高中数学必修1-1.1.1集合的含义与表示课时1 集合的含义问题提出“集合”是日常生活中的一个常用词，现代汉语解释为:许多的人或物聚在一起.在现代数学中，集合是一种简洁、高雅的数学语言，我们怎样理解数学中的“集合”？知识探究（一）考察下列问题：（1）1～20以内的所有质数；（2）绝对值小于3的整数；（3）师大附中0705班的所有男同学；（4）平面上到定点O的距离等于定长的所有的点.思考1：上述每个问题都由若干个对象组成，每组对象的全体分别形成一个集合，集合中的每个对象都称为元素.上述4个集合中的元素分别是什么？思考2：一般地，怎样理解“元素”与“集合”？把研究的对象称为元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示；把一些元素组成的总体叫做集合，简称集，通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示.思考3：组成集合的元素所属对象是否有限制？集合中的元素个数的多少是否有限制？思考4：美国NBA火箭队的全体队员是否组成一个集合？若是，这个集合中有哪些元素？思考5：试列举一个集合的例子，并指出集合中的元素.知识探究（二）任意一组对象是否都能组成一个集合？集合中的元素有什么特征？思考1：某单位所有的“帅哥”能否构成一个集合？由此说明什么？集合中的元素必须是确定的（确定性）思考2：在一个给定的集合中能否有相同的元素？由此说明什么？集合中的元素是不重复出现的（互异性）思考3：0705班的全体同学组成一个集合，调整座位后这个集合有没有变化？由此说明什么？集合中的元素是没有顺序的（无序性）知识探究（三）思考1：设集合A表示“1～20以内的所有质数”，那么3，4，5，6这四个元素哪些在集合A中？哪些不在集合A中？思考2：对于一个给定的集合A，那么某元素a与集合A有哪几种可能关系？思考3：如果元素a是集合A中的元素，我们如何用数学化的语言表达？a属于集合A，记作a A ∈思考4：如果元素a不是集合A中的元素，我们如何用数学化的语言表达？a不属于集合A，记作a A ∉知识探究（四）思考1：所有的自然数，正整数，整数，有理数，实数能否分别构成集合？思考2：自然数集，正整数集，整数集，有理数集，实数集等一些常用数集，分别用什么符号表示？自然数集（非负整数集）：记作N正整数集：记作N+或N+整数集：记作Z有理数集：记作Q实数集：记作R课时2 集合的表示问题提出1.集合中的元素有哪些特征？确定性、无序性、互异性2.元素与集合有哪几种关系？属于、不属于3.用自然语言描述一个集合往往是不简明的，如“在平面直角坐标系中以原点为圆心，2 为半径的圆周上的点”组成的集合，那么，我们可以用什么方式表示集合呢？知识探究（一）考察下列集合：（1）小于5的所有自然数组成的集合；（2）方程x 3=x 的所有实数根组成的集合.思考1：这两个集合分别有哪些元素？（1）0，1，2，3，4； （2）-1，0，1思考2：由上述两组数组成的集合可分别怎样表示？（1）{0，1，2，3，4}； （2）{-1，0，1}思考3：这种表示集合的方法叫什么名称？ 列举法思考4：列举法表示集合的基本模式是什么？把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，即 {,,,}a b c知识探究（二）考察下列集合：（1）不等式 2x-7<3的解组成的集合；（2）绝对值小于2的实数组成的集合.思考1：这两个集合能否用列举法表示？思考2：如何用数学式子描述上述两个集合的元素特征？（1）x ∈R ，且x ﹤5； （2） x ∈R ，且∣x ∣＜2思考3：上述两个集合可分别怎样表示？（1）{ x ∈R | x ﹤5}； （2）{ x ∈R | ∣x ∣＜2 }思考4：这种表示集合的方法叫什么名称？描述法思考5：描述法表示集合的基本模式是什么？{元素的一般符号及取值范围|元素所具有的性质}知识探究（三）思考1： a 与{ a }的含义是否相同？思考2：集合{1，2}与集合{（1，2）}相同吗？思考3：集合 2{|,}y y x x R =∈与集合2{}y x =相同吗？思考4:集合2{(,)|,}x y y x x R =∈的几何意义如何？ 理论迁移例1 用适当的方法表示下列集合：（1）绝对值小于3的所有整数组成的集合；{-2，-1，0，1，2}或{|||3}x Z x ∈<（2）在平面直角坐标系中以原点为圆心，1为半径的圆周上的点组成的集合；22{(,)|1}x y x y +=（3）所有奇数组成的集合；{|21,}x x k k Z =-∈（4）由数字1，2，3组成的所有三位数构成的集合.{123，132，213，231，312，321}.例2 用列举法表示下列集合：（1）4|3A x Z Z x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭（2）{}(,)|3,,x y x y x N y N +=∈∈（1）{-1，1，2，4，5，7}；（2）{（0，3），（1，2），（2，1）,（3，0）}例3 设集合{}5,|1|,21A a a =++，已知3A ∈，求实数a 的值.1或-4例4 已知集合A={1，2，3}，B={1，2}，设集合C={}|,,x x a b a A b B =-∈∈，试用列举法表示集合C. C={-1，0，1，2}思考题：已知集合{}|2A x Z a x a =∈≤≤-，如 果集合A 中有且只有3个元素，求实数a 的取值范围，并用列举法表示集合A.课后巩固练习：一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)1．下列几组对象可以构成集合的是( )A ．充分接近π的实数的全体B ．善良的人C ．某校高一所有聪明的同学D ．某单位所有身高在1.7 m 以上的人2．下列四个说法中正确的个数是( )①集合N 中最小的数为1； ②若a ∈N ，则－a N ； ③若a ∈N ，b ∈N ，ab ，则a ＋b 的最小值为2； ④所有小的正数组成一个集合．A ．0B ．1C ．2D ．33．集合A ＝{y |y ＝x 2＋1}，集合B ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}(A ，B 中x ∈R ，y ∈R )，选项中元素与集合的关系都正确的是( )A ．2∈A ，且2∈B B ．(1,2)∈A ，且(1,2)∈BC ．2∈A ，且(3,10)∈BD ．(3,10)∈A ，且2∈B4．已知集合S 的三个元素a ，b ，c 是△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形5．已知x 、y 、z 为非零实数，代数式x |x |＋y |y |＋z |z |＋|xyz |xyz的值所组成的集合是M ，则下列判断正 确的是( ) A ．0M B ．2∈M C ．－4M D ．4∈M6. 若集合}044|{2=++=x kx x A 中有且仅有一个元素，则实数k 的值为（ ）A.{0}k ∈B.{1}k ∈C.{1,0}k ∈D.{1,1}k ∈-二、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）7．用“∈”或“”填空.(1)－3 ____N ； (2)3.14 ____Q ； (3)13 ___Z ； (4)－12____R ； (5)1 ____N *； (6)0 ____N . 8．定义集合运算A *B ＝{M |M ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }．设A ＝{1,2}，B ＝{0,2}，则集合A *B 的所有元素之和为________．9．由下列对象组成的集体属于集合的是________(填序号)．①不超过3的正整数；②高一数学课本中所有的难题；③中国的大城市；④平方后等于自身的数； ⑤某校高一(2)班中考数学成绩在90分以上的学生．三、解答题（本大题共3小题，共46分）10．（14分）已知集合M ＝{－2,3x 2＋3x －4，x 2＋x －4}，若2∈M ，求x11．（15分）下面三个集合：A ＝{x |y ＝x 2＋1}；B ＝{y |y ＝x 2＋1}；C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}．问：(1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义是什么？12．（17分）设A 为实数集，且满足条件：若a ∈A ，则a-11∈A (a ≠1)．求证：(1)若2∈A ，则A 中必还有另外两个元素；(2)集合A 不可能是单元素集参考答案：一、选择题1. D 解析：A 、B 、C 都不满足元素的确定性，故不能构成集合.2. A 解析：N 是自然数集，最小的自然数是0，故①错；当为0时，也为0，是自然数，故②错；③中最小值应为1，故③错；“所有小的正数”范围不明确，不满足集合元素的确定性，故不能构成集合，故④错.故选A.3.C 解析：集合A 中元素y 是实数，不是点，故选项B ，D 不对．集合B 的元素(x ，y )是点而不是实数，2∈B 不正确，所以A 错．4. D 解析：由元素的互异性知a ，b ，c 均不相等,故一定不是等腰三角形.5. D 解析 当x 、y 、z 中三个为正、两个为正、一个为正、全为负时，代数式的值分别为：4,0,0，－4，∴4∈M 正确，故选D.6.C 解析：（1）若0=k，则{1}A =-； （2）若0≠k ，16160k ∆=-=，1k =，∴{1,0}.k ∈ 二、填空题7. (1) (2)∈ (3) (4)∈ (5)∈ (6)∈解析：理解各符号的意义是关键.N 是自然数集，N *是正整数集，Q 是有理数集，Z 是整数集，R 是实数集.8. 6 解析: ∵A *B ＝{0,2,4}，所以集合A *B 的所有元素之和为6.9.①④⑤ 解析：②中“难题”标准不明确，不满足确定性；③中“大城市”标准不明确，不满足确定性.三、解答题10.解：当3x 2＋3x －4＝2时，3x 2＋3x －6＝0，x 2＋x －2＝0，x ＝－2或x ＝1.经检验，x ＝－2，x ＝1均不合题意．当x 2＋x －4＝2时，x 2＋x －6＝0，x ＝－3或2.经检验，x ＝－3或x ＝2均合题意．∴x ＝－3或x ＝2.11.解：(1)在、、三个集合中，虽然代表元素满足的表达式一致，但代表元素互不相同，所以它们是互不相同的集合．(2)集合的代表元素是x ，满足＝2＋1，故＝{|＝2＋1}＝.集合的代表元素是，满足＝2＋1的≥1，故＝{|＝2＋1}＝{|≥1}.集合的代表元素是(，)，满足条件＝2＋1，即表示满足＝2＋1的实数对(，)；也可认为满足条件＝2＋1的坐标平面上的点．12.证明：(1)若a ∈A ，则a-11∈A （≠1）.又∵2∈A ，∴11－2＝－1∈A . ∵－1∈A ，∴11－(－1)＝12∈A .∵12∈A ，∴11－12＝2∈A . ∴A 中必还有另外两个元素，为－1，12. (2)若A 为单元素集，则a ＝a-11，即a 2－a ＋1＝0，方程无解．∴a ≠a11，∴A 不可能为单元素集。