= (2 x1 + x2 + x3 , x1 + 2 x2 + x3 , x11 + x2 + 2 x3 )T + (2 y1 + y2 + y3 , y1 + 2 y2 + y3 , y1 + y2 + 2 y3 )T
= f (x)+ f ( y)
f (kx=) (2(kx1) + kx2 + kx3 , kx1 + 2(kx2 ) + x3 , kx1 + kx2 + 2(kx3 ))T = k(2 x1 + x2 + x3 , x1 + 2 x2 + x3 , x1 + x2 + 2 x3 )T = kf ( x)
min η − ξ 。
ξ ∈W
1 1 1
(x2, x2)
(x2, x)
( x2 ,1)
5
4
3
解(= 1) 基 x2 , x,1 的度量矩阵为 P
= ( x, x2 ) ( x, x) ( x,1) (1, x2 ) (1, x) (1,1)
1
4
1 3
1 3 1 2
1 2
.
1
(2). 先正交化，再单位化得：
3. 线性变换的矩阵表示：设T 是线性空间 Vn 的一个线性变换，x1,, xn 为 Vn 的
一组基，则
a11 a1n
T
(
x1
,
,
xn
)
=
(
x1
,
,
xn
)
，
an1 ann
a11 a1n
称
A
=
为T
在
x1,,
xn
下的矩阵。
an1 ann
4. 线性变换的值域和核：设T 是线性空间 Vn 的线性变换，称
故 f 是线性变换。
(2) 由于
= f (e1) (= 2,1,1)T (e1, e2 , e3 )(2,1,1)T ; = f (e2 ) (1= , 2,1)T (e1, e2 , e3 )(1, 2,1)T ; = f (e3 ) (1= ,1, 2)T (e1, e2 , e3 )(1,1, 2)T .
(α
1 2 ,α
2
)= α 2
η3
=1 (α3 ,α3
)
α
3
=9 − 36 x
+ 30 x2
48x − 60 x2 ,
为标准正交基；
(3). 将1, x 正交单位化为= β1 1, = β2 12x − 6 ， η = x2 + x + 1 在子空间W 为中的正投影为
η0
= (η, β1 ) (η,η )
∑ 齐式 f ( X ) = 〈 AX , X 〉 = X H AX = aij xi x j 。 i, j
化二次型为标准型的方法:(1)对 Hermite 阵 A ，存在酉阵U ，在酉变换 X = UY 下， f= ( X ) f= (Y ) Y HU H AUY 为对角型。（2）初等变换，
( ) ( ) A | C 作行变换，但同时做相应的列变换→ D | C H
β1
+
(η, β2 ) (η,η )
β2
= 55 + 111
420 111
(12x
− 6) ，且
η
−η0=
min η − ξ
ξ ∈W
。
3 0 1
三（15 分）已 知 A=
−1
2
1
,
求
A
的 Jordan 标准形
J
，并求相似变换矩阵
P
使得
A
=
PJP −1
。
1 0 3
λ − 3 0 −1 1 0
二（20 分） 假设V = R[x]2 表示实数域上次数不超过 2 的多项式和零多项式构成的线性空间。在V 中定
∫ 义内积: ( f (x), g(x)) =
1
f (x)g(x)dx 。
0
(1). 求基 x2 , x,1 的度量矩阵；
(2). 将基 x2 , x,1 转化为标准正交基；
(3). 求 η = x2 + x + 1 在子空间W = L(1, x) 中的正投影η0 ，使得 η −η0=
2019 复习提纲
一.主要内容
1.线性空间的基与坐标:设V 是数域 K 上的线性空间， x1 , x2 , xr (r ≥ 1) 是属于
V 的 r 个任意元素，如果它满足：（a） x1 , x2 , xr 线性无关；（b）V 中任一向量
x 均可由 x1 , x2 , xr 线性表示。则 x1 , x2 , xr 为V 的一个基， r 为维数，记作
(1). 证明： f 是线性变换；
(2). 求= f 在基 e1 (1= , 0, 0)T ;e2 (= 0,1, 0)T ;e3 (0, 0,1)T ,下的矩阵 A ；
(3). 求 f 的值域 R( f ) 及核子空间 N ( f ) 的基及它们的维数。
= 解:(1). ∀x ( x1, x= 2 , x3 )T , y ( y1, y2 , y3 )T , ∀k ∈ R ，则
−1 0 1
−1 0 −1
当 λ3 = 2 时 (2E − A)X = 1
0
−1
X
=0
→
P2
=(0,1, 0)T
。
−1 0 −1
−1 0 −1 0
将
P2 = (0,1, 0)T
代入
(2E − A)X
=
P2
,
⇒
1
0
−1
1
→
P1
=
(1, 0, 0)T
令
−1 0 −1 0
1 0 1
=P
(= P1 , P2 , P3 )
λ1
≥
λ2
≥≥
λr
>
λr +1
= = λn
=
0
，构成 Σ
；（ 2 ） 求 相 应 于 特 征 值
λ1
≥ λ2
≥≥
λr
>
λr +1
==
λn
=
0
的两两正交的单位特征向量构成V
=
(V1,V2 ) ；
（3）令U1 = AV1Σ −1 ，并求U 2 ∈ C m×(m−r) ，使得U 2 HU1 = 0 ，U 2 HU 2 = Em−r ，从而
n
n
∑ ∑ ||
A ||∞ =
max i
j =1
aij
= max i
j =1
aij
.
二．2018 工程数学试题
一 (20 分)设 R3 中向量 x = ( x1, x2 , x3 )T ，对 ∀x ∈ R3 定义变换 f ： f ( x)= (2 x1 + x2 + x3 , x1 + 2 x2 + x3 , x1 + x2 + 2 x3 )T
2 1 1
故
f
在基 e1, e2 , e3 ,下的矩阵
A
=
1
2
1
。
1 1 2
(3) f 的值域 R( f ) 由 f (e1), f (e2 ), f (e3 ) 生成，而 f (e1), f (e2 ), f (e3 ) 线性无关，故 R( f ) 的基为
f (e1), f (e2 ), f (e3 ) ，维数为 3。而核子空间 N ( f ) = {0} ，维数为 0。
2)2
；（4） ∞ − 范数
x ∞
=
max
1≤ i ≤ n
xi
.
1
∑∑ m
13.矩阵范数：设 A = (aij )m×n ，（1）向量的 F − 范数
A F
=
n
aij
2
2
；（2）1-
i =1 j =1
n
∑ 范数 ||
A
||1
=
max j
i =1
aij
，（3）2-范数|| A ||2 =
ρ( AH A) ；（4） ∞ − 范数
x + y = ( x1 + y1, x2 + y2 , x3 + y3 )T ， kx = (kx1, kx2 , kx3 )T
f ( x + y=) (2( x1 + y1) + x2 + y2 + x3 + y3 , x1 + y1 + 2( x2 + y2 ) + x3 + y3 , x1 + y1 + x2 + y2 + 2( x3 + y3 ))T
在变换 X = CY 下， f= ( X ) f= (Y ) Y H C H ACY 为对角型。
9. Jordan 标准型：任意一个 n 阶复矩阵 A 都与一个 Jordan 型矩阵 J 相似，若不计 J 中的 Jordan 块的排列顺序，则 J 由 A 唯一确定．方法：设 A 的特征矩阵 λE − A
{ } = R(T ) Tx | x ∈ Vn 为T 的值域； N (T ) ={x | x ∈ Vn ,Tx =0}称为T 的核。
5.线性变换的的特征值，特征向量：T 是数域 F 上线性空间V 的线性变换，若存 在非零向量α 和数 λ0 满足 T (α ) λ0α ，称 λ0 为线性变换 T 的特征值，α 是对应 于特征值 λ0 的特征向量。求线性变换T 的特征值，特征向量.分这样几步: (1)求出 线性变换T 在一组基α1,,αn 下的矩阵 A ；(2) 矩阵 A 的特征值,也是T 的特征值， 及 A 的对应于特征值 λ0 的特征向量 X 0 ，则α (α1,,αn ) X 0 是T 的对应于特征值 λ0 的特征向量。 6. 设α1,α 2 ,,α r 是向量空间Vr 的一个基，将它应用施密特正交化可以化为Vr 的 一个标准正交基。 7.正规阵的酉相似标准型：设 A ∈ C n×n ，则 A 是正规矩阵的充要条件是：存在酉 矩阵U ，使得 A 酉相似于对角矩阵，且对角线元素为 A 的特征值． 8. Hermite 二次型：设=A (aij ) ∈ Cn×n 为 Hermite 阵, AH = A 。称共轭对称的二次