.1.7）中的向心加速度项 r' 的情况也是一样的，，也通常省略。

在式（5.1.7）中剩下的 两项中 r ' = VE，而哥氏加速度为2 E V E 。

后者取决于飞行器速度的大小和方向，并且在轨道速度 时至多为 10%g 。

当然在更高速度时可能更大。

所以保留此项。

最后质心的加速度可以简化为如下形式： a = V E + 2 E V E有坐标转换知：a= L a = L (V E + 2 E V E )= L V E + 2LE V E= V E + ( B - E )V E + 2 E V E = V E + ( + E ) V E (1)体轴系中的力方程为：f=m a CB 而 f= A B +mg+T 设飞机的迎角为，侧滑角为，则体轴系的气动力表示为：⎡ A x ⎤ ⎡-D ⎤ ⎡cos cos -cos sin -sin ⎤ ⎡-D ⎤⎢ A ⎥ = L A = L ()L (-) ⎢-C ⎥ = ⎢ sin cos 0 ⎥ ⎢-C ⎥ ⎢ y ⎥ BW W y Z ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ A z ⎥⎦ 重力在牵连垂直坐标系下为：⎢⎣ -L ⎥⎦⎡ 0 ⎤⎢⎣ sin a cos -sin a s in cos a ⎥⎦ ⎢⎣ -L ⎥⎦⎢ ⎥ V ⎢ ⎥⎢⎣ g ⎥⎦(3)设发动机的安装角为，发动机的推力在机体坐标系的表示如下：⎡T x ⎤ ⎡ T cos ⎤ ⎢T ⎥ = ⎢ 0 ⎥ (4)⎢ ⎢⎣T y ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢⎣-T sin ⎥⎦由坐标转换可知 ：E g⎢ ⎥ Bq E B x B By B B ⎢ B=⎡ -sin ⎤所以由上述公式可知：mg B = mL BV g V= mg ⎢sin cos ⎥ ⎢⎣cos cos ⎥⎦(5)⎡ -sin ⎤ ⎡ X ⎤mg ⎢sin cos ⎥ + ⎢ Y ⎥ = m a = m [VE + ( + E ) V E ](6)⎢ ⎥ ⎢⎣cos cos ⎥⎦ 其中：⎢ ⎥ CB⎢⎣ Z ⎥⎦B B B⎡ u ⎤ ⎡V ⎤ ⎡cos cos -cos sin -sin ⎤ ⎡V ⎤ ⎡cos cos ⎤V E= ⎢ v ⎥ = L ⎢ 0 ⎥ = ⎢ sin cos 0 ⎥ ⎢ 0 ⎥ = ⎢ sin ⎥V (7)B ⎢ ⎥ BW ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣w ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎢⎣ sin a cos -sin a sin cos a ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎢⎣ sin a cos⎦⎥ ⎡ p ⎤ = ⎢ q ⎥(8)B ⎢ ⎥ ⎢⎣ r ⎥⎦ ⎡ p E ⎤E ⎢ ⎥ B ⎥ ⎢⎣r E ⎥⎦ （9）带入原方程，可得其质心的动力学方程：A + T cos - mg sin = m [u + (q E + q )w - (r E + r )v ] A + mg cos sin = m [v + (r E + r )u - ( p E+ p )w ]A - T sin + mg cos cos = m [w+ ( p E + p )v - (q E + q )u ] zBB（10）（2）飞机的转动动力学方程： 由 G = h（11）且（12）由坐标变换知道：h I R I = ⎰ R I R Idm= L IB (R B + B R B)（13）h B = L BI h I = ⎰ L BI R I L IB R B dm + ⎰ L BI R I L IB B R B dmx zx y z y y y zxz x xzz zx x y xy B BIIB B B B B B BB B B B B B由书上的（4.7，4）的规则知道：（14）R B = L BI R I L IBh B = ⎰ R B R B dm + ⎰ R B B R B dm（15）因为飞机一般认为是刚体飞机，故其变形分量一般认为为 0，所以：h B = ⎰ R B B R B dm = -⎰ R B R B B dm = B B⎡ I x -I xy -I zx ⎤ = ⎢-I I -I ⎥ (16)B ⎢ xyy yz ⎥ ⎢⎣-I zx -I yz I z ⎥⎦⎡ I x -I xy -I zx ⎤ = ⎢-I I -I ⎥B ⎢ xyy yz ⎥ ⎢⎣-I zx I xy =I yz =0-I yz I z ⎥⎦ L = I p - I ( r + pq ) -（I - I )qr - r ∑ h r + q ∑ h r M = I q- I (r 2- p 2) - (I - I )rp + r ∑ h r - p ∑ h r(17)N = I r - I ( p - qr ) - (I - I ) pq - q ∑ h r + p ∑ h r考虑发动机转子的转动惯量，可得h r = r rB B B (18)h = R R dm + ∑ h r =+ ∑ h rB⎰B B B BBBB(19)可知在体轴系下的各转矩为：G = L G = h + h = ++ + ∑ h r + ∑ h rV = v y ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 3 2⎡ L ⎤ ⎡ I x -I xy -I zx ⎤ ⎡ p ⎤ ⎡ I x -I xy -I zx ⎤ ⎡ p ⎤ ⎡ 0 -r q ⎤ ⎡ I x -I xy -I zx ⎤ ⎡ p ⎤ ⎢M ⎥ = ⎢-I I -I ⎥ ⎢q ⎥ + ⎢-I I -I ⎥ ⎢q ⎥ + ⎢ r 0 - p ⎥ ⎢-I I -I ⎥ ⎢q ⎥⎢ ⎥ ⎢ xy y yz ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ xy y yz ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ xy yyz ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ N ⎥⎦ ⎢⎣-I zx -I yz I z ⎥⎦ ⎢⎣ r ⎥⎦ ⎢⎣-I zx -I yz I z ⎥⎦ ⎢⎣ r ⎥⎦ ⎢⎣-q p 0 ⎥⎦ ⎢⎣-I zx -I yz I z ⎥⎦ ⎢⎣ r ⎥⎦ ⎡∑h r ⎤ ⎡ 0 -r q ⎤ ⎡∑h r ⎤ ⎢ x ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ x ⎥ + ∑h r+ r 0 - p ∑h r ⎢ y ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ y ⎥ ⎢∑h r ⎥ ⎢⎣-q p 0 ⎥⎦ ⎢⎣∑h r ⎥⎦⎣ (3)z ⎦ V E= L z(V + W ) (20)⎡ u ⎤V VB B B⎡W x ⎤(21)⎢ ⎥ W B ⎢ ⎥ B ⎢⎣w ⎥⎦ ；⎢ ⎥⎢W ⎥ ⎢ ⎥ ⎣W z ⎦(22)xE = (u + W x ) cos cos + (v + W y )(sin sin cos - cos sin ) + (w + W z )(cos sin cos + sin sin )yE = (u + W x ) cos sin + (v + W y )(sin sin sin + cos cos ) + (w + W z )(cos sin sin - sin cos )zE = (u + W x ) sin + (v + W y ) cos + w cos cos (4)(23)由公式-V= i + j 3 + k 2再根据欧拉角的矩阵变化知⎡1⎤ ⎡ 0⎤⎡ -sin ⎤i = ⎢0⎥ ⎢⎣0⎥⎦j = ⎢ cos ⎥ ⎢⎣- sin⎥⎦k = ⎢cos sin ⎥ ⎢⎣cos cos ⎥⎦(24)当V和E均予忽略时，则[P ，Q ，R]=[p ,q ,r],即 F B 相对于 F I 的角速度，方程可写成如下形式：⎡ P ⎤ ⎡1 0 -sin ⎤ ⎡ ⎤ ⎢Q ⎥ = ⎢0 cos cos sin⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ (25)⎢⎣ R ⎥⎦ ⎢⎣0 -sin cos cos ⎦⎥ ⎣⎦⎥ ⎢ 通过求逆，知：⎡ ⎤ ⎡1 sin tancos tan ⎤ ⎡ P ⎤⎢ ⎥ = ⎢0 cos -sin ⎥ ⎢Q ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥(26)⎢⎣ ⎥⎦⎢⎣0 sin sec cos sec ⎥⎦ ⎢⎣ R ⎥⎦（5）当无风和具有对称面的刚体飞机，其六自由度运动方程为：质心动力学方程：=x B BA + T cos - mg sin = m [u + (q E + q )w - (r E + r )v ] A + mg cos sin = m [v + (r E + r )u - ( p E + p )w ]yBB(27)A - T sin + mg cos cos = m [w+ ( p E + p )v - (q E+ q )u ] zBB若忽略地球的自转则可得：A x + T cos - mg sin = m [u + qw - rv ] A y + mg cos sin = m [v + ru - pw ] A z - T sin + mg cos cos = m [w+ pv - qu ] 绕质心转动的动力学方：由于具有对称面，且可以忽略 B 有： I xy =I yz =0 根据（2）推出其简化的动力学方程为：L = I x p - I zx ( r + pq ) -（I y - I z )qr(28)M = I q - I (r 2 - p 2 ) - (I - I )rpyzxzxN = I z r- I zx ( p - qr ) - (I x - I y ) pq 质心运动学方程： 根据（3）可知，xE = (u + W x ) cos cos + (v + W y )(sin sin cos - cos sin ) + (w + W z )(cos sin cos + sin sin ) yE = (u + W x ) cos sin + (v + W y )(sin sin sin + cos cos ) + (w + W z )(cos sin sin - sin cos ) zE = (u + W x ) s in + (v + W y ) cos + w c os cos 由于是无风，故W x = W y = W z = 0x E = u cos cos + v (sin sin cos - cos sin ) + w (cos sin cos + sin sin ) y E = u cos sin + v (sin sin sin + cos cos ) + w (cos sin sin - sin cos ) z E = u s in + v c os + w cos cos绕质心转动的运动学方程： 根据（4）可知= P + Q sin tan + R cos tan = Q cos - R sin = Q sin sec + R cos sec二、小扰动线化(29)(30)(31)(32)(33)设基准运动为对称定常直线水平飞行，假设飞机是具有对称面的刚体。